Polinomios y series de potencias formales. 1. Definiciones

Polinomios y series de potencias formales.
Andrés Abella.
12 de septiembre de 2015
1.
Definiciones
Sea A un anillo y AN el conjunto de sucesiones en A. Sabemos que AN tiene estructura de anillo definiendo
(an ) + (bn ) = (an + bn ),
(an )(bn ) = (an bn ).
Mantenemos la misma suma, pero definimos un nuevo producto mediante
X
(an ) ∗ (bn ) = (cn ), cn =
ak bl = a0 bn + a1 bn−1 + · · · + an−1 b1 + an b0 , ∀n ∈ N.
k+l=n
Proposición 1.1. AN , +, ∗ es un anillo, siendo (0, 0, 0, · · · ) el neutro de la suma y (1, 0, 0, · · · ) el neutro
del producto.
Definición 1.2. Al conjunto AN con esta estructura de anillo lo escribimos A[[X]] y lo llamamos el anillo
de series de potencias formales con coeficientes en A.
Proposición 1.3. Si A es conmutativo, entonces A[[X]] es conmutativo.
Observación 1.4. El mapa ι : A → A[[X]] definido por ι(a) = (a, 0, 0, · · · ) es un morfismo inyectivo de
anillos, luego identificaremos A con ι(A) ⊂ A[[X]] y escribiremos a en vez de (a, 0, 0, · · · ). Observar que con
esta identificación es 0 = (0, 0, 0, · · · ) y 1 = (1, 0, 0, · · · ). De ahora en adelante simplificaremos la notación
del producto escribiendo pq en vez de p ∗ q.
La sucesión X = (0, 1, 0, 0, · · · ) se llama la indeterminada de A[[X]].
Proposición 1.5. El elemento X está en el centro de A[[X]]. Explı́citamente, si p = (a0 , a1 , . . . ), entonces
Xp = pX = (0, a0 , a1 , . . . ).
Corolario 1.6. Si a ∈ A ⊂ A[[X]], entonces
a = (a, 0, 0, . . . ),
aX = (0, a, 0, . . . ),
aX 2 = (0, 0, a, 0, . . . ),
aX 3 = (0, 0, 0, a, 0, . . . ),
···
.
Proposición 1.7. Sea (an ), (bn ) ∈ A[[X]] tales que existen r, s ∈ N tales que an = 0, ∀n > r y bn = 0,
∀n > s. Entonces
X
an + bn = 0, ∀n > máx{r, s},
ak bl = 0, ∀n > r + s.
k+l=n
Definición 1.8. Sea
A[X] = {(an ) ∈ A[[X]] : existe m ∈ N tal que an = 0, ∀n > m}.
La proposición anterior implica que A[X] es un subanillo de A[[X]]. Al conjunto A[X] con esta estructura
de anillo se le llama el anillo de polinomios con coeficientes en A.
1
Si p = (an ) ∈ A[X], entonces existe m ∈ N tal que an = 0, ∀n > m, luego
p = (a0 , a1 , . . . , an , 0, 0, . . . )
= (a0 , 0, 0, . . . ) + (0, a1 , 0, 0, . . . ) + · · · + (0, 0, . . . , an , 0, 0, . . . )
= a0 + a1 X + · · · + an X n .
Ası́ el anillo de polinomios se escribe
A[X] = {a0 + a1 X + · · · + an X n : a0 , . . . , an ∈ A, n ∈ N} .
La notación de los polinomios se generaliza a las series de potencias formales. Si p = (a0 , a1 , . . . ) ∈ A[[X]],
entonces podemos pensar
p = (a0 , 0, 0, . . . ) + (0, a1 , 0, 0, . . . ) + (0, 0, a2 , 0, 0, . . . ) + · · · = a0 + a1 X + a2 X 2 + · · · =
∞
X
an X n .
n=0
P∞
Xn
es solo una forma de escribir (a0 , a1 , . . . ), dado que no tiene sentido
Notar que en este contexto n=0 an
hablar de sumas infinitas en anillos arbitrarios. Con esta notación, las operaciones en A[[X]] se escriben
∞
X
an X n +
n=0
∞
X
∞
X
an X n =
n=0
!
an X n
n=0
∞
X
n=0
!
an X n
=
∞
X
(an + bn )X n ,
n=0
∞
X
X
n=0
k+l=n
!
ak bl
X n = a0 b0 + (a0 b1 + a1 b0 )X + · · · .
De ahora en adelante en A[X] y A[[X]] usaremos siempre estas notaciones y no las de sucesiones.
2.
Propiedades
Definición 2.1. Si p = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ A[X] y p 6= 0, definimos el grado de p mediante
gr (p) = máx{m ∈ N : am 6= 0}.
Si p = 0, definimos gr (p) = −∞. Ası́ gr : A[X] → N, siendo N = N ∪ {−∞}.
Si extendemos la suma y el orden de N a N mediante
x + (−∞) = −∞ + x = −∞, ∀x ∈ N y
− ∞ < n, ∀n ∈ N,
entonces de la proposición 1.7 se deduce la siguiente.
Proposición 2.2. Sean p, q ∈ A[X], entonces
gr (p + q) ≤ máx{gr (p), gr (q)},
gr (pq) ≤ gr (p) + gr (q)
Observación 2.3. En Z6 [X] tenemos que si p = 2X y q = 3X 2 + 1, entonces pq = 2X. Luego
gr (pq) = 1 < 3 = gr (p) + gr (q).
Esto implica que puede valer la desigualdad en la segunda fórmula de (1).
Proposición 2.4. Si A es un dominio, entonces vale gr (pq) = gr (p) + gr (q), para todo p, q ∈ A[X].
Corolario 2.5. Si A es un dominio, entonces A[X] también lo es.
1
Ejercicio 2.6. Probar
P∞ que si nA es un dominio, entonces A[[X]] también lo es .
Sugerencia: si 0 6= n=0 an X ∈ A[[X]], entonces mı́n{n : an 6= 0} > 0.
1
Notar que este ejercicio implica el corolario anterior.
2
(1)
3.
Caso conmutativo
En esta sección asumiremos siempre que los anillos son conmutativos.
P
P
Definición 3.1. Dado p = ni=0 ai X i ∈ A[X], la función p̂ : A → A definida por p̂(x) = ni=0 ai xi , para
todo x ∈ A, se llama la función polinómica asociada al polinomio p.
Proposición 3.2. Dado un anillo A, la correspondencia p 7→ p̂ es un morfismo de anillos de A[X] en AA ,
siendo AA el anillo de funciones de A en A.
Observación 3.3. Notar que p = X 2 +X ∈ Z2 [X] verifica p̂ = 0 : Z2 → Z2 ; luego la correspondencia p 7→ p̂ no
es inyectiva y por lo tanto en general no se pueden identificar los polinomios con las funciones polinómicas.
Definición 3.4. Dado p ∈ A[X], un elemento α ∈ A se dice que es una raı́z de p si p̂(α) = 0.
Proposición 3.5 (División por X − a). Dado p ∈ A[X] y a ∈ A, existen únicos q ∈ A[X] y r ∈ A tales que
p = (X − a)q + r; q es el cociente y r es el resto de dividir p por X − a.
Proposición 3.6. Dados p ∈ A[X] y α ∈ A, entonces α es raı́z de p si y solo si existe q ∈ A[X] tal que
p = (X − α)q.
Corolario 3.7. Sea A un dominio.
1. Si p ∈ A[X] y α1 , . . . , αk ∈ A son raı́ces de p, entonces ∃q ∈ A[X] tal que p = (X − α1 ) · · · (X − αk )q.
P
2. Si p = ni=0 ai X i ∈ A[X] y α1 , . . . , αn ∈ A son raı́ces de p, entonces p = an (X − α1 ) · · · (X − αn ).
3. Si p ∈ A[X] y gr (p) = n ≥ 0, entonces p tiene a lo más n raı́ces.
Ejemplo 3.8. En Z6 el polinomio X 2 − X tiene cuatro raı́ces: 0, 1, 3, 4. Luego el corolario anterior no es
válido si A no es un dominio. Sin embargo la proposición anterior se puede aplicar y vale
X 2 − X = X(X − 1) = (X − 3)(X − 4).
Corolario 3.9. Si A es un dominio infinito (por ejemplo Z, Q, R, C), entonces la correspondencia p 7→ p̂
es inyectiva. Luego en este caso podemos identificar los polinomios con las funciones polinómicas.
P
Observación 3.10. Sea B un anillo y A ⊂ B un subanillo. Si p = ni=0 P
ai X i ∈ A[X], pensando A[X] ⊂
B[X] podemos asociarle a p la función p̂ : B → B definida por p̂(x) = ni=0 ai xi , para todo x ∈ B. La
correspondencia p 7→ p̂ es un morfismo de anillos de A[X] en B B . Los siguientes son casos particulares de
esta construcción.
Sea A un anillo y P ⊂ A el anillo primo de A. Entonces para cada a ∈ A se cumple que el subanillo
√
de√
A generado
por
a
es
P
[a]
:=
{p̂(a)
:
p
∈
P
[X]}.
Por
ejemplo
el
subanillo
de
R
generado
por
2 es
√
Z 2 = {p̂(a) : p ∈ Z[X]} = a + b 2 : a, b ∈ Z .
Sea A un anillo y B = A[X]. A cada p ∈ A[X] le podemos asociar p̂ : A[X] → A[X]. Esto permite
evaluar polinomios en polinomios; notar que en particular vale p = p̂(X).
3
De ahora en adelante simplificaremos la notación escribiendo p(a) en vez de p̂(a).
Proposición 3.11 (Propiedad universal). Sea ϕ : A → B un morfismo de anillos y b ∈ B. Entonces ϕ se
puede extender de forma única a un morfismo ϕ : A[X] → B de forma tal que ϕ(X) = b. Explı́citamente:
!
n
n
n
X
X
X
i
i
ϕ
ai X =
ϕ(ai )b , ∀
ai X i ∈ A[X].
i=0
i=0
i=0
Veamos algunas aplicaciones de la propiedad universal.
Si k es un cuerpo y a ∈ k, entonces I = {p ∈ k[X] : p(a) = 0} es un ideal maximal de k[X]. En efecto,
eva : k[X] → k definido por eva (p) = p(a) es un morfismo sobreyectivo de anillos e I = Ker(eva ),
luego A/I ' k.
Sea ϕ : A → B un morfismo de anillos. La propiedad
universal
Pn nos dice i que ϕ se extiende a un
Pn
i
morfismo de anillos ϕ : A[X] → B[X] tal que ϕ
= i=0 ϕ(ai )X .
i=0 ai X
En particular, para cada m ∈ Z+ el mapa Z[X] → Zm [X] definido por
morfismo de anillos.
Pn
i=0 ai X
i
7→
Pn
i=0 ai X
i,
es un
Observación 3.12. La propiedad universal se puede extender al caso en que A y B no sean conmutativos,
pero tenemos que pedir en ese caso que b conmute con todos los elementos de la imagen de ϕ; una forma de
garantizar esto último es tomar b en el centro de B.
4.
Polinomios en varias variables
La construcción de los polinomios en varias variables es análoga a la del caso de una sola variable.
Veamos rápidamente el caso de dos variables. Un polinomio en dos variables tiene la forma
p = a00 + a10 X + a01 Y + a20 X 2 + a11 XY + a02 Y 2 + · · · ,
luego podemos identificarlo con la sucesión de sus coeficientes (a00 , a10 , a01 , a20 , a11 , a02 , . . . ). Con esta idea
hacemos la construcción siguiente.
Sea A un anillo y consideremos A[[X, Y ]] = AN×N = {f : N × N → A : f es una función}. Al conjunto
A[[X, Y ]] le damos estructura de anillo definiendo la suma lugar a lugar y el producto mediante lo siguiente.
Nosotros queremos que si
p = a00 + a10 X + a01 Y + a20 X 2 + a11 XY + a02 Y 2 + · · ·
q = b00 + b10 X + b01 Y + b20 X 2 + b11 XY + a02 Y 2 + · · ·
entonces
pq = a00 b00 + (a00 b10 + a10 b00 )X + (a00 b01 + a01 b00 )Y + (a00 b20 + a10 b10 + a20 b00 )X 2 + · · · .
Luego si p = (a00 , a10 , a01 , a20 , a11 , a02 , . . . ) y q = (b00 , b10 , b01 , b20 , b11 , b02 , . . . ), definimos
pq = (a00 b00 , a00 b10 + a10 b00 , a00 b01 + a01 b00 , a00 b20 + a10 b10 + a20 b00 , . . . ).
El anillo de las series de potencias formales en dos variables es A[[X, Y ]] con esta estructura de anillo. Si
escribimos
X = (0, 1, 0, 0, . . . ), Y = (0, 0, 1, 0, 0, . . . ), a = (a, 0, 0, . . . ), ∀a ∈ A,
4
entonces podemos pensar los elementos de A[[X, Y ]] como series dobles2
∞
X
(a00 , a10 , a01 , a20 , a11 , a02 , . . . ) = a00 + a10 X + a01 Y + a20 X 2 + a11 XY + a02 Y 2 + · · · =
an,m X n Y m .
n,m=0
El conjunto de los polinomios en dos variables A[X, Y ] se define mediante
A[X, Y ] = {p = (a00 , a10 , a01 , a20 , a11 , a02 , . . . ) ∈ A[[X, Y ]] : ∃n0 , m0 , tales que aij = 0, si i > n0 o j > m0 }.
Como en el caso de una variable, se prueba que A[X, Y ] es un subanillo de A[[X, Y ]]. Luego A[X, Y ] es un
anillo con las operaciones descritas anteriormente.
Consideremos p = 2 + X + 3Y − X 2 + XY − Y 2 + 3XY 4 ∈ Z[X, Y ]. Reordenando p podemos pensar
p = 2 + 3Y − Y 2 + 1 + Y + 3Y 4 X − X 2 ∈ Z[Y ] [X],
p = 2 + X − X 2 + (3 + X)Y − Y 2 + 3XY 4 ∈ Z[X] [Y ].
No es difı́cil probar que la cuenta del ejemplo anterior se puede hacer en general y que existen isomorfismos
de anillos
A[X, Y ] ' A[Y ] [X] ' A[X] [Y ].
Todo lo que vimos para dos variables, se generaliza naturalmente para polinomios en cualquier número finito
de variables. Una referencia para este tema es el libro Algebra de Thomas W. Hungerford.
2
Es claro que esto es solo un formalismo, dado que a la derecha de la igualdad hay una suma infinita.
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