ELECTROMAGNETISMO II María Dasí Espuig Circuitos RLC en serie en Corriente Continua ¿En qué consiste un circuito RLC? Un circuito RLC se compone de los elementos pasivos: resistencia, bobina y condensador. R C Fuente de alimentación L Figura 1: Circuito RLC. Las líneas que unen los distintos elementos se consideran ideales (sin resistividad, inductancia ni capacidad). La resistencia representa la oposición al paso de corriente, la bobina el retardo en el cambio de intensidad y el condensador la acumulación de carga. Veremos el caso más sencillo, el circuito RLC en corriente continua, es decir, conectado a una fuente que proporciona al circuito una tensión constante en el tiempo. Antes de analizar la corriente que circula por él, veamos algunas características de estos elementos que nos ayudarán en la resolución. - Resistencia: Todos los elementos del circuito que es oponen al paso de corriente y donde se disipa energía por efecto Joule y su valor depende de su geometría y de la resistividad ρ (ecuación 1). R l · s Donde l es la longitud, s la sección. -1- (1) ELECTROMAGNETISMO II María Dasí Espuig V I ·R (2) V representa la caída de potencial en la resistencia debido al paso de corriente. V V2 P V ·I V ·( ) R R (3) La ecuación (3) representa la potencia disipada en la resistencia en función de la caída de potencial en la misma. Observamos que su valor nunca podrá ser 0, ya que eso equivaldría a una potencia infinita. - Bobina: Todos los elementos del circuito en los que se acumula y cede energía en forma de campo magnético. El potencial inducido en la bobina, por la Ley de Lenz, viene dado por la expresión: V N d dI L dt dt (4) Con N el número de vueltas de la bobina, Ф el flujo que la atraviesa y L la autoinductancia. Cualquier cambio en el flujo (o sea, en la intensidad) establecerá un voltaje que podrá retardar (que no evitar) el cambio en la intensidad. P V ·I LI dI d 1 LI 2 2 dt dt (5) La ecuación (5) representa la potencia absorbida o cedida por la bobina. Como podemos observar, este elemento no permite un cambio instantáneo (tiempo cero) finito en la intensidad, ya que si esto ocurriese tendríamos un potencial infinito y eso es imposible. -2- ELECTROMAGNETISMO II María Dasí Espuig - Condensador: Todos los elementos del circuito donde se almacena y cede energía en forma de campo eléctrico. Se produce una acumulación de cargas en sus placas dando lugar a una diferencia de potencial entre ellas. Se caracteriza (como los resistores por la resistencia R y la bobina por la autoinductancia L) por la capacidad C, la relación entre la carga acumulada y el potencial entre sus placas: C De (6) se deriva: V Q V (6) Idt (7) C Donde Q es la carga acumulada en las placas y V el potencial entre ellas. La potencia de este elemento viene como: P V ·I V ·C dV d 1 CV 2 2 dt dt (8) Donde I se obtiene de la forma diferencial de C=dQ/dV y sabiendo que I=dQ/dt. De forma análoga a los casos anteriores se extrae que en este elemento no puede haber cambios instantáneos de voltaje, ya que eso llevaría como consecuencia un potencial infinito. ¿Cómo resolver un circuito RLC? A estos circuitos también se les llama circuitos de segundo orden, ya que la ecuación que resulta al aplicar las leyes de Kirchoff es una ecuación diferencial de segundo orden. Supongamos un circuito como el de la figura 1 al que conectamos una batería que suministra un voltaje continuo Vb. La segunda Ley de Kirchoff dice lo siguiente: "La suma de voltajes en una malla cerrada es igual a cero." -3- ELECTROMAGNETISMO II María Dasí Espuig Por lo tanto, aplicado a nuestro circuito obtenemos lo siguiente. Vb VR VL VC 0 (8) Sustituyendo ahora las ecuaciones (2), (4) y (7) en la (8) obtenemos: Vb RI L dI 1 Idt dt C (9) Que es una ecuación integro-diferencial. Para resolverla derivaremos consiguiendo la ecuación diferencial de segundo orden de la que hablábamos. 0L d 2I dI 1 R I 2 dt C dt (10) El término dVb/dt ha desaparecido ya que como considerábamos que se trata de una fuente de voltaje constante, la derivada es nula. Para resolver esta ecuación diferencial homogénea de 2º orden procedemos calculando las raíces para obtener una solución del tipo: I (t ) K1e s1t K 2 e s2t (11) Las raíces correspondientes a la ecuación (10) son: s2 R 1 R s 0s L LC 2L -4- R 2L 2 1 LC ELECTROMAGNETISMO II Si llamamos α=R/2L (constante de amortiguación), 0 María Dasí Espuig 1 LC y sustituimos en (11) las soluciones nos quedarán: s1 2 0 2 (12.1) s 2 2 0 2 (12.2) Sólo queda saber qué valen las constantes K 1 y K2. En el instante t=0, I=0, y eso nos lleva a que 0= K1+K2 es decir, que K2=-K1. I (t ) K1 (e s1t e s2t ) Ahora, dependiendo de las magnitudes de i) Si α y ωo la solución será de una manera u otra. α > ωo: Las soluciones serán reales, distintas y de signo negativo. Sabemos que la caída de potencial en el circuito era como en la ecuación (8), que en el instante t=0 el condensador no permite un cambio brusco de voltaje (por lo que V c=0) y la bobina no permite un cambio brusco en la intensidad, y en la resistencia es cero (V=I·R). Por lo tanto el único elemento en el que hay caída de potencial es en la bobina. Con estas condiciones la ecuación (8) se simplifica en la (13). Vb L dI dt LK1 ( s1 s 2 ) t 0 -5- K1 Vb L( s1 s 2 ) (13) ELECTROMAGNETISMO II Haciendo uso de la relación trigonométrica senhx María Dasí Espuig e x ex la solución final se dice 2 sobreamortiguada, y queda como: I (t ) Vb L 2 o e t senh( 2 0 t ) 2 2 I(t) t Figura 2: Representación de Intensidad frente al tiempo. En este caso es sobreamortiguada. ii) Si α = ωo: Las soluciones serán reales, iguales y de signo negativo también. Para esta condición, las soluciones a la ecuación diferencial son: I (t ) ( K1 K 2 t )e t Hallamos las constantes siguiendo el mismo razonamiento que en el apartado anterior. En t=0, I=0, por lo tanto eso nos lleva a que K1=0. La solución será I(t) = K2·t·e-αt. -6- ELECTROMAGNETISMO II Vb L dI dt L K 2 e t K 2 te t t 0 t 0 LK 2 María Dasí Espuig K2 Vb L (14) Y la solución en este caso se dice críticamente amortiguada: I (t ) Vb ·t t e L I(t) t Figura 3: Representación de la intensidad frente al tiempo. Ahora se dice críticamente amortiguada. iii) Si α < ωo: Las soluciones serán imaginarias complementarias y por lo tanto las soluciones son de la forma: 2 2 I (t ) e t K 1 sen ( 2 0 t ) K 2 cos( 2 0 t ) -7- ELECTROMAGNETISMO II María Dasí Espuig Análogamente, para t=0, I=0, K2=0 y la expresión será I (t ) K1e t sen( 2 o t ) . 2 Derivando ésta con el tiempo obtenemos: Vb L dI dt t 0 2 2 2 L K1e t sen( 2 o ·t ) K1e t · 2 o ·cos( 2 o ·t ) t 0 Vb LK1 2 o 2 K1 Vb L· 0 2 (16) 2 La solución en este caso se dice subamortiguada. I (t ) Vb ·e t sen( 2 0 ·t ) 2 L 0 2 2 I(t) t Figura 4: Representación de la Intensidad frente al tiempo. En este caso es subamortiguada. En los tres casos observamos, como cabría esperar, un rápido aumento en la intensidad al conectar el circuito. En las dos primeras, en instantes posteriores al conectar -8- ELECTROMAGNETISMO II María Dasí Espuig el circuito, se ve una rápida caída en la intensidad tendiendo a cero, debido al coeficiente de amortiguamiento. Dependiendo de las relaciones entre R, L y C esa bajada será más rápida o menos. En el último caso apreciamos un cambio en el signo de la intensidad y también un atenuación a medida que pasa el tiempo. La relación entre los valores de R, L y C es tal que hay un desfase entre la intensidad que pasa por la bobina y la que pasa por el condensador, haciendo por lo tanto que la polaridad de ésta cambie. Bibliografía [1] Apuntes de clase. [2] José Gómez Campomanes, Circuitos eléctricos, Universidad de Oviedo, Servicio de Publicaciones, Vol. II. -9-