combinatoria - IES Ramón Olleros

COMBINATORIA
1. ¿Cuantos números de tres cifras distintas se pueden formar con las nueve cifras significativas del sistema decimal?
Al tratarse de números el orden importa y además nos dice “cifras distintas” luego no pueden repetirse. Por tanto,
hablamos de variaciones ordinarias, de las cuales se pueden formar:
V 93 = 9 · 8 · 7 = 504 números
2. ¿Cuantos números de tres cifras se pueden formar con las nueve cifras significativas del sistema decimal?
Al tratarse de números el orden importa y además no dice nada sobre “cifras distintas” luego si pueden repetirse. Por
tanto, se trata de variaciones con repetición, de las cuales se pueden formar:
VR 93 = 93 =729 números
3. ¿Cuantas palabras distintas de 10 letras (con o sin sentido) se pueden escribir utilizando sólo las letras a, b?
Al tratarse de palabras el orden importa y además como son palabras de 10 letras y sólo tenemos dos para formarlas,
deben repetirse. Por tanto, se trata de variaciones con repetición, de las cuales se pueden formar:
10
VR 10
= 1024 palabras
2 = 2
4. Con las letras de la palabra DISCO ¿cuantas palabras distintas se pueden formar?
Evidentemente, al tratarse de palabras el orden importa. Y además n = k, es decir tenemos que formar palabras de cinco
letras con los cinco elementos D, I, S, C, O que no están repetidos. Por tanto, se trata de permutaciones ordinarias, de
las que se pueden formar:
P5 = 5! = 120 palabras
5. ¿De cuántas maneras distintas pueden colocarse en línea nueve bolas de las que 4 son blancas, 3 amarillas y 2
azules?
El orden importa por ser de distinto color, pero hay bolas del mismo color (están repetidas) y además n = k, es decir
colocamos 9 bolas en línea y tenemos 9 bolas para colocar. Por tanto, tenemos permutaciones con repetición. Las
maneras de colocarlas son:
9!
P94, 3, 2 =
= 1260
4!·3!·2!
6. Cuantos grupos de 5 alumnos pueden formarse con los treinta alumnos de una clase. (Un grupo es distinto de otro
si se diferencia de otro por lo menos en un alumno)
No importa el orden (son grupos de alumnos). No puede haber dos alumnos iguales en un grupo evidentemente, luego
se trata de combinaciones sin repetición. Por tanto, se pueden formar:
 30 
C 305 =   = 142506 grupos distintos
5
7. En una confitería hay cinco tipos diferentes de pasteles. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro pasteles?
No importa el orden (son pasteles). Puede haber dos o más pasteles iguales en un grupo, luego hablamos de
combinaciones con repetición. Por tanto:
 5 + 4 − 1  8 
C 54 = 
 =   = 70
 4   4
8. ¿Cuantos números pares de tres cifras se pueden formar, usando las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6, si éstas pueden
repetirse?
Al formar un número par de tres cifras A1A2A3 este debe terminar en 0, 2, 4 o 6. Además dicho número no puede
empezar por 0 pues en ese caso no tendríamos un número de tres cifras. Así pues, tendremos un número de la forma
A1A2P donde P representa a una de las cuatro posibles terminaciones del número par (0, 2, 4 o 6) y además, A1 no
puede ser 0. La cantidad de números que buscamos vendrá dada por el producto de 4 (por ser 4 las posibles
terminaciones de los números formados) por la diferencia del número de agrupaciones de los 7 elementos dados en
grupos de 2 (A1A2) y el número de estas agrupaciones que tengan como elemento A1 el 0.
Números pares de 3 cifras = 4 · ( VR 72 – V 17 ) = 4 · (72 – 7) = 4 · 42 = 168
Otra manera alternativa de hacer el problema sería la siguiente:
Al formar un número par de tres cifras A1A2A3 con las cifras dadas, en vez de A1 puede tomarse una cifra cualquiera,
salvo el 0, es decir 6 posibilidades. En vez de A2 pueden tomarse cualquier cifra, es decir 7 posibilidades, y en vez de
A3 cualquiera de las cifras 0, 2, 4, 6, es decir 4 posibilidades. De este modo, existen 6 · 7 · 4 = 168 procedimientos. Así
pues, con las cifras dadas pueden formarse 168 números pares de tres cifras.
Dpto. de Matemáticas
IES “Ramón Olleros”
9. ¿Cuántas apuestas diferentes de la lotería primitiva se pueden hacer?
En este caso, hablamos de agrupaciones en las que no se pueden repetir los elementos (los números desde el 1 al 49) y
no importa el orden en que se pongan los números. Por tanto, hablamos de combinaciones ordinarias, C 496 :
 49 
C 496 =   = 13983816 apuestas diferentes
6
Otra manera alternativa de hacer el problema sería la siguiente:
En una bolsa tenemos 49 bolas numeradas del 1 al 49. El primer número lo escojo entre 49 posibles números, el
segundo número lo escojo entre 48 (pues las bolas, una vez extraídas no se devuelven a la bolsa), el tercero entre 47, y
así sucesivamente, por lo tanto, en principio habría:
49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44 = 10068347520
Esta sería la solución si el orden de extracción de las bolas, se tuviese en cuenta, pero no es así. El número que hemos
sacado en la primera extracción podría haber salido en la segunda, tercera, cuarta, quinta o sexta extracción (en total 6),
por lo tanto habrá que dividir por 6. El número que hemos sacado en la segunda extracción, podría haber salido en la
tercera, cuarta, quinta o sexta extracción, (en total 5), habrá que dividir entre 5 y así seguiríamos razonando hasta la
ultima extracción. Por ello habrá que dividir entre 720 (6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720) el número anterior para obtener la
solución:
10068347520 / 720 = 13983816
10. ¿Cuántas quinielas distintas se pueden hacer?
En este caso tenemos que hacer agrupaciones de 3 elementos (1, X, 2) en grupos de 15 en los cuales es importante el
orden en que se presenten dichos elementos.. Por tanto hablamos de variaciones con repetición.
15
VR 15
= 14348907 quinielas
3 = 3
Otra manera alternativa de hacer el problema sería la siguiente:
El primer resultado lo podemos elegir entre 3 signos, el segundo entre 3, y así sucesivamente hasta el 15, por lo tanto el
número total de columnas será:
3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 14348907
11. Con las cifras 4, 5, 6 y 7, ¿cuántos productos distintos en los que entren dos números se pueden formar? ¿Cuántos
números de dos cifras? Las cifras no se repiten.
El número de productos distintos, será C 24 ya que los números que intervienen en el producto no se repiten y además el
orden de los mismos no importa en virtud de la propiedad conmutativa del producto. Por tanto:
 4
C 24 =   = 6 productos distintos
 2
El número de números de dos cifras viene dado por V
2
4
pues las cifras que aparecen en el número no se repiten y
además el orden de las mismas sí importa. Por tanto:
V 24 = 4 · 3 = 12 números diferentes
12. Las cifras que componen un número son 1, 2, 3, 4, 5, y 6. ¿Cuántos números diferentes pueden formarse con las
mismas, con la condición de que ninguno sea mayor que 650000? Las cifras no se repiten.
La cantidad de números buscada vendrá dada por las permutaciones de estas 6 cifras sin que se repita ninguna (P6) a la
que habrá que restar los que comiencen por las cifras 65 (65_ _ _ _ ) que serán las permutaciones ordinarias de las otras
4 cifras:
P6 – P4 = 6! – 4! = 720 – 24 = 696
13. ¿Cuánto vale la suma de todos los números de cuatro cifras que se pueden formar con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5?
La cantidad de números de cuatro cifras que se pueden formar con estas 5 viene dada por VR 54 (ya que importa el orden
de las cifras y estas se pueden repetir dentro de un mismo número).
VR 54 = 54 = 625
Cada cifra (1, 2, 3, 4, o 5) aparecerá como unidades, decenas, centenas o unidades de millar un número de veces igual a:
625
= 125
5
Por tanto:
Suma de las unidades:
125 · (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 125 · 15 =
1875
Suma de las decenas:
125 · 15 · 10 =
18750
Suma de las centenas:
125 · 15 · 100 =
187500
Suma de las unidades de millar:
125 · 15 · 1000 =
1875000
Total:
2083125
Dpto. de Matemáticas
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14. Calcular x para que se verifique: V 2x + V 2x− 2 = 26
Se tiene que:
V 2x = x · (x – 1) y
V 2x − 2 = (x – 2) · (x – 3)
Entonces:
V 2x + V 2x − 2 = 26 ⇒
x · (x – 1) + (x – 2) · (x – 3) = 26 ⇒
Resolviendo esta ecuación se llega a que la solución es x = 5 ya que x = –2 no sirve.
x2 – 3x – 10 = 0
15. Con los dígitos pares (2, 4, 6 y 8), ¿cuántos números inferiores a 1000 se pueden escribir?
Serán inferiores a 1000 todos los números de 1, 2 o 3 cifras:
1 cifra: V 14 = 4
2 cifras: VR 24 = 42 = 16
3 cifras: VR 34 = 43 = 64
Por tanto la cantidad de números inferiores a 1000 será: 4 + 16 + 64 = 84
16. En una carrera de maratón intervienen 4 españoles, 4 italianos, 4 ingleses y 4 franceses. Supuesto que terminan la
carrera todos los corredores, cuántos podios distintos pueden darse al acabar la carrera en los cuales no hay españoles.
El oro, la plata y el bronce lo obtienen tres personas distintas. Si no pueden ser españoles, hay 12 personas no españolas.
El oro lo pueden obtener 12 personas; La plata 11 personas; El bronce 10 personas; Total: 12·11·10=1320
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. En una liga de baloncesto juegan 20 equipos, todos contra todos dos veces (ida y vuelta). ¿Cuántos partidos se
habrán jugado al final de la misma?
Solución: 380 partidos
2.
Con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5:
a) ¿Cuántos números de cinco cifras, sin repetición, se pueden formar?
b) ¿Cuántos de esos números empiezan por 1?
c) ¿Cuántos terminan en 5?
d) ¿Cuántos empiezan por 1 y acaban en 5?
e) ¿Cuántos son pares?
f) ¿Cuántos son múltiplos de 5?
g) ¿Cuántos son mayores que 20000?
Solución: a) 120 ; b) 24 ; c) 24 ; d) 6 ; e) 48 ; f) 24 ; g) 96
3. Un club de baloncesto dispone de 10 jugadores de los cuales juegan 5 a la vez. ¿Cuántos equipos distintos de 5
jugadores pueden sacar el entrenador para cada partido?
Solución: 252 equipos
4.
Con las letras de la palabra CINEMA:
a) ¿Cuántas palabras distintas de 6 letras, tengan sentido o no, se pueden formar?
b) ¿Cuántas terminan en A?
c) ¿Cuántas empiezan con N?
d) ¿Cuántas empiezan con C y terminan en I?
e) ¿Cuántas empiezan con vocal?
f) ¿Cuántas tienen vocal y consonante alternadas?
Solución: a) 720 ; b) 120 ; c) 120 ; d) 24 ; e) 360 f) 72
5. Siete chicos e igual número de chicas quieren formar pareja para el baile. ¿Cuántas parejas distintas se pueden
formar?
Solución: 91 parejas
6. Con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 ¿cuántos números de tres cifras se pueden hacer?
Solución: 343
7. Suponiendo que existiera 100 elementos distintos en la naturaleza y que cada sustancia estuviese formada por 3
exclusivamente. ¿Cuántas sustancias distintas tendríamos?
Solución: 161700 sustancias
8. Si las matrículas de vehículos estuviesen formadas por un número de cuatro dígitos y de dos letras, sin repetirse
ninguna (abecedario de 28). ¿Cuántas matrículas distintas se pueden formar?
Solución: 7560000
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9. Se dispone de siete colores para diseñar una bandera que tiene tres franjas horizontales de igual ancho pero de
distinto color.
a) ¿Cuántas banderas se pueden diseñar que no tenga ningún color repetido?
b) ¿Y si se puede repetir los colores?
Solución: a) 210 ; b) 343
10. Cinco jueces de un deporte determinado disponen de una cartulina en la que por un lado hay un 1 y por el otro un 0.
¿Cuántas combinaciones pueden darse?
Solución: 32
11. a)¿Cuántas quinielas de 14 hay que hacer que tengan cinco 1, cinco 2 y cuatro X?
b) ¿Cuántas que tengan trece 1 y una X?
Solución: a) 252252 ; b) 14
12. ¿Cuántas palabras se pueden formar con las letras de la palabra CALABAZA?
Solución: 1680
13. En una carrera participan cinco coches. ¿Cuántas clasificaciones se pueden producir al final, si cada uno de los
coches emplean distintos tiempos?
Solución: 120
14. Resolver la ecuación: C 7x = C 7x + 3
Solución: x = 2
15. ¿De cuántas maneras se pueden sentar tres chicos y tres chicas en fila, alternadamente.
Solución: 72
16. Un estudiante tiene que resolver ocho cuestiones de doce en un examen.
a) ¿De cuántas maneras puede elegirlas?
b) ¿Y si las tres primeras son obligatorias?
c) ¿Y si tiene que contestar sólo a tres de las cinco primeras?
Solución: a) 495 ; b) 126 ; c) 210
17. ¿De cuántas formas se pueden sentar cuatro amigos en una mesa de seis cubiertos?
Solución: 360
18. De cuántas formas pueden repartirse siete libros entre siete niños si:
a) Los libros son distintos.
b) Hay cuatro libros iguales y el resto distintos.
c) Los libros son todos distintos y queremos que a Juan le toque el de novelas y a Pedro el libro de cuentos.
Solución: a) 5040 ; b) 210 ; c) 120
19. ¿Cuántas permutaciones del conjunto de números 1, 2, 3, 4, 5 y 6, satisfacen la condición: el 1 está en primera
posición y el 4 en la tercera?
Solución: 24
20. En una cafetería hay 4 tipos de bocadillos para comer. ¿De cuántas maneras distintas se pueden elegir seis
bocadillos de entre los 4 tipos?
Solución: 84
21. ¿Cuántas permutaciones del conjunto de números {1, 2, 3, 4, 6, 9} satisfacen la condición de que en la primera
posición y en la última haya un múltiplo de 3?
Solución: 144
22. Sea A un alfabeto formado por 6 vocales y 16 consonantes. ¿Cuántas palabras distintas de seis letras pueden
formarse con las letras de A, de modo que la primera y la quinta letra de cada palabra sean vocales distintas y las otras
cuatro letras sean consonantes?
Solución: 30 · 164
23. ¿Cuántos números de cinco cifras se pueden escribir con cuatro dos y cuatro cincos?
Solución: 30
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