APROXIMACION POR FUNCIONES POLINOMICAS 1.- Escribir todos los polinomios P tales que P(0) = 1, P’(0) = P’’(0) = 0 y P’’’(0) = 2 ¿Cual es el de grado mínimo? 2.- Dar un ejemplo de una función f : R ---------------L R continua en todo R y tal que f(p) = 1 y f’(p) = 3 3.- Hallar los polinomios de Taylor, del grado indicado y en el punto indicado, de las siguientes funciones: x 1) f(x) = ee , grado 3 en 0 3) f(x) = senx, grado 2n en 5) f(x) = x5 + x3 2) f(x) = esenx, grado 3 en 0 p ----- 2 + x, grado 4 en 0 4) f(x) = ex, grado n en 1 4.- Hállese los polinomios de Taylor (del grado indicado y en el punto indicado) para las siguientes funciones: 1 1 a) f(x) = , grado n en 0. b) f(x) = , grado 2n en 0. x + 1 2 x + 1 ------------------------- c) ----------------------------- f(x) = cosx , grado 2n en p. d) f(x) = lgx. grado n en 2. 5.- Escribir los siguientes polinomios en x como polinomios en (x - 3): a) x2 - 4x - 9 b) x5 c) x2 + bx + c 6.- Escribir los tres primeros términos diferentes de cero de los desarrollos en series de Taylor en x = 0 de las siguientes funciones: 1) tg x 2) sec x 3) tgh x 4) log (cos x) 5) exsenx q====================================== 7.- Sea f(x) = 6 x+1 2 2 ------------------------------------------- ex3-x2-x+1 2 , x >1; el polinomio de Taylor de f de orden 3 centrado en 2 es: a) -x3+7x2-17x+15 c) x3-2x2-15x-29 b) (x-2)3-2(x-2)2+(x-2)+1 d) 1 + (x-2) - 1 1 (x-2)2 + (x-2)3 2 6 ----- ----- -1/x2 8.- Sea la función h(x) = e si x $ 0 y h(0) = 0. a) Demuéstrese por inducción que limx 0 h(x)/xn = 0, para cualquier n e N. b) Demuéstrese por inducción que para todo n e N existe un polinomio L $ 0, entonces hn)(x) = Pn(1/x)h(x). n) c) Dedúzcase que h (0) = 0 para todo n e N. Pn tal que si x si n Por tanto, comprobar que el resto Rh,n,0 (x) no converge a cero 8, cuando x $ 0. L 9.- Pruébese la siguiente desigualdad senx - (x - 1 x3 x5 + 6 120 --------- --------------- 1 < 1 5040 -------------------- para todo x 1 1 < 1. 10.- Si x e [0,1] y n e N, pruébese que lg(x + 1) - (x - 1 x2 x3 xn + + ... + (-1)n-1 ) 2 3 n --------- --------- --------- 1 xn+1 n+1 < ----------------- 11.- Pruébese que si x > 0, entonces x x2 2 8 1 + ----- --------- 6 x < e1 + x < 1 + . q==================== ----- 2 6 6 Utilícese la desigualdad anterior para aproximar e1,2 y e2; y hágase una estimación del error cometido. Utilícese el polinomio de q========== q===== 6 e1,2 q========== Taylor para n = 2 para obtener una aproximación más precisa de 6 y e2. q===== 12.- Calcular indicado: los siguientes números 2) sen 3) e , error < 10-4 , un error menor al 1 , error < 10-20 2 4) e2 , error < 10-5 1 10 6) arctg , error < 10-(10 ) 10 1) sen1, error < 10-17 5) e10 con error < 10-30 ----- ---------- 13.- a) Demostrar que si arctg x, arctg y, arctg x + arctg y son distintos kp + de p , ----- 2 se x+y arctg x + arctg y = arctg( ) + c, donde c = kp, k 1-xy -------------------- b) Demostrar que igualdad, comprobar que tiene que e Z. p = arctg 1 + arctg 1 . A partir de esta 4 2 3 ----- ----- ----- p = 3,14159..... . 14.- a) Demostrar que el polinomio de Taylor de f(x) = sen(x2) de grado 4n + 2 en 0 es: x6 x10 x4n+2 + - ... +(-1)n 3! 5! (2n+1)! k) b) Hallar f (0) para todo k c) En general, si f(x) = g(xn), hallar fk)(0) en términos de las derivadas de g en 0. x2 - ---------- ------------- ----------------------------------- 15.- Determinar el origen de las siguientes expresiones: 6 1 1 1) e1 + x ; 1 + x - x2 si x < 1/2 2 8 2) (logx)2 ; (x - 1)2 - (x - 1)3 si x < 1/2 q==================== ----- ----- 1 1 1 1 2 16.- Para que valores de x la fórmula cosx no mayor de 0,01; 0,001 y 0,0001 . ; 1 - x2 da un error ---------