II Concurso de Resolución de Problemas 1. Solución ortodoxa

II Concurso de Resolución de Problemas
Curso 2011-2012
Solución del Problema no 3.
1.
Solución ortodoxa
Uno puede intentar solucionar el problema mediante una aproximación ortodoxa. . .
Las posiciones de los buques (del submarino para una trayectoria formando un
ángulo α con el eje de las X y del barco objetivo) en función del tiempo vienen
dadas (respectivamente) por r~s = (u cos α t, u sin α t) y r~b = (a, b + v t).
Ası́, el vector diferencia es
(a − u cos α t, b + v t − u sin α t)
y la distancia entre ambos buques en función del tiempo,
p
(a − u cos α t)2 + (b + v t − u sin α t)2
De modo que podemos encontrar el instante (o los instantes) de tiempo en que la
trayectoria de ángulo α se encuentra exactamente a distancia de ataque, resolviendo
la ecuación:
(a − u cos α t)2 + (b + v t − u sin α t)2 = r2
Si desarrollamos esta igualdad y agrupamos términos en función de potencias de t,
queda la ecuación:
(u2 + v 2 − 2 u v sin α) t2 − 2 (a u cos α + b u sin α − b v) t + (a2 + b2 − r2 ) = 0
que es, salvo en el caso trivial de que u = v y α = 90o , efectivamente una ecuación
de segundo grado en t.
Si despejamos t en función del ángulo, tenemos finalmente la expresión del tiempo
de llegada a un punto de disparo a distancia exacta de r en función del ángulo:
t (α) =
(a u cos α + b u sin α − b v) ±
p
(a u cos α + b u sin α − b v)2 − (a2 + b2 − r2 ) (u2 + v 2 − 2 u v sin α)
u2 + v 2 − 2 u v sin α
donde, salvo el caso trivial de que a2 + b2 ≤ r2 , la solución más pequeña es la que
usa el signo menos de la raı́z.
Esta formidable fórmula es difı́cil de discutir (es decir, decidir cuándo tiene solución
y cuándo no) y desde luego, si usted ha elegido utilizar esta fórmula, debe ahora
derivarla (respecto de α), igualar a 0 y justificar que la solución que encuentra es el
mı́nimo buscado...
¡Paciencia y buena suerte!
2.
Solución ingeniosa
Idea
La clave para simplificar mucho el problema consiste en darse cuenta de que, para
que el tiempo sea mı́nimo, en el momento de alcance del radio de acción, el origen
y las posiciones de los dos buques están alineados.
Esto se ve más fácilmente con una animación del problema, de la que aquı́ mostramos tres imágenes. Si visualizamos la zona de ataque efectivo del objetivo (cı́rculo
de interior verdoso en la figura) y la circunferencia (de interior amarillo) de posibles posiciones del submarino en el instante t para todos los rumbos rectilı́neos a
velocidad máxima (ver figura),
Observamos que el menor instante de tiempo t0 en el que el submarino podrı́a haber
tenido a tiro el objetivo (de haber seguido un rumbo adecuado) es el que hace que
ambas circunferencias sean tangentes:
En ese instante, claramente, los tres puntos mencionados están alineados.
En efecto, si dejamos correr el tiempo hasta que la trayectoria efectivamente elegida
(la visualizada en el dibujo) alcanza la zona de ataque, observamos que el submarino
podrı́a, en el mismo tiempo, haberse situado aún más cerca del objetivo. O, y esto es
lo que invalida la trayectoria como óptima, haberse situado en un punto de ataque
(en cualquier punto de la zona azul, excluido el borde de la circunferencia amarilla)
en un tiempo estrictamente menor:
Cálculos
Para demostrar que deben estar alineados, usamos que, si no lo estuvieran, en el
mismo radio de acción existirı́a un punto estrictamente dentro del cı́rculo de acción
(de hecho, infinitos, toda la zona azul mencionada). Por ello, y por la continuidad
de la función distancia al cuadrado entre el submarino y el buque:
h(t) = (a − u cos α t)2 + ((b + vt) − u sin α t)2
existirı́a un punto (de nuevo, infinitos puntos) también dentro del alcance con valores
de t menores que el considerado. Es decir, que no serı́a mı́nimo.
Ası́ pues, para que sea mı́nimo el tiempo, debe verificarse que los cı́rculos de acción
del submarino y de alcance del barco sean tangentes y, por tanto, el origen, la
posición del submarino y la del buque objetivo están alineados.
Ahora, por trigonometrı́a básica, tenemos que para dicho tiempo mı́nimo t0 y el
rumbo dado α0 , se cumplen las dos igualdades siguientes:
b + vt0
pa
ut0 + r =
a2 + (b + vt0 )2
tan α0 =
Lo que elimina α0 de la determinación del tiempo mı́nimo y simplifica enormemente
los cálculos.
Ası́, desarrollando la segunda igualdad, llegamos a la ecuación:
(u2 − v 2 ) t20 − 2(bv − ur) t0 − (a2 + b2 − r2 ) = 0
Esto permite la siguiente discusión (en la que descartamos el caso trivial en que
a2 + b2 ≤ r2 ):
si u = v, se tiene una ecuación de primer grado y la solución es t0 =
si r > b. Si r ≤ b, no hay solución (o no es positiva).
a2 +b2 −r2
,
2 u (r−b)
si u > v, la solución existe siempre y es
p
(bv − ru) + (bu − rv)2 + (u2 − v 2 )(a2 + b2 − r2 )
t0 =
u2 − v 2
si u < v, la solución (positiva) solamente existe si bv − ru < 0 y es, de nuevo,
t0 =
(bv − ru) +
p
(bu − rv)2 + (u2 − v 2 )(a2 + b2 − r2 )
u2 − v 2
En todos los casos, α0 es el arco tangente de
b+vt0
.
a