d - Canek

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Mezclas.
E: Un tanque contiene 100 ` de agua salada en el cual hay 2 kg de sal disueltos. Agua salada con
0:25 kg de sal por litro entra al tanque a razón de 16 `/min y la mezcla bien agitada sale a la
misma razón.
a. Obtener la cantidad de sal en el tanque después de t minutos.
b. Determinar la cantidad de sal después de 10 min.
c. Determinar la concentración de sal después de media hora.
d. ¿Cuánta sal hay después de un tiempo largo?
D: H Si Q.t/ es la cantidad (en kilogramos) de sal en el tanque después de t minutos, entonces
Q.0/ D 2. Además:
La rapidez con la que entra la solución al
tanque:
Re D 16 `/min.
La concentración de sal en la solución que entra: Ce D 0:25 kg/`.
La rapidez con que entra sal al tanque:
Re Ce D 16.0:25/ kg/min.
La rapidez con que sale la mezcla del tanque:
Rs D 16 `/min.
La cantidad de solución en el tanque es constante:
V D 100 `.
Q.t/
kg/`.
100
Q.t/
La rapidez con que sale sal del tanque:
Rs Cs D 16
kg/min.
100
La rapidez de cambio de la cantidad Q.t/ de sal en el tanque, en cualquier minuto t 0 es
La concentración de sal en la solución que sale:
Cs .t/ D
d
Q.t/
Q.t/ D Re Ce Rs Cs .t/ D 16.0:25/ 16
D4
dt
100
a. La cantidad Q.t/ está dada por la solución del PVI:
Q 0.t/ C
4
Q.t/:
25
4
Q.t/ D 4n; con Q.0/ D 2:
25
4
Resolvemos la ED lineal, con factor integrante e 25 t :
4
4
4
4
t
0
0
Q .t/ C
Q.t/ D 4 ) e 25 Q .t/ C
Q.t/ D 4e 25 t )
25
25
Z
4
4
4
4
4
d
t
t
t
)
e 25 Q.t/ D 4e 25 ) e 25 Q.t/ D 4e 25 t dt D 25e 25 t C C )
dt
) Q.t/ D 25 C C e
1. canek.azc.uam.mx: 29/ 11/ 2010
4
t
25 :
2
Hemos encontrado la solución general de la ED. Ahora:
Q.0/ D 2 ) 25 C C e 0 D 2 ) C D 2
25 ) C D 23:
Luego:
Q.t/ D 25
23e
4
t
25
kg de sal.
b. La cantidad de sal después de 10 min es
Q.10/ D 25
23e
4
.10/
25
D 25
23e
1:6
D 20:35638 D 20 kg, 356 g.
c. La cantidad después de media hora es
Q.30/ D 25
23e
4
.30/
25
D 25
23e
4:8
D 24:81 kg:
La concentración de sal después de media hora es
Cs .30/ D
24:81
Q.30/
D
D 0:2481 kg/`.
100
100
d. La cantidad de sal después de un tiempo largo, es
4
t
Qlím D lím Q.t/ D lím 25 23e 25 D 25
t!1
t!1
lím 23e
t!1
4
t
25
D 25 kg de sal.