Integrales dobles

Integrales dobles
Guía electrónica de estudio para el estudiante
Dr. M. Ranferí Gutierrez M.
matematicaurl@gmail.com
Introducción
Esta guía electrónica de estudio le ayudará, mediante la utilización de gráficas
interactivas, a comprender:
1. El problema geométrico que da origen a la integral doble.
2. La intepretación geométrica de una integral doble cuando el integrando es
positivo.
3. La interpretación geométrica del cálculo de integrales iteradas en una integral
doble.
Estudie con detenimiento la guía, procurando realizar todas las actividades que en ella
se piden. No se conforme con únicamente leer y aproveche la capacidad que tiene
Maple de poder manipular gráficas en 3D.
Objetivos
Al finalizar esta guía de estudio asegúrese de que es capaz de:
1. Aproximar el valor de cualquier integral doble, sobre una región rectangular,
utilizando una doble suma de Riemann.
2. Explicar el significado geométrico de una integral doble de una función
sobre una región R cualquiera.
3. Explicar el significado geométrico de cada una de las integraciones que se
realizan al calcular
.
Comprendiendo el problema geométrico que origina la
definición de integral doble
Recuerde que en cálculo de una variable, el problema geométrico que da origen a la
integral definida es el de calcular el área encerrada por debajo de la gráfica de
cualquier función
y por encima del eje , en el intervalo
. En la figura
de abajo, que usted debe estar en capacidad de comprender, se ilustra la idea que da
lugar a la definición de integral definida de funciones de una variable real:
Recuerde que en cálculo de funciones de dos variables reales, el problema geométrico
que da origen a la integral doble es el de calcular el volumen encerrado por encima de
cierta región R del plano y por debajo de la gráfica de cierta función
sobre esa región.
En la figura de abajo, a la izquierda, se ilustra un ejemplo, en el cual la región R
corresponde a un círculo de radio 4 y
. La figura de la derecha
corresponde a la aproximación del volumen buscado mediante una partición de la
región rectangular
,
(la cual contiene a R) y luego, como
puede observar al hacer clic sobre la figura de la derecha y presionando
constantemente el botón
en la barra de herramientas de arriba, al hacer una
partición cada vez más fina, la aproximación es cada vez mejor como puede notarse
porque el sólido formado por los prismas rectangulares cada vez adquieren una
apariencia más parecida a la del sólido de la figura de la izquierda. En la figura de la
derecha la altura de cada prisma rectangular se ha tomado escogiendo como punto
el punto medio de cada uno de los rectángulos de la partición.
Using a midpoint Riemann sum, an
4
approximation of
4
f x, y dy dx,
K4 K4
= 16 K x2 K
where f x, y
y2. Actual
value: 341.33.
Comprendiendo la definición de integral doble
Para facilidad de comprensión de las ideas, suponga que la región R es el rectángulo
definido por
,
. Esa región se partirá en una cuadrícula como se
ilustra en la siguiente figura, y de cada rectángulo
se escoge un punto
para formar la suma de Riemann que sirve de definición pra integral doble (aquí se
utilizan, para facilidad de localización, los subíndices y para denotar número de fila
y de columna respectivamente del rectángulo en la cuadrícula):
La figura de arriba y la siguiente sirven de base para la definición de integral doble
(sobre la región rectangular que se está considerando en este ejemplo)
(1)
donde representa el número de rectángulos en los que se ha dividido la región R.
Ejercicio de comprensión
(a) Aplique (1) si R=
y
partición de R en 9 rectángulos de igual tamaño. Considere el punto
, con una
como el punto medio de cada uno de los nueve rectángulos en los que
dividirá la región R. Abajo se muestra la gráfica de
sobre la
región R, tal como lo puede verificar si rota la figura de tal forma que el eje apunte
directamente hacia usted. Solución: 216.
(b) Utilizando únicamente fórmulas de geometría, calcule el volumen exacto del
sólido descrito en el inciso anterior.
(c) Ahora utilice integrales dobles para calcular el volumen exacto del sólido. Por
supuesto, los resultados de los incisos (b) y (c) deben ser iguales.
¿Qué significa, geométricamente, cada una de las integraciones
que se realiza al calcular
rectangular?
Caso 1:
sobre una región R
,
Para comprender mejor el significado geométrico de la integral
(2)
considere el caso particular
.
Observe la figura de la derecha de abajo, en la cual el plano
ha sido
graficado en la región
. Note el rectángulo celeste,
perpendicular al plano xy, que se muestra en la figura. El área de ese rectángulo
está dada por
ya que la base tiene tamaño 5 y la altura está por
Observe que el área de
ese rectángulo es función de , por lo cual se ha escrito explícitamente
. Para
obtener (3) no se ha utilizado en lo absoluto el concepto de integrales dobles; más
bien, únicamente geometría elemental.
Deslice la barra espaciadora que está debajo de la figura de la derecha ("Control
para x") y verifique para algunos valores particulares de que el área del rectángulo
celeste dada por (3) es correcta (por ejemplo, casos fáciles de verificar
corresponden a
). Ahora lea la información de la columna de la
izquierda de la tabla de abajo.
Suponga que usted está en su curso de
cálculo diferencial y quiere calcular el
área A(x) de la región que se muestra en
la figura de esta columna (¡baje el
cursor para verla!). En este caso, si
usted rota la figura de tal forma que el
eje apunte directamente hacia usted, le
quedaría una figura que luce igual a las
empleadas en cálculo diferencial de una
variable para calcular áreas, excepto que
el eje vertical aquí se llama y el eje
horizontal .
El área
de la región estaría dada por
Control para X
0.0
Pero como
,
y quedaría una función de , lo cual no
es de extrañar ya que dependiendo del
valor de así será la forma de la región
y por tanto su área. En la figura de la
derecha, por ejemplo, aunque la forma
es siempre rectangular, el área va
cambiando conforme varía el valor de x
con la barra.
Conclusión: En la integral doble
1.0
2.0
3.0
4.0
la integral
proporciona una
función de que permite calcular el área
de la región indicada en la figura de
arriba de esta columna. Asumimos
Aplicado la conclusión de arriba a la
figura de la columna de la derecha, se
obtiene:
la cual coincide con (3).
¿Y cómo interpretar la integral más externa en
? En la figura
de abajo, mueva la barra deslizante y observe cómo va variando la forma del sólido
y el volumen del mismo. Utilice fórmulas de geometría elemental para verificar que
el volumen indicado es correcto en algunos casos sencillos. Por ejemplo, si
,
puede calcular el volumen de la región que no está coloreada en rojo y restarla del
volumen total cuando
. Recuerde que todas las figuras pueden ser rotadas para
estudiarlas mejor.
Lea ahora la columna izquierda de la tabla de abajo.
¿Recuerda, de su curso de cálculo
diferencial, el tema de sólidos de
sección transversal conocida?
La figura siguiente le ayudará a recordar
lo que aprendió sobre el tema de sólidos
de sección transversal conocida:
Como recordará de su curso de cálculo
diferencial de una variable, el volumen
de un sólido de secciones transversales
conocidas está dado por
Como ya se discutió anteriormente,
por lo que resulta claro, recordando el
tema de sólidos de secciones
transversales conocidas de cálculo
diferncial, que la integral más externa
de
permite calcular el volumen del sólido.
Conclusión: En la integral doble
0.0
1.0
2.0
3.0
Volumen = 17.99
4.0
la integral más externa permite obtener
el volumen del sólido cuyas secciones
transversales están dadas por
.
¿Qué sucede si se invierte el órden de integración en
? En el
siguiente apartado se responde a esta pregunta.
Caso 2:
,
Nuevamente considere el caso particular
.
Estudie detenidamente las figuras de abajo y repita todos y cada uno de los
razonamientos del apartado del caso 1 (razonamientos geométricos y luego
utilizando cálculo integral de una variable real) hasta que llegue a comprender que
la integral
proporciona una función
la cual corresponde ahora, por el órden de
integración que se está llevando a cabo, al área del triángulo celeste mostrado en la
figura de la derecha de abajo. A la izquierda tiene una figura similar a la del caso 1
para ayudarse en el análisis. ¡No crea únicamente por fe que el resultado es
correcto! Realice el razonamiento ya que eso le permitirá tener una comprensión
más profunda de las integrales dobles.
Control para Y
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Finalmente, ayúdese de la figura de abajo (similar al caso 1, pero ahora modificada
para el órden de integración escogido) y asegurese de comprender que la integral
más externa en
le permite obtener el volumen del sólido cuyas secciones transversales están dadas
por
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Volumen = 4.89
Caso general región tipo II
A manera de generalización del caso 2, observe la figura de abajo y estúdiela
detenidamente. ¿Se da cuenta que es una situación similar al caso 2, excepto que
ahora ya no toma únicamente dos valores ( y ) sino van cambiando de acuerdo a
las funciones
y
?
Haga clic sobre la figura de abajo y fije los
ángulos en los valores indicados más adelante,
para tener una mejor vista y comparar con la
figura de la columna de la izquierda:
Ejercicio de comprensión
Ahora construya un gráfico similar al caso general región tipo II, pero aplicado a la
generalización del caso 1. Antes de ver la respuesta, trate por usted mismo ya que
eso le permitirá verificar si realmente ha comprendido las ideas expuestas.
Solución
Un último ejercicio de comprensión
Evalúe
en la región rectangular R definida como
plantéandola como una región tipo I y luego como una región
tipo II. En cada caso interprete la integral más interna como
o
, según
corresponda, y construya un gráfico en el que se muestre la región R, la gráfica de
, y la gráfica correspondiente a
o
según el tipo de
región que esté considerando.
Solución
si R está definida como
Para el caso
,
.
Para el caso