EXAMEN DE CONTROL AUTOMÁTICO MEJORAMIENTO FEBRERO 20 DE 2013 PRIMER TEMA: 25 puntos d 2 d dx 1 1 n 2 dt dt dt d 2x d dx g 2 2 g 2 dt dt dt 1 0.415 ; 2 1.43 ; n 6.27 2 0.0198 ; 1 0.0111 ; g 9.8 Cambio de variable : x1 t t ; x2 t d t dt ; x3 t dx t dt a) (5 p) Escriba las ecuaciones de estado. b) (5 p) A partir de las ecuaciones de estado obtenga el Diagrama de Flujo de Señales. c) (5 p) Obtenga la Función de Transferencia. El sistema describe el modelo de un helicóptero en donde d) (5 p) Grafique el diagrama de flujo Canónico se controla el ángulo de avance (Θ), Señal de Salida, en Controlable. base del ajuste del ángulo del rotor (δ), Señal de Entrada. e) (5p) Escriba las Ecuaciones de Estado en Modo El avance horizontal es (x). Controlable. SEGUNDO TEMA: 25 puntos Dado el siguiente sistema: a) (10 p) Determine el rango de valores del controlador Gc(s) = Kp para que el sistema mostrado sea estable. b) (15 p) Cambie el controlador proporcional por uno proporcional-integral Gc(s) = (Kp +Ki/s) y determine los rangos de Kp y Ki para los cuales el sistema es estable. TERCER TEMA: 25 puntos Para el sistema realimentado mostrado en la figura: a) b) (4 p) Ajuste la ganancia K para que el Error de Estado Estacionario sea igual al 5% cuando Gc(s) = 1. (8 p) Dibuje el Diagrama de Bode correspondiente y proporcione el Margen de Ganancia y de Fase en esta condición para a). c) (8 p) Diseñe un compensador para lograr que el Margen de Fase sea de 55 grados. d) (5 p) Dibuje el Diagrama de Bode del sistema compensado. CUARTO TEMA: 25 puntos El sistema se compone de dos tanques, tienen válvulas de salida cuyo flujo es tipo laminar. 3 El flujo de entrada en estado estacionario es de 35 m /s, la 2 resistencia al flujo de las válvulas R1 = 0.5 s/m y R2 = 0.666 2 s/m respectivamente; las áreas transversales de los tanques 2 2 son: A1 = 25 m y A2 = 55 m . a) (15 p) Plantear las ecuaciones matemáticas del sistema: H1(s) = f(Qe(s)) y H2(s) = f(Qe(s)). b) (5 p) Dibujar el diagrama de bloques del sistema de tal forma de expresar lo solicitado en el literal a). c) (5 p) ¿Cuál es el valor de las alturas H1 y H2 en estado estacionario? Solución: Primer Tema: d 2 d dx d 2 d dx 1 1 n 0.415 0.011 6.27 2 dt dt dt dt 2 dt dt 2 2 d x d dx d x d dx g 2 2 g 9.8 1.43 0.0198 9.8 dt 2 dt dt dt 2 dt dt Cambio de variable : x1 t t ; x2 t d t dt ; x3 t dx t dt x1 x2 x2 0.415 x2 0.011 x3 6.27 x3 9.8 x1 1.43 x2 0.0198 x3 9.8 1 0 x1 0 x1 0 x 0 0.415 0.011 x 6.27 2 2 x3 9.8 1.43 0.0198 x3 9.8 El Diagrama de Flujo correspondiente es : ; x1 y 1 0 0 x2 x3 Aplicando Mason, la FuncióndeTransferencia es : 9.8(0.011) 6.27 0.0198 2 1 s3 s s 0.0198 0.415 (0.011)(1.43) (0.011)(9.8) (0.0198)(0.415) 1 s s s2 s3 s2 6.27 s 0.016346 3 s 0.4348s 2 0.007513s 0.1078 0.016346 6.27 2 0.016346s 3 6.27 s 2 s3 s 0.1078 0.007513 0.4348 1 1 0.1078s 3 0.007513s 2 0.4348s 1 0 s3 s2 s1 s El diagrama de Flujo Canónico Controlable es : Y ( s) ( s) Las Ecuaciones de Estado en Modo Controlable : z1 0 1 0 z1 0 1 z2 z2 0 0.1078 0.007513 0.4348 z 3 z3 0 0 1 % Problema DP 11.4 clc, clear % Ecuación de Estados A=[0 1 0; 0 -0.415 -0.0111; 9.8 -1.43 -0.0198]; B=[0; 6.27; 9.28]; C=[1 0 0]; D=[0]; p=eig(A) G_ss=ss(A,B,C,D) % Función de Transferencia G_tf=tf(G_ss) % Modo Canónico Controlable [num,den]=tfdata(G_tf,'v'); [Ac,Bc,Cc,Dc]=tf2ss(num,den) z1 y 0.016346 6.27 0 z2 z3 ; a= x1 x2 x3 x1 x2 x3 0 1 0 0 -0.415 -0.0111 9.8 -1.43 -0.0198 b= u1 x1 0 x2 6.27 x3 9.28 c= x1 x2 x3 y1 1 0 0 d= u1 y1 0 Continuous-time model. Transfer function: 6.27 s + 0.02114 -------------------------------------s^3 + 0.4348 s^2 - 0.007656 s + 0.1088 Ac = -0.4348 0.0077 -0.1088 1.0000 0 0 0 1.0000 0 Bc = 1 0 0 Cc = 0 Dc = 0 6.2700 0.0211 Segundo Tema: a) 1 ; Gc( s ) Kp ( s 1)( s 2) 1 E.C. 1 Kp 0 ( s 1)( s 2) El sistema es estable : 0 K Gp ( s ) Root Locus 2 1.5 1 Imaginary Axis 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 Real Axis b) 1 ; Gc( s ) Kp Ki / s ( s 1)( s 2) 0 Kp ; 0 Ki sKp Ki E.C. 1 0 s ( s 1)( s 2) s ( s 1)( s 2) sKp Ki 0 Gp ( s ) s 3 3s 2 (2 Kp ) s Ki 0 1 2 Kp s3 3 Ki s2 6 3Kp Ki s1 3 s0 Ki Para que el sistema sea estable : 6 3Kp Ki 0 ; Ki 0 3 Ki 6 Kp si : Ki 6 3 Ki Kp 6 0 Kp 8 0.666 Kp 10 1.33 Kp clc, clear I=[6 8 10 12 14] hold off for i=1:5 F=tf([1 0],[1 3 2 I(i)]) rlocus(F) hold on end I1=num2str(I'); legend(I1) Root Locus 5 6 8 4 10 12 14 3 2 Imaginary 1 Axis 0 -1 -2 -3 -4 -5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 Real Axis -1 -0.5 0 0.5 Tercer Tema: a) Gp( s ) Ke 0.1s 1 ; Gc( s ) 1 ; R( s) 2 s (0.1s 1)(0.01s 1) s ; ess 5% Gc( s )Gp ( s ) 1 Gc( s )Gp ( s ) 1 ess 0.05 ; K 20 K ess lim sE ( s) ; E ( s) R( s) C ( s) 1 T ( s) R( s) ; T ( s) s 0 E (s) 1 s(0.1s 1)(0.01s 1) 1 R( s) 0.1s 1 Gc( s )Gp ( s ) s (0.1s 1)(0.01s 1) Ke s2 Gc( s )Gp ( s ) 20e 0.1s s (0.1s 1)(0.01s 1) b) Bode Diagram Gm = -5.64 dB (at 8.09 rad/sec) , Pm = -39.5 deg (at 12.4 rad/sec) Magnitude (dB) 50 0 System: Gcr Frequency (rad/sec): 2.53 Magnitude (dB): 17.7 System: Gcr Frequency (rad/sec): 8.22 Magnitude (dB): 5.43 -50 0 Phase (deg) -45 -90 -135 -180 System: Gcr Frequency (rad/sec): 2.52 Phase (deg): -120 -225 -270 -1 10 0 10 System: Gcr Frequency (rad/sec): 12.3 1 Phase (deg): -219 10 2 10 3 10 Frequency (rad/sec) Se observa que el sistema es inestable. c) Se desea un MF = 55, en este caso hay que utilizar una red compensadora de Retraso de Fase. Asumiendo una sobre-compensación de 5 grados: es decir, MF = 60 (Fase = -120), la frecuencia de cruce Wcp = 2.52 rad/seg. En esa frecuencia la magnitud debe bajar 17.7 dB. El valor de Alpha = 7.67. Ubicamos el cero del compensador una década mas debajo de Wcp; es decir, z = 0.252 y por lo tanto el polo del compensador será: p = z/Alpha = 0.252/7.67 = 0.0328 rad/seg. d) Bode Diagram Gm = 11.8 dB (at 7.93 rad/sec) , Pm = 54.9 deg (at 2.53 rad/sec) 60 Magnitude (dB) 40 20 System: Gcc Frequency (rad/sec): 7.93 Magnitude (dB): -11.9 0 -20 -40 0 Phase (deg) -45 -90 -135 System: Gcc Frequency (rad/sec): 2.55 Phase (deg): -126 -180 -225 -270 -2 10 -1 10 0 10 Frequency (rad/sec) 1 10 2 10 Cuarto Tema: 1. qe q1 A1 dh1 dt 2. q1 q2 A2 dh2 dt ; q1 h1 R1 ; q2 h2 R2 L 1 Qe ( s ) A1s H1 ( s ) R1 L h h dh 1 1 2. 1 2 A2 2 H1 ( s ) A2 s H1 ( s ) R1 R2 dt R1 R2 1. qe h1 dh A1 1 R1 dt 1. H1 ( s ) R1 Qe ( s ) A1 R1s 1 2. H 2 ( s ) R2 R2 1 H1 ( s ) H 2 ( s ) Qe ( s ) R1 A2 R2 s 1 ( A1 R1s 1)( A2 R2 s 1) H 2 (s) 0.666 Qe ( s ) (12.5s 1)(36.63s 1) b) 1 Qe (s) H1(s) R1 R2/R1 A1R1.s+1 A2R2.s+1 Transfer Fcn Transfer Fcn 1 c.) dh1 dh2 0 ; 0 dt dt 35m3 / s ; R1 0.5s / m 2 ; R2 0.666s / m 2 En estado estacionario : qe _ ss 1. qe _ ss q1_ ss 0 ; q1_ ss h1_ ss 2. q1_ ss q2 _ ss 0 ; q2 _ ss h2 _ ss R1 R2 h1_ ss 17.5m h2 _ ss 23.31m 1 H2(s)