Algebra Lineal: Espacios Generados Departamento de Matemáticas Intro E. Generado Operatividad C(A) Ejemplo 1 Ejemplo 2 Introducción Después del concepto de combinación lineal, el segundo concepto clave en Algebra Lineal es el concepto de espacio generado. En la introducción hemos visto que definir el conjunto formado por todas las combinaciones lineales quen se pueden formar con un conjunto de vectores contribuye a entender los SEL. Daremos formalmente esta definición y precisaremos alguna terminologı́a sobre este concepto. Asimismo, veremos cómo se puede hacer operativa la pregunta de si un cierto vector pertenece a un espacio generado. Algebra Lineal: Espacios Generados Departamento de Matemáticas Intro E. Generado Operatividad C(A) Ejemplo 1 Ejemplo 2 Espacio Generado El conjunto formado por todas las combinaciones lineales de los vectores v1 , v2 ,. . . , vk en Rn se llama espacio generado por los vectores v1 , v2 ,. . . , vk . Este conjunto se representa por Gen {v1 , v2 , . . . , vk } es decir, es el conjunto formado por todas las expresiones de la forma c1 · v1 + c2 · v2 + · · · + ck · vk donde c1 ,c2 ,. . . ,ck son escalares. Si V = Gen {v1 , v2 , · · · , vk } se dice que los vectores v1 , v2 ,. . . , vk generan a V y que {v1 , v2 , . . . , vk } es un conjunto generador de V . Algebra Lineal: Espacios Generados Departamento de Matemáticas Intro E. Generado Operatividad C(A) Ejemplo 1 Ejemplo 2 Operatividad Tenemos que • De acuerdo a nuestra definición: x es elemento de Gen {v1 , v2 , . . . , vk } si y sólo si x es una combinación lineal formada con los vectores v1 , v2 ,. . . , vk . Buscar en un espacio generado, es buscar entre combinaciones lineales. • Por nuestro resultado clave 1: x es una combinación lineal entre los vectores v1 , v2 ,. . . , vk si y sólo si el sistema con aumentada [v1 v2 · · · vk |x] es consistente. Con estos dos hechos concluimos: Resultado Clave 2: x es elemento de Gen {v1 , v2 , . . . , vk } si y sólo si [v1 v2 · · · vk |x] es consistente. Algebra Lineal: Espacios Generados Departamento de Matemáticas Intro E. Generado Espacio Columna Para una matriz A, el espacio columna de A es el espacio generado por las columnas de la matriz A. La simbologı́a es Operatividad C(A) C(A) = el espacio generado por las columnas de A Ejemplo 1 Ejemplo 2 Y directamente de nuestra definición tenemos: Teorema b ∈ C(A) si y sólo si [A|b] es consistente. Algebra Lineal: Espacios Generados Departamento de Matemáticas Intro E. Generado Operatividad C(A) Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo Indique si: b= 3 −2 ∈ Gen a1 = 3 1 , a2 = 2 2 Algebra Lineal: Espacios Generados Departamento de Matemáticas Ejemplo Indique si: b= 3 −2 ∈ Gen a1 = 3 1 , a2 = 2 2 Intro E. Generado Operatividad Ver si b es combinación lineal de a1 y de a2 equivale a buscar las constantes c1 y c2 para que se cumpla C(A) Ejemplo 1 c1 · a1 + c2 · a2 = b Ejemplo 2 lo cual equivale resolver [a1 a2 |b]: c1 c2 c1 c2 c1 c2 rref = 3 1 3 −−→ 1 0 2 a1 a2 b 2 2 −2 0 1 −3 Como el sistema tiene solución, el vector b sı́ es combinación lineal de a1 y de a2 ; de hecho la solución es c1 = 2 y c2 = −3: Por lo tanto, es cierto que b ∈ Gen {a1 , a2 } Algebra Lineal: Espacios Generados Departamento de Matemáticas Intro E. Generado Operatividad C(A) Ejemplo 1 Ejemplo 2 Algebra Lineal: Espacios Generados Departamento de Matemáticas Intro E. Generado Operatividad C(A) Ejemplo 1 Ejemplo 2 Algebra Lineal: Espacios Generados Departamento de Matemáticas Intro E. Generado Operatividad C(A) Ejemplo 1 Ejemplo 2 Algebra Lineal: Espacios Generados 3 · a2 Departamento de Matemáticas 2 · a2 2 · a1 Intro E. Generado 1 · a2 Operatividad C(A) Ejemplo 1 Ejemplo 2 −1 · a1 −2 · a1 −1 · a2 −2 · a2 −3 · a2 1 · a1 Algebra Lineal: Espacios Generados 3 · a2 Departamento de Matemáticas 2 · a2 2 · a1 Intro E. Generado 1 · a2 Operatividad C(A) Ejemplo 1 Ejemplo 2 −1 · a1 −2 · a1 −1 · a2 −2 · a2 −3 · a2 1 · a1 Algebra Lineal: Espacios Generados 3 · a2 Departamento de Matemáticas 2 · a2 2 · a1 Intro E. Generado 1 · a2 Operatividad 1 · a1 C(A) Ejemplo 1 Ejemplo 2 −1 · a1 −2 · a1 −1 · a2 −2 · a2 −3 · a2 b = 2 · a1 + −3 · a2 Algebra Lineal: Espacios Generados Departamento de Matemáticas Ejemplo Indique si Intro E. Generado Operatividad C(A) Ejemplo 1 Ejemplo 2 y= 5 1 ∈ Gen x1 = 5 20 , x2 = 4 16 Buscar la combinación lineal de x1 y de x2 que dé y equivale a resolver el sistema cuya aumentada es: c1 c2 c1 c2 1 4 0 rref = 5 20 5 −−→ 0 0 1 x1 x2 y 4 16 1 como tenemos pivote en la columna de las constantes, el sistema es inconsistente y por tanto, concluimos que y no es combinación lineal de x1 y de x2 . Por lo tanto, es cierto que y∈ / Gen {x1 , x2 }.