Tema 5 Computación-I Solución Numérica de Ecuación Diferencial Segundo Orden. Caso Unidimensional. Ejemplo: Oscilador Armónico Para ilustrar la solución numérica de una ecuación diferencial de segundo orden vamos a estudiar el oscilador armónico en una dimensión, F = −kx. La segunda ley de Newton nos da la siguiente ecuación diferencial de segundo orden: m d2 x = −kx dt2 (1) Para resolver esta ecuación diferencial de segundo orden, la convertimos en dos ecuaciones diferenciales de primer orden, que ya sabemos como resolverlas: m dx =v dt (2) dv = −kx dt (3) Estas dos ecuaciones de primer orden están acopladas, es decir, para obtener x(t) tenemos que conocer v(t), y para obtener v(t) tenemos que conocer x(t). Por tanto, tenemos que ir resolviendo las dos ecuaciones a la vez. Vamos a ver como las resolvemos usando los dos métodos que ya vimos para la ecuación diferencial de primer orden: el método de Euler y el método del punto medio. I. Método de Euler Este es el método más sencillo. Se basa en la aproximación numérica de la derivada como diferencias finitas hacia adelante: dx x(t + ∆t) − x(t) (t) = . dt ∆t (4) dv v(t + ∆t) − v(t) (t) = . dt ∆t (5) Es decir: v(t + ∆t) = v(t) + dv (t) ∆t dt (6) x(t + ∆t) = x(t) + dx (t) ∆t dt (7) Para el oscilador armónico dv/dt = −k/m x, y tenemos las dos ecuaciones acopladas siguientes: v(t + ∆t) = v(t) − k x(t) ∆t m x(t + ∆t) = x(t) + v(t) ∆t que hay que resolver simultaneamente. (8) (9) II. Método del punto medio En este caso tomamos la fórmula de diferencias centradas para la derivada numérica: dx ∆t x(t + ∆t) − x(t) (t + )= . dt 2 ∆t (10) dv ∆t v(t + ∆t) − v(t) (t + )= . dt 2 ∆t (11) Por tanto: v(t + ∆t) = v(t) − k xpm ∆t m x(t + ∆t) = x(t) + vpm ∆t (12) (13) donde xpm ≡ x(t + ∆t/2) y vpm ≡ v(t + ∆t/2). Estos valores auxiliares los obtenemos usando el método de Euler: vpm = v(t) − ∆t k x(t) m 2 (14) ∆t (15) 2 Como ya se ha comentado, las soluciones de v(t) y x(t) están acopladas, y hay que xpm = x(t) + v(t) ir resolviéndolas a la vez. Es decir, partiendo de los valores en el tiempo t, v(t) y x(t), obtenemos en primer lugar xpm y vpm usando las ecuaciones (14-15); con estos valores usamos ahora las ecuaciones (12-13) para obtener v(t+∆t) y x(t+∆t), y ası́ sucesivamente. José Ortega