Números capicúas

La palabra “capicúa” proviene del catalán, cap cabeza y cua cola.
Los capicúas son aquellos números cuya cabeza y cola es igual, o dicho de
otro modo, aquellos números que se leen igual de izquierda a derecha que de
derecha a izquierda.
Algunos ejemplos:
1221
34543
676
9876789
¿Cuántos números capicúas hay?
Para comenzar a explorar y responder a esta pregunta, se hace necesario
establecer tramos en la serie numérica. Por ejemplo, observar los capicúas de
dos cifras, de tres, de cuatro, de cinco…
Dos cifras
La cantidad de números capicúas de dos cifras, resulta ser bastante evidente,
basta con repetir en la cifra de las unidades y las decenas el mismo número.
Por tanto, se pueden identificar nueve números capicúas: 11, 22, 33, 44, 55,
66, 77, 88 y 99.
Tres cifras
Para determinar la cantidad de números capicúas de tres cifras, es preciso
observar que la primera y la última cifra (correspondientes a centenas y
unidades), deberá ser la misma. También podemos decir que la cifra del
medio, es decir, la de las decenas, podrá ser cualquier número (0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8 ó 9).
¿Qué ocurre entonces?
Sí la primera y última cifra es 1 y existen diez posibles números para la cifra
del medio, habrá así diez números capicúas diferentes que comiencen y
terminen en “1”.
101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181 y 191
Siguiendo el mismo análisis anterior, se puede decir que habrá diez números
capicúas diferentes que comiencen y terminen con la cifra 2; y otros diez con
la cifra 3, y así con el resto. Como los números posibles para la primera cifra
son nueve, puesto que no se puede empezar el número por la cifra cero, serán
nueve por diez los números capicúas de tres cifras, es decir, noventa.
Cuatro cifras
Para el caso de los números capicúas de cuatro cifras, las que coinciden serán
las de las unidades con las de las unidades de mil, y las cifras de las decenas
con las de las centenas. Siguiendo el análisis realizado para los números de
tres cifras, la primera y última cifra admiten nueve posibilidades.
1_ _ 1, 2_ _2, 3_ _3, 4_ _4, 5_ _5, 6_ _ 6, 7_ _7, 8_ _8 y 9_ _9
¿Qué pasa con las decenas y las centenas? Puede repetirse cada una de las diez
cifras con las que cuenta el sistema de numeración decimal, es decir, desde el
cero al nueve.
_00_, _11_, _22_, _33_, _44_, _55_, _66_, _77_, _88_ y _99_
Considerando las dos reflexiones anteriores, se puede concluir pues, que para
cada una de las nueve cifras con las que puede comenzar el número, habrá
diez posibilidades diferentes para completar las cifras de las decenas y
centenas. Esto es, nueve por diez. Al igual que con los números de tres cifras,
la cantidad de números capicúas de cuatro cifras, son también noventa.
¿Cómo seguir?
Antes de continuar avanzando, se puede reflexionar acerca de lo encontrado
hasta el momento. Para ello, se sugiere observar la siguiente tabla:
Cantidad de cifras del número
Cantidad de números capicúas
2
9
3
90
4
90
5
6
7
8
Con los datos obtenidos:
• ¿Se puede observar alguna relación entre los números capicúas de
diferente cantidad de cifras?
• ¿Por qué la cantidad de números capicúas de tres y cuatro cifras es la
misma?
• ¿Es posible aventurar la cantidad de números capicúas de cinco cifras?
Cinco cifras
Continuando con lo ya analizado, se sabe que para la primera y última cifra,
existen nueve posibilidades.
Luego, las cifras que deben coincidir, son las correspondientes a decenas y
unidades de mil, para lo cual existen diez posibles.
_0_0_,
_9_9_
_1_1_,
_2_2_, _3_3_, _4_4_, _5_5_, _6_6_, _7_7_, _8_8_ y
Hasta aquí puede decirse que para cada una de las nueve cifras con las que
puede comenzar el número, existen diez posibilidades para completarlo, es
decir, nueve por diez; nuevamente noventa.
Pero aún falta considerar la cifra que queda en el medio, o sea, la cifra de las
centenas. Esta podrá ser cualquiera de las diez posibles: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ó 9.
Considerando ahora esta última reflexión con lo ya analizado, se puede
concluir que para cada una de las noventa posibilidades existen diez números
diferentes para la cifra del medio. Así pues, serán noventa por diez los
números capicúas de cinco cifras. Por lo tanto, novecientos números.
Para continuar
Un nuevo dato se agrega a la tabla anterior.
Cantidad de cifras del número
Cantidad de números capicúas
2
9
3
90
4
90
5
900
6
7
8
Observando la misma puede constatarse, por ejemplo, que la cantidad de
números capicúas de dos, tres, cuatro y cinco cifras, coinciden con múltiplos
de nueve (9, 90, 90 y 900). ¿Por qué ocurre? ¿Continuará cumpliéndose para
números de mayor cantidad de cifras?
¿Puede ahora aventurarse qué cantidad de números capicúas de seis cifras
existen? ¿Serán 9, 90, 900 ó 9000? ¿O esta vez no coincidirá con un múltiplo
de nueve?
Se sugiere continuar el análisis e intentar encontrar una regularidad entre la
cantidad de números capicúas y la cantidad de cifras de los mismos.