LA ACÚSTICA EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

LA ACÚSTICA EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA
Casado García, Mario Enrique
Escuela de Ingenierías. Edificio Tecnológico
Campus de Vegazana, s/n
24071 León
España
Tel: 644420130
E-Mail: mecg@mecg.es
RESUMEN
En el presente trabajo se tratará de abordar el tema del procesado e interpretación del dominio
transformado de la frecuencia. Una señal acústica en tiempo se puede ver como una señal en
el dominio de la frecuencia sin más que hacer su transformada de Fourier. Este cambio será
más complejo en cuanto más compleja sea la señal. Una vez se tiene el espectro frecuencial
de la señal se pueden evaluar y procesar todo lo que se quiera. Un ejemplo sería, en una
medición acústica, la interpretación del nivel de aislamiento de un material a las distintas
frecuencias, es decir, que frecuencias del espectro de la señal son mejor absorbidas, y por el
contrario que frecuencias son peor aisladas. Estas frecuencias se suelen ver como
agrupaciones de frecuencia, en las llamadas bandas frecuenciales, ya que no se suele analizar
cada frecuencia unitariamente. En última instancia se hará un ejemplo de procesado, filtrado
digital, de un archivo de audio en el programa MATLAB ®.
1.- INTRODUCCIÓN
¿Qué es el sonido?, bien, pues esta pregunta tiene una fácil explicación. El sonido es una
vibración mecánica que se transmite a través de un medio capaz de sufrir elasticidades en sus
propiedades físicas, produciendo una sensación auditiva provocada por el cambio de presión
que se está ejerciendo en el oído humano.
Entonces se podría decir que el sonido se genera de la siguiente forma: cualquier vibración que
se produzca a través del aire provocará sobre este una serie de desplazamientos de las
partículas a su alrededor, sacándolas de su posición de equilibrio y haciéndolas vibrar. Estos
desplazamientos provocan compresiones y rarefacciones de las partículas del aire, generando
lo que se conoce como ondas acústicas. Las ondas acústicas darán lugar a una muy pequeña
variación de la presión atmosférica normal. A esta desviación de la normal de la presión
atmosférica se le conoce como presión acústica. Y son estas variaciones de presión las que
son captadas por el oído humano.
De la forma de generar el sonido se pueden extraer dos características fundamentales. Por un
lado está la naturaleza energética del sonido, ya que hace falta una determinada energía para
que las partículas del medio se desplacen provocando la propagación de ondas sonoras y en
función de esto se esté generando un mayor o menor nivel de presión acústica. Y por otro lado
la naturaleza vibratoria, o modo en el que se producen las compresiones y rarefacciones del
medio a intervalos de repetición iguales. Esta última característica vibratoria se determina
mediante el parámetro de la frecuencia, ya que este es el número de oscilaciones por unidad
de tiempo, y mide el número de veces que una partícula pasa por su posición de equilibrio
natural en una unidad de tiempo después de pasar por sus máximos desplazamientos.
El presente trabajo se basará en esta última característica vista y se tratará de caracterizar, en
la medida de lo posible, todo lo que ello conlleva. A modo de ejemplo una partícula que vibre
periódicamente a intervalos regulares estará generando un tono puro, véase la Ilustración 1:
Ilustración 1: Modulación sinusoidal provocada por la vibración de un tono puro.
2
Este tono puro se corresponde con una onda sinusoidal, una onda periódica definida por la
siguiente ecuación:
f (t ) = Asen(2π ft + θ ) (1.1)
donde A es la amplitud, f es la frecuencia, t es el tiempo y
θ es la fase.
La amplitud de la señal se corresponde con el volumen del sonido, es decir, con el nivel de
presión acústica. Este se mide en dB y el rango de un oído sano suele estar entre 0 y 140dB.
La frecuencia se corresponde tradicionalmente con la magnitud subjetiva de la altura o
gravedad de un sonido. Es la velocidad a la que oscila, vibra una partícula, la señal. Esta es
una magnitud objetiva y mensurable referida a las ondas periódicas para expresar el número
de vibraciones por segundo de la partícula. Se mide en Hz y el rango audible para un oído
humano sano está más o menos entre 20 y 20000Hz.
2.- ANÁLISIS ESPECTRAL DE LA SEÑAL
En el dominio transformado de la frecuencia se representan los análisis de las señales
acústicas respecto a su frecuencia de vibración. Mientras que en un gráfico temporal se
muestra la evolución temporal de una señal con respecto del tiempo, en un gráfico frecuencial
se muestran las componentes con respecto a la frecuencia en la que vibra, oscila, la partícula.
Volviendo al ejemplo de la señal sinusoidal que se presentó en el apartado anterior, véase
como quedaría esta señal en el dominio de la frecuencia:
Ilustración 2: Representación en el dominio de la frecuencia de un tono puro.
3
La caracterización de esta señal periódica sinusoidal en frecuencia es el caso más simple que
se puede encontrar, ya que tanto un seno como un coseno se representan en frecuencia como
un tono puro, sin más componentes que la tonal. Este caso es ideal y los sonidos presentes en
el mundo real son mucho más complejos y difíciles de analizar. Se procederá a continuación a
ver más detalladamente que una señal periódica x(t), de periodo T, va a poderse escribir como
una combinación lineal de exponenciales complejas armónicamente relacionadas mediante las
series de Fourier, es decir, se va a poder descomponer esa señal compleja en otras más
simples, en tonos puros. Véase ahora esquemáticamente un ejemplo sencillo de una señal
compleja que ha surgido como suma de 3 componentes tonales.
Ilustración 3: Representación de la descomposición de una señal compleja como suma de senos.
Originando, mediante la transformada de Fourier, en el dominio de la frecuencia, el siguiente
espectro de tonales:
Ilustración 4: Representación en el dominio de la frecuencia de una señal compleja.
Entrando más en profundidad, y atendiendo a la complejidad de las señales que se pueden
encontrar, se atenderá y prestará especial atención a la naturaleza de la fuente vibrante y a la
forma de captar esas vibraciones, dando origen a los siguientes tipos de señales:
4
•
Señales periódicas continúas.
•
Señales aperiódicas continúas.
•
Señales periódicas discretas.
•
Señales aperiódicas discretas.
Las señales periódicas, tanto continuas como discretas, se describen en el dominio de la
frecuencia mediante la transformada de Fourier a partir de sus series de Fourier, mientras que
las señales aperiódicas, igualmente tanto continuas como discretas, se describen con la
transformada de Fourier. La diferencia entre señales continuas y discretas viene dada por el
diferente análisis de Fourier para señales continuas o discretas respectivamente.
2.1.- Las Series De Fourier
Las series de Fourier se utilizan como método de análisis matemático para señales periódicas
complejas a través de su descomposición en una suma de infinitas funciones sinusoidales más
simples, es decir, como una combinación de senos y cosenos. Esto es lo que se conoce como
el teorema de Fourier, en el que, dicho de otra manera, una señal compleja se puede construir
mediante la suma de señales más simples, como ya se vio en la Ilustración 3.
Las ecuaciones que rigen estas series de Fourier son:
•
Serie de Fourier de señales continuas (FS, por sus siglas en inglés):
x (t ) =
∞
∑
k =−∞
•
Ck e
jk
2π
t
T
, siendo Ck =
1
T
∫
<T >
x (t ) e
− jk
2π
t
T
dt (2.1)
Serie de Fourier de señales discretas (DFS, por sus siglas en inglés):
x [ n] =
∑
k =< N >
ak e
jk
2π
n
N
1
, siendo ak =
N
∑ x [ n]e
−j
2π
n
N
(2.2)
n =< N >
Se verá ahora un ejemplo práctico de la serie de Fourier para una señal cuadrada, periódica y
continua g(t) definida de la siguiente manera:
1| t |≤ 0, 5
(2.3)
g (t ) = 
0
|
t
|
>
0,5

Se representará la señal original, la serie de Fourier con coeficientes C0, C1 y C2, la serie de
Fourier con los coeficientes hasta C6 y la serie de Fourier hasta el coeficiente C20. Obsérvese
que a mayor suma de coeficientes la señal se parece cada vez más a la señal original.
5
Ilustración 5: Señal cuadrada original g(t).
Ilustración 6: Serie de Fourier utilizando los coeficientes C0, C1 y C2, y señal original en líneas discontinuas.
Ilustración 7: Serie de Fourier utilizando los coeficientes hasta el C6, y señal original en líneas discontinuas.
6
Ilustración 8: Serie de Fourier utilizando los coeficientes hasta el C20, y señal original en líneas discontinuas.
2.2.- Las Transformadas De Fourier
La transformada de Fourier permite la representación de la información de cualquier señal en el
dominio de la frecuencia.
Estas transformadas de Fourier quedan definidas mediante:
•
Transformada de Fourier de señales continuas:
∞
X (ω ) = ∫ x(t )e − jωt dt
−∞
1
x (t ) =
2π
∫
∞
−∞
(2.4)
jω t
X (ω )e d ω
donde x(t)X(ω) es la transformada de Fourier (FT por sus siglas en inglés) y X(ω)x(t) es la
anti-trasformada de Fourier (IFT, por sus siglas en inglés).
•
Transformada de Fourier de señales discretas:
X ( Ω) =
∞
∑ x [ n] e
− j Ωn
n =−∞
1
x [ n] =
2π
(2.5)
∫
< 2π >
X ( Ω )e
j Ωn
dΩ
donde x[n]X(Ω) es la transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT, por sus siglas en
inglés) y X(Ω)x[n] es la anti-trasformada de Fourier de tiempo discreto (IDTFT, por sus siglas
en inglés).
7
•
Transformada discreta de Fourier:
X (Ω) =
∞
∑ x [ n] e
X [ k ] = X ( Ω)
− j Ωn
n =−∞
1
x [ n] =
N
∑ X [ k ]e
Ω= k
N −1
X (k ) = ∑ x [ n ] e
j Ωn
2π
N
−j
2π
n
N
(2.6)
n =0
k =< N >
donde x[n]X(k) es la transformada discreta de Fourier (DFT, por sus siglas en inglés) y
X(k)x[n] es la anti-trasformada discreta de Fourier (IDFT, por sus siglas en inglés).
Se prestará especial atención a esta última transformada, la DFT. Esta requiere que la función
de entrada x[n] sea una secuencia discreta y de duración determinada N. Esta secuencia ha
podido generarse a partir del muestreo de una función continua, este método se verá más
adelante. A diferencia de la DTFT, esta transformación evalúa únicamente las componentes
frecuenciales que necesite para reconstruir el segmento que se analiza, sin producir aliasing.
Esto quiere decir que la DFT está analizando un único periodo de una señal periódica que se
extiende infinitamente. En caso de no poder realizar el análisis de un periodo de la señal lo que
se hace es enventanarla, utilizando una de las ventanas disponibles, como por ejemplo la
ventana Hanning.
La DFT se utiliza en el tratamiento digital de la señal, y como no podía ser de otra manera en el
procesado de las señales acústicas que han sido muestreadas y digitalizadas. Es muy útil para
la multiplicación de señales en tiempo (aplicación de filtros), convolución en frecuencia, ya que
la convolución de la DFT es circular y por ello muy eficaz. Otro de los aspectos de porque es
muy interesante esta DFT es porque existen algoritmos de cálculo de la DFT de manera muy
eficiente, como es el caso de la transformada rápida de Fourier (FFT, por sus siglas en inglés).
Por último, y a modo de ejemplo, se expondrán dos ejemplos muy sencillos, en banda base y
teóricos, representativos de la transformada de Fourier.
•
Transformada de Fourier de un seno, definido por x(t) = sin(2πfct)
Siendo fc la frecuencia central igual a 200Hz. Se tiene que su respuesta en frecuencia,
utilizando los pares básicos de la transformada de Fourier, es:
X(ω) = (1/2j) [δ(f-fc)-δ(f+fc)] (2.7)
Obsérvese en la Ilustración 9 la representación en el dominio temporal, figura izquierda, del
seno, y su representación en el domino frecuencial en la derecha. Destacar que la
transformada de Fourier es compleja, por ello las dos componentes espectrales.
8
Ilustración 9: Señal sinusoidal en el tiempo, a la izquierda, y misma señal en el dominio de la frecuencia a la
derecha.
•
Transformada de Fourier de un pulso cuadrado, definido por y(t) = ∏ (t/T0)
Siendo T0 igual 0,01. Se tiene que su respuesta en frecuencia, utilizando los pares básicos de
la transformada de Fourier, es:
Y(ω) = T0 sinc (fT0) (2.8)
Obsérvese en la Ilustración 10 la representación en el dominio temporal de un pulso cuadrado,
a la izquierda, y su representación en el dominio de la frecuencia a la derecha. Como se
observa a simple vista la transformada de Fourier de un pulso cuadrado es una función sinc o
seno cardinal.
Ilustración 10: Señal cuadrada en el tiempo, a la izquierda, y misma señal en el dominio de la frecuencia a la
derecha.
9
3.- MUESTREO DE LA SEÑAL
Las señales en tiempo discreto se pueden generar de muy diversas formas, pero la más
común, y la que aquí se verá, es que aparezca como consecuencia del muestreo de una señal
en tiempo continuo. Es de notar la relevante importancia que tiene el hecho de que se pueda
realizar el procesado de las señales en tiempo continuo mediante un proceso de muestreo, un
tratamiento de las señales muestreadas en tiempo discreto, tanto en tiempo como en
frecuencia, y una reconstrucción posterior de la señal resultado la señal en tiempo continuo.
La conversión de tiempo continuo a discreto viene dada por el conversor ideal de tiempo
continuo a tiempo discreto (C/D). En el caso de una modulación digital de pulsos (PCM, por
siglas en inglés) habrá que tener en cuenta los siguientes pasos:
•
Muestreo: discretizar la señal en tiempo.
•
Cuantificación: discretizar la señal en amplitud.
•
Codificación: asignar un código a cada muestra. Parte de la digitalización.
Un ejemplo práctico sería el siguiente: un cantante está emitiendo una señal continua analógica
que es captada por un micrófono x(t). Esta señal que se recoge en el micrófono es tratada por
un conversor analógico/digital, que hace las funciones del conversor de tiempo continuo a
discreto ideal (C/D), que muestreara la señal tomando muestras cada cierto tiempo en
instantes predefinidos. Una vez se tiene la señal discretizada x[n] se podrá modificar, aplicando
por ejemplo algún filtrado en el dominio de la frecuencia, mediante una función H[Ω].
Posteriormente la señal modificada y[n] pasará por un conversor digital/analógico para convertir
la señal discreta en una señal continua que atacará a los altavoces y(t), generando el sonido
modificado.
x[n]
x(t)
A/D
y[n]
h[n]
D/A
y(t)
3.1.- Análisis Del Muestreo De Una Señal En El Dominio Temporal
El proceso de muestreo consiste en obtener muestras discretas de una señal continua en
tiempo. Se parte de una señal de energía finita g(t), y se supone que se muestrea g(t) a una
tasa uniforme cada Ts segundos. Con lo que se obtiene una secuencia de números
equiespaciados Ts segundos. Esto es lo que se conoce como muestreo por tren de impulsos.
La señal g(t) es multiplicada por un tren de deltas, δTs(t), equiespaciadas Ts segundos,
obteniendo gδ(t), como una serie de impulsos equiespaciados que siguen la señal original g(t).
10
De una forma mucho más gráfica y visible se puede observar a continuación el proceso de
muestreo por tren de impulsos descrito anteriormente:
Ilustración 11: Muestreo de una señal g(t) con tren de impulsos.
A la salida de gδ(t) es cuando se aplicará el C/D que convertirá los δ continuos en δ discretos
originando g[n]. Véase un resumen de todo el proceso en la Tabla 1:
Tabla 1: Resumen de un proceso de muestro en tiempo.
g(t)
δTs(t)
gδ(t)
g[n]
Una cuestión importante consiste en ver si a partir de las muestras de g[n] se va a poder
recuperar la señal original g(t). Esto dependerá de la banda de frecuencia de la señal y de la
tasa de muestreo, por lo que se procederá ahora a analizar la señal en el dominio de la
frecuencia.
11
3.2.- Análisis Del Muestreo De Una Señal En El Dominio De La Frecuencia
Primeramente se hallarían las transformadas de Fourier de g(t) y δTs(t), dando lugar a G(f) y
∆Ts(f) respectivamente. Una vez halladas las transformadas se procedería a calcular Gδ(f) que
será, según la propiedad de convolución de la transformada de Fourier, una convolución en el
dominio de la frecuencia. Así pues se obtendría:
Ilustración 12: Muestreo de una señal G(f) con tren de impulsos.
El proceso de muestreo uniforme de una señal en el dominio del tiempo da lugar a un espectro
periódico en el dominio de la frecuencia, con periodo igual a la frecuencia de muestreo. Con
esto en mente se puede llegar a la conclusión de que si se muestrea por debajo de dos veces
la frecuencia de la señal se producirá solapamiento espectral, lo que se conoce como aliasing
frecuencial. Se llega entonces al siguiente teorema del muestreo o teorema de Nyquist:
•
Una señal limitada en banda, de energía finita, que no tiene componentes en
frecuencia mayores de ω, puede ser recuperada totalmente a partir de muestras
tomadas a una tasa de 2ω muestras por segundo. O dicho de otra manera, que la
frecuencia de muestreo tiene que ser igual o mayor que dos veces la frecuencia
máxima de la señal (ω)
Tabla 2: Resumen de un proceso de muestro en frecuencia.
G(f)
∆Ts(f)
Gδ(f)
G(Ω)
12
3.3.- Interpolación
Sin entrar en mucho detalle, la interpolación sirve para reconstruir la señal original a partir de
las muestras, usando como funciones de interpolación:
•
Dominio de la frecuencia: filtro paso bajo de ganancia TS y frecuencia de corte la mitad
de la frecuencia de muestreo.
•
Dominio del tiempo: función h[n] = sinc(2ωt)
4-. DE LA SERIE ARMÓNICA A LAS BANDAS FRECUENCIALES
La serie armónica, acústicamente hablando, es un conjunto de sonidos formados por un sonido
de frecuencia fundamental, o primer armónico, más una sucesión de sonidos afines con
respecto a esta frecuencia fundamental llamados armónicos. Esta afinidad se refleja en el
hecho de que los armónicos están relacionados en números enteros con respecto a la
frecuencia fundamental.
Partiendo del hecho de la existencia de una frecuencia fundamental, un tono puro, que en la
actualidad está centrado en 440Hz, o lo que es lo mismo, musicalmente hablando, la nota “la”
fundamental, que es la nota que se reproduce en un diapasón al ser golpeado. Si se duplica la
frecuencia de ese tono se obtendrá un armónico en una octava superior, y si se divide por la
mitad la frecuencia fundamental se obtendría un armónico en una octava inferior. Entonces,
¿cómo se define una octava?, una octava es un intervalo de frecuencias que separan dos
sonidos en una relación de 2:1.
Debido a que es muy importante conocer el espectro frecuencial de un sonido para el análisis e
interpretación de una medición sonora, es de vital importancia obtener el contenido frecuencial
del sonido para analizar el nivel de presión sonora en cada una de las componentes
frecuenciales. Normalmente los medidores acústicos, como puede ser un sonómetro, agrupan
este contenido frecuencial en lo que se denomina bandas de frecuencia, ya que normalmente
no interesan las mediciones en frecuencias unitarias, debido a la alta cantidad de información
que se daría. Estas bandas de frecuencia aglutinarán una serie de frecuencias, que irán de
mayor a menor número de frecuencias agrupadas dependiendo de que la banda sea en
octavas, tercios de octava o menores respectivamente. Cuanto menor sea la agrupación mayor
resolución se obtendrá en la medición acústica, y por tanto más información se conseguirá.
13
Ilustración 13: Bandas frecuenciales en octavas.
El valor de la amplitud asignada a cada banda del espectro frecuencial es la suma de cada una
de las amplitudes de las frecuencias unitarias que la banda contiene. Las frecuencias
representadas en la Ilustración 13 son las frecuencias centrales de las bandas dadas en
octavas. Estas frecuencias centrales, así como los anchos de la banda de las mismas, están
recogidas en la norma estándar internacional de la International Electrotechnical Commission
IEC 61260:1995 y en su versión revisada IEC 61260/A1:2001, y transcritas a la normativa
nacional española en UNE-EN 61260:1997 y UNE-EN 61260/A1:2002.
Tabla 3: Frecuencias centrales estándar IEC de las bandas de octavas en Hz.
31
Frecuencias centrales del estándar IEC de las bandas de octavas en Hz
64
125
250
500
1000
2000
4000
8000
16000
Cuando se necesita una mayor resolución, que la división en octavas, del espectro frecuencial
se recurre en primeria instancia a las bandas de tercio de octavas, obtenidas estas de la
división de las bandas de octava en tres intervalos logarítmicamente equivalentes. Véase la
Tabla 4. Y si se requiere la máxima resolución se puede ir directamente a frecuencias discretas
analizando una por una todas las frecuencias y viendo lo que allí está aconteciendo, aunque no
es lo normal y con una resolución de 1/3 de octava, 1/16 de octava, 1/12 de octava, suele ser
más que suficiente para el análisis espectral de una medición acústica.
Tabla 4: Frecuencias centrales estándar IEC de las bandas de tercio de octavas en Hz.
25
31
40
Frecuencias centrales estándar IEC de las bandas de tercio de octavas en Hz
50
100
200
400
800
1600
3150
6300
12500
64
125
250
500
1000
2000
4000
8000
16000
80
160
315
630
1250
2500
5000
10000
20000
Pero, ¿cómo se consigue todo esto? La explicación radica en hacer un filtrado a la señal en el
dominio de la frecuencia. Estos filtros paso banda estarán centrados en la frecuencia central de
la banda y su ancho de banda, correspondiente al ancho de banda a 3dB, se corresponderá
con la banda de octava que se esté manejando. Quedarán definidos mediante la siguiente
tabla:
14
Tabla 5: Determinación de los filtros utilizados en la creación de las bandas de octavas.
Octava
1/1
1/3
F central
f0
f0
BW a 3dB
0,707 x f 0
0,231 x f 0
F corte inferior
0,707 x f 0
0,891 x f 0
F corte superior
1,414 x f 0
1,123 x f 0
Siendo el ancho de banda a 3dB el correspondiente al ancho de banda en el que la señal cae
3dB con respecto a su máximo, obsérvese la Ilustración 14:
Ilustración 14: Interpretación del ancho de banda a 3dB.
Por último recalcar que los niveles de presión sonora en una banda de octava determinada no
tienen que ser los mismos que en la misma banda de tercio de octava. Es decir, para una
misma frecuencia central el comportamiento del cálculo del nivel de presión sonora difiere
dependiendo de si se está en dando el resultado en octavas o tercios de octava, ya que la
suma de los niveles de presión acústica de la banda no son los mismos. Un ejemplo ilustrativo
es el siguiente:
Tabla 6: Ejemplo de diferencia de nivel de presión sonoro en comparación con la frecuencia central de la banda.
1/3 Octava(Hz)
400
500
630
SPL (dB)
56
56
59
1/1 Octava (Hz)
-500
-
SPL (dB)
62
5.- PROCESADO DIGITAL DE SONIDO EN MATLAB: FILTRADO
En este apartado se intentará demostrar mediante un ejemplo práctico hasta qué punto el
procesado en el dominio de la frecuencia es importante. Este ejemplo se ha desarrollado y
15
programado en MATLAB 7 ®, software de modelado, simulado y analizado de sistemas
dinámicos. Los archivos que se adjuntan son los siguientes:
•
Mario_Casado_Filtrado_Audio.m: archivo de programación M-file de MATLAB ®. En
este archivo se agrupan la colección de comandos para ejecuciones masivas de un
programa que necesita de estos comandos. Es el archivo de ejecución del ejemplo
práctico de filtrado.
•
jmj.wav: archivo de sonido. Este archivo es un extracto de 20 segundos de la canción
Oxigene 2 del autor Jean Michel Jarre. Es un archivo de audio de 2 canales codificado
en PCM con una frecuencia de muestreo de 48KHz.
El ejemplo práctico que aquí se presenta ha sido desarrollado e implementado para la
aplicación dinámica de sendos filtros en frecuencia a una señal cualquiera de audio, siempre y
cuando este en formato “wav”, no tiene porque ser la señal adjunta jmj.wav. El filtrado
consistirá en aplicarle a la señal de audio uno de los siguientes filtros, definidos por el usuario
al principio de la ejecución del programa:
•
Filtro paso bajo.
Por ejemplo, para una frecuencia introducida en el filtro paso bajo de 500Hz, este actuará
sobre la señal de audio dejando pasar las frecuencias bajas del espectro, mientras que las
frecuencias a partir de 500Hz las atenuará mucho llegando a ser despreciables, eliminadas.
Obsérvese la Ilustración 15, en la que se puede apreciar a simple vista el filtro paso bajo
definido en el espectro frecuencial y cuya frecuencia de corte es de 500Hz. Este filtro, y el resto
de filtros que aquí se presentan, son filtros digitales lIR, es decir, tienen una respuesta al
impulso infinita. Esto significa que los filtros tendrán un número infinito de términos no nulos,
como se aprecia, no volviendo nunca al reposo:
Ilustración 15: Filtro digital IIR Butterworth paso bajo.
•
Filtro paso alto.
El caso contrario consistirá en filtrar las frecuencias bajas del espectro dejando pasar las altas
frecuencias. Por ejemplo, ahora se muestra el filtro paso alto para una introducción de 700Hz,
en el que se eliminaran las componentes frecuenciales por debajo de esta cifra.
16
Ilustración 16: Filtro digital IIR Butterworth paso alto.
•
Filtro paso banda.
Este caso es una combinación de los otros dos filtros. Dejará pasar la señal entre dos rangos
definidos al comienzo del programa. Eliminara entonces las frecuencias por debajo del rango
inferior y las frecuencias por encima del rango superior. Por ejemplo, si se hubiera introducido
2KHz y 3KHz, el filtro quedaría como se muestra a continuación:
Ilustración 17: Filtro digital IIR Butterworth paso banda.
Estos filtros se aplicarán sobre una señal de audio, véase la Ilustración 18. En esta se puede
observar la señal en el dominio temporal y frecuencial.
Ilustración 18: Señal de audio original en el dominio temporal y frecuencial.
17
Obsérvese en el dominio del tiempo como aparecen dos colores en el grafo. Esto es debido a
la presencia de los dos canales de audio. Los filtros IIR implementados son filtros de
Butterworth, un tipo de filtro digital en el que se tiene respuesta plana hasta la frecuencia de
corte, momento en el que empieza a disminuir, a atenuar las frecuencias. Se obtendrán los
siguientes resultados, para cada uno de los filtros:
•
Señal de audio original filtrada mediante el filtro paso bajo:
Ilustración 19: Señal de audio a la que se le ha aplicado un filtro paso bajo, representada en el dominio temporal
y frecuencial.
En la Ilustración 19 se puede observar en el espectro en frecuencias que solo hay presencia de
componentes frecuenciales en las frecuencias bajas del espectro. Han sido eliminadas las
frecuencias por encima de los 500Hz. Mientras que en la Ilustración 20 las componentes
frecuenciales que han sido eliminadas son las frecuencias por debajo de 700Hz,
permaneciendo las altas frecuencias.
•
Señal de audio original filtrada mediante el filtro paso alto:
18
Ilustración 20: Señal de audio a la que se la he aplicado un filtro paso alto, representada en el dominio temporal y
frecuencial.
•
Señal de audio original filtrada mediante el filtro paso banda:
Ilustración 21: Señal de audio filtrada paso banda, representada en el dominio temporal y frecuencial.
En esta última captura de pantalla, la Ilustración 21, se puede observar a simple vista que en el
espectro de la señal solo hay componentes frecuenciales en el rango de 2 a 3KHz, habiendo
sido eliminadas el resto de frecuencias gracias al filtrado paso banda.
19
Todos estos resultados de filtrado de la señal original se guardarán en sendos archivos wav, el
correspondiente al filtrado paso bajo, el correspondiente al filtrado paso alto y el
correspondiente archivo de filtrado paso banda, renombrando los archivos a:
•
low.wav
•
high.wav
•
pass_band,wav
6.- CONCLUSIONES
A continuación se expondrán las diferentes conclusiones extruidas del presente trabajo sobre la
acústica en el dominio de la frecuencia:
El cálculo analítico del paso de una señal compleja de audio del dominio temporal al
dominio frecuencial no es algo trivial, sino, más bien es una tarea ardua y difícil del
tratamiento de señales digitales, como ha podido verse con las series de Fourier y las
transformadas de Fourier.
Hay que distinguir entre señales continuas y señales discretas tanto en el dominio del
tiempo como en el dominio de la frecuencia, ya que no se tratarán por igual.
El procesado frecuencial de la señal abre un sinfín de posibilidades que en tiempo no
se tienen, o son mucho más complicadas de realizar. Sobre todo este cambio ha
venido propiciado por el cálculo rápido de la DFT, la trasformada rápida de Fourier,
FFT.
En mediciones acústicas no interesa ver la información frecuencia por frecuencia, ya
que es demasiada información para procesar y no es útil. Se suelen agrupar
frecuencias en lo que se conoce como bandas frecuenciales. Estas pueden ser más
grandes o más pequeñas en función de la resolución que se pretenda conseguir.
Facilidad en el manejo de programas como MATLAB ®, para el filtrado de una señal de
audio digitalizada en el dominio de la frecuencia. Análisis, cálculo e interpretación
mucho más fácil en el dominio de la frecuencia que en el dominio temporal.
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7.- REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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