interacción electromagnética

INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
1. El campo eléctrico.
Desde la antigüedad se conoce que ciertas sustancias, cuando se frotan,
adquieren la propiedad de atraer cuerpos ligeros. Para expresar esta propiedad que ha
adquirido el cuerpo así frotado se dice que el cuerpo ha quedado electrizado, es decir,
el cuerpo posee cargas eléctricas que, según demuestra la experiencia, son de dos
clases: positivas y negativas.
Breve descripción de los fenómenos electrostáticos.
Los fenómenos de electrización se evidencian con un sencillo experimento. Si
se frota una varilla de vidrio con un paño de seda o una varilla de ámbar con un paño
de piel, y se acercan a pedacitos ligeros de papel, se observa que éstos son atraídos
por las varillas. Se dice que como resultado del frotamiento, estos materiales
adquieren una nueva propiedad llamada electricidad y que esta propiedad da lugar a
una interacción más fuerte que la gravitación.
La palabra electricidad deriva del griego "elektron" que significa "ámbar". Tales
de Mileto (600 años a.c.) descubrió que, frotando una varilla de ámbar con un paño,
aquélla atraía pequeños objetos como cabellos, plumas, etc. Se dice que la varilla se
ha electrizado; pero no todas las materias poseen la propiedad de cargarse de
electricidad y, aunque lo hagan, pueden comportarse de distintas maneras.
Se construye un péndulo con una bolita de médula de saúco, o de corcho, y un
hilo. Si ahora se le acerca una varilla de vidrio previamente cargada de electricidad
(por frotamiento), la bolita se acerca a la varilla. Si se hace lo mismo con la varilla de
ámbar, se observa el mismo efecto de atracción. Sin embargo, si ambas varillas se
acercan a la esfera simultáneamente en lugar de una atracción mayor, se observa una
menor o nula.
vidrio
ámbar
vidrio
ámbar
1
Se concluye, por tanto, que hay dos estados de electrización: uno que se
manifiesta sobre el vidrio y el otro sobre el ámbar. Al primero se llamó positivo y al
otro negativo.
En otra experiencia, si se toca dos bolitas de corcho con una varilla de vidrio
electrizada, al aproximarlas se repelen. Igual ocurriría si lo realizamos con una varilla
de ámbar. Por el contrario, si cada bolita de corcho fuera tocada con una varilla de
vidrio y ámbar, respectivamente, aquellas se atraerían.
Por consiguiente, mientras que la interacción gravitatoria es siempre atractiva,
la interacción eléctrica puede ser atractiva o repulsiva.
“Dos cuerpos con la misma clase de electrización (positiva o
negativa) se repelen, pero si tienen diferentes clases de
electrización (una positiva y la otra negativa), se atraen.”
+
F21
+
q1
q2
–
F12
F21
–
q1
q2
+
F12
q1
F21
F12
Propiedades de la carga eléctrica.
•
Existen dos clases de cargas en la naturaleza:
-
positivas, arbitrariamente se dio ese nombre a la carga adquirida por el
vidrio electrizado al frotarlo. De esta carga son portadores lo protones.
-
negativas, carga adquirida por la electrización por frotamiento del ámbar y
de ellas son portadores los electrones.
•
Las cargas del mismo signo se repelen y las de signo contrario se atraen.
•
Principio de conservación de la carga: en cualquier proceso que ocurra en un
sistema aislado, la carga total o neta no cambia. En la electrización no se crea
carga, solamente se transmite de unos cuerpos a otros, de forma que la carga total
permanece constante. Un cuerpo con cantidades iguales de carga positiva y
negativa es eléctricamente neutro.
•
La carga está cuantizada y su unidad más elemental es la carga del electrón.
Cualquier carga es un múltiplo entero de la carga del electrón, e:
Q = N·e
e = 1.6·10-19 C
2
–
q2
•
La unidad de carga es el culombio, definida a partir de la corriente eléctrica, en
función del Imperio. Así:
“El culombio se define como la cantidad de carga eléctrica que
fluye a través de la sección de un conductor durante un segundo,
cuando la corriente es de un amperio”
El valor en culombios de las cargas elementales es:
-
Electrón: -1.6·10-19 C
-
Protón:
+1.6·10-19 C
Ley de Coulomb.
El primer estudio cuantitativo de la interacción eléctrica entre partículas
cargadas en reposo fue realizado en 1784 por Charles A. Coulomb.
Al hablar de campo electrostático nos referimos al campo creado por cargas
eléctricas en reposo, a diferencia de campo eléctrico, que no implica la restricción
anterior.
La interacción eléctrica entre dos partículas cargadas, en reposo, en el sistema
de referencia inercial del observador, viene enunciada por la ley de Coulomb:
“La interacción electrostática entre dos partículas cargadas es
directamente
proporcional
a
sus
cargas
e
inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas, y su dirección
es según la recta que las une”
r
q ⋅q r
F = K 1 2 2 ur
r
En esta expresión se tiene:
K: constante de proporcionalidad.
q1, q2: cargas, magnitud escalar y que pueden ser positivas o negativas.
r
ur : vector unitario que tiene la misma dirección que el segmento que una las cargas y
sentido hacia fuera.
r
r
F : si las dos cargas tienen el mismo signo, el sentido será el mismo de ur ,
tratándose de una fuerza repulsiva. Si las cargas son de signo contrario, la fuerza
r
tendrá sentido opuesto a ur y será una fuerza atractiva.
q1
–
r
q2
–
r
ur
3
r
F
Aunque la Ley de Coulomb es semejante a la Ley de Newton de la gravitación
universal, existen ciertas diferencias entre ambas, además del hecho de que aparecen
magnitudes distintas. Así, mientras G es independiente del medio, K depende del
medio donde se encuentren las cargas. Por otro lado, las acciones entre masas son
siempre atractivas, en tanto que las que tienen lugar entre cargas pueden ser
atractivas o repulsivas, debido a que solo hay una clase de materia y dos clases de
carga.
El valor de la constante de proporcionalidad K depende del sistema de
unidades elegido y del medio interpuesto entre las cargas (aire, vidrio, etc.). Si las
cargas están en el vacío y se emplea el S.I., la constante vale:
K = 8,987·109 N·m2·C-2 o para simplificar los cálculos: K = 9·109 N·m2·C-2
A partir de este valor también se puede definir el culombio como:
“La carga eléctrica que colocada a un metro de otra carga igual
en el vacío, la repele con una fuerza de 9·109 N”
La constante K también se suele expresar en función de la constante dieléctrica o
permitividad del medio, ε:
K=
1
4π ε
En el caso del vacío εο = 8,854·10-12 C2·N-1·m-2
Si el medio material es distinto del vacío, ε sería diferente y por tanto K. Esta
ley de Coulomb sólo es válida para cargas puntuales y para cuerpos finitos de forma
esférica que estén alejadas.
Principio de superposición.
Cuando varias partículas cargadas ejercen fuerzas sobre las otras, estas
fuerzas son aditivas. Por tanto, la fuerza resultante sobre una cualquiera de ellas es
igual a la suma vectorial de las fuerzas debidas a las demás cargas tomadas por
separado.
Para resolver estos problemas se deben seguir las siguientes orientaciones:
-
Se toma como origen de un sistema de ejes cartesianos la carga que está
sometida a la fuerza resultante que se desea calcular.
-
Se dibuja el diagrama de las fuerzas que se van a sumar.
4
-
Se halla el módulo de cada una de estas fuerzas por separado.
-
Se hace la descomposición cartesiana de aquellas fuerzas cuya dirección
no coincida con los ejes cartesianos.
-
Se halla la resultante sobre cada eje.
-
Se expresa de forma vectorial mediante sus componentes y se aplica el
teorema de Pitágoras para hallar la fuerza total (módulo).
Intensidad de campo eléctrico.
Se define campo eléctrico como:
“Cualquier región del espacio donde una carga Q’ está sometida a
una fuerza eléctrica”
Esta fuerza se debe a la presencia de una o varias cargas en dicha región.
Como la fuerza que cada carga Q1, Q2,..., ejerce sobre la carga Q’, es proporcional a
dicha carga, la fuerza resultante también es proporcional a Q’. Así la fuerza sobre una
partícula cargada colocada en un campo eléctrico es proporcional a la carga de la
partícula.
Se define intensidad de campo eléctrico en un punto dado como:
“La fuerza eléctrica que actúa sobre una unidad de carga de
prueba positiva colocada en ese punto”
r
r F
E=
Q'
La unidad de intensidad del campo eléctrico en el S.I. es el N/C.
Teniendo en cuenta la Ley de Coulomb:
r
Q ⋅ Q' r
F =K
ur
r2
→
r
Q r
E = K 2 ur
r
En base a esta expresión, se deduce:
-
La dirección del campo coincide con la dirección de la fuerza que la carga
Q ejerce sobre la carga positiva de prueba. Por tanto el campo eléctrico es
central.
-
Si la carga puntual Q es positiva, el sentido de la intensidad es hacia fuera
de la carga; si, por el contrario, Q es negativa, el sentido de la intensidad
del campo se dirige hacia la carga.
5
-
Si se tienen varias cargas que crean el campo, éste será la suma vectorial
de los campos eléctricos producidos por cada carga.
n
r
Q r
E = K ⋅ ∑ 2i u r
i =1 r i
Cuando el campo tiene la misma intensidad, la misma dirección y el mismo
sentido, en todos sus puntos se dice que el campo es uniforme. Es el caso del campo
que existe entre dos láminas planas, paralelas y muy próximas cargadas cada una de
signo contrario.
Si
se
despeja
de
la
ecuación
anterior,
r
r
F = Q' ⋅ E , se observa que si Q’ es positiva, la fuerza
que actúa sobre dicha carga tiene igual dirección y
sentido que el campo, pero si Q’ es negativa, tiene
sentido contrario.
Líneas de fuerza del campo eléctrico.
Igual que en el campo gravitatorio, el campo eléctrico puede representarse por
líneas de fuerza o de campo, que tienen la misma dirección que el vector campo en
cada punto, por tanto tangentes a la dirección del campo en cada uno de sus puntos.
Estas líneas imaginarías tienen las siguientes propiedades:
-
Salen siempre de las cargas positivas o
del infinito y terminan en el infinito o en las
cargas negativas.
-
El número de líneas que salgan de una
carga positiva o entren en una carga
negativa debe ser proporcional a dicha
carga.
-
Las líneas de campo no se cortan, puesto
esto supondría la existencia de dos
vectores campo distintos en ese punto.
-
Si en un campo eléctrico se abandona una carga, ésta se moverá bajo la
acción del campo siguiendo una línea de campo. Por ello, las líneas de
campo son las trayectorias que sigue una carga abandonada en reposo en
el interior del campo.
6
Si el campo es uniforme, las líneas de campo son rectas paralelas.
-
Energía potencial asociada a la posición de una carga en un campo eléctrico.
Al igual que en el campo gravitatorio, la energía potencial de una carga que se
encuentre a una distancia infinita del origen del campo valdrá cero. Esto es debido a
que la fuerza electrostática tiende acero a medida que la distancia tiende a infinito.
Para calcular la expresión de la energía potencial en función del signo de las
cargas que intervienen, se considera que el campo es creado por una carga puntual
positiva Q.
A continuación, se calculará el trabajo que realizaría una fuerza eléctrica para
acercar una carga (positiva o negativa) desde el infinito hasta una posición r de la
carga que crea el campo. Como se trata de una fuerza conservativa, el trabajo
realizado por la misma no depende del camino seguido, sino exclusivamente de la
posición inicial y final. Además, para este tipo de fuerzas, siempre se cumple que el
trabajo realizado es igual a la variación negativa de la energía potencial, por tanto:
W∞ → r = –∆Ep = – [Ep(r) – Ep(∞)] = Ep(∞) – Ep(r) = – Ep(r)
•
Trabajo realizado por el campo originado por una carga Q al acercar otra, Q’, de
signo distinto.
Al tratarse de cargas de distinto signo, la fuerza es
∞
atractiva y tendrá signo negativo. (Q y Q’ son valores
absolutos).
r
E
r
Q ⋅ Q' r
ur
F = −K
r2
W∞ →r =
∫
r
∞
r r
F ⋅ dr =
∫
r
∞
−K
r r
Q’(−)
F
r dr
Q ⋅ Q'
=
−
⋅
⋅
dr
K
Q
Q
'
∫∞ r 2
r2
7
Q(+)
r
W∞ →r
1
1 1
Q ⋅ Q'
= − K ⋅ Q ⋅ Q' −  = − K ⋅ Q ⋅ Q' − +  = K
r
 r ∞
 r ∞
El trabajo realizado por una fuerza eléctrica para acercar cargas de distinto
signo es positivo y la energía potencial asociada a la interacción electrostática entre
cargas de distinto signo es negativa:
Ep( r ) = − K
Q ⋅ Q'
r
Cuando la interacción es atractiva, el acercamiento entre las cargas produce
una disminución de la energía potencial del sistema.
•
Trabajo realizado por el campo originado por una carga Q al acercar otra, Q’, del
mismo signo.
Al tratarse de cargas del mismo signo, la fuerza es repulsiva y tendrá signo
positivo.
W∞ → r =
r
Q ⋅ Q' r
ur
F =K
r2
∫
r
∞
r r
F ⋅ dr =
∫
r
∞
K
∞
r dr
Q ⋅ Q'
dr = K ⋅ Q ⋅ Q' ∫ 2
2
∞ r
r
r
E
r
r
W∞ → r
1
1 1
Q ⋅ Q'
= K ⋅ Q ⋅ Q' −  = K ⋅ Q ⋅ Q' − +  = − K
r
 r ∞
 r ∞
r
F
Q’(+)
Q(+)
El trabajo realizado por una fuerza eléctrica para acercar cargas del mismo
signo es negativo y la energía potencial asociada a la interacción electrostática entre
cargas de igual signo es positiva:
Ep( r ) = K
Q ⋅ Q'
r
Que el trabajo sea negativo significa que el campo no realiza el trabajo de
acercamiento y que, debido al carácter repulsivo de la fuerza, se debe realizar trabajo
contra el campo.
Cuando la interacción es repulsiva, el acercamiento entre las cargas produce un
aumento de la energía potencial del sistema. Lo cual significa que se incrementa la
capacidad del campo de realizar posteriormente el trabajo de alejamiento de las cargas.
8
Energía potencial eléctrica asociada a un sistema de cargas puntuales.
Si se considera un sistema constituido por más de dos partículas, la energía
potencial total se puede calcular sumando algebraicamente la energía potencial de
cada par de cargas.
En el caso de tres cargas (los valores de las cargas podrán ser positivos o
negativos):
Q ⋅Q Q ⋅Q Q ⋅Q 
E p sistema = K  1 2 + 1 3 + 2 3 
r13
r23 
 r12
El significado físico que tiene la energía potencial de un sistema de partículas
es que mide el trabajo necesario para ensamblar el sistema en dichas posiciones
acercando para ello las cargas desde el infinito.
Potencial eléctrico.
“Potencial eléctrico en un punto se define como la energía
potencial eléctrica por unidad de carga colocada en dicho punto”
V(r ) =
Ep ( r )
Q'
→ V(r ) = K
Q
r
La unidad de potencial eléctrico en el S.I. es el voltio (V). 1 V =1 J/C
Como consecuencia de esto:
-
El potencial en un punto es negativo si la carga que origina el campo es
negativa.
-
El potencial en un punto es positivo si la carga que origina el campo es
positiva.
Potencial en un punto debido a un sistema de cargas puntuales.
En el caso de tener varias cargas puntuales, el potencial en un punto debido a
todas ellas es la suma algebraica de los potenciale originados por cada una por
separado.
n
Q 
Q Q
VT = ∑ Vi = K ⋅  1 + 2 + K + n 
r2
rn 
i =1
 r1
por tanto, también se puede definir la energía potencial de una carga Q’ colocada en
dicho punto como: Ep = Q’·VT
9
Diferencia de potencial entre dos puntos de un campo eléctrico.
Cuando se sitúa una carga de prueba Q’ en el seno de un campo eléctrico, el
r
r
campo ejerce sobre ella una fuerza F = Q' ⋅E
Esta fuerza realiza un trabajo a medida que la carga se desplaza bajo su
acción en el campo. Así el trabajo realizado por el campo en desplazar la carga entre
dos puntos A y B es:
W =
∫
B
A
r r
B r
r
F·dr = Q' ⋅∫ E ⋅ dr
A
por tratarse de un campo conservativo, el trabajo realizado por la fuerza no depende
de la trayectoria seguida y se traduce en una disminución de la energía potencial:
B r
r
W = − ∆E p = Q' ⋅∫ E ⋅ dr
A
B r
r
E p (B ) − E p ( A) = − Q' ⋅∫ E ⋅ dr
A
→
E p (B ) − E p ( A)
Q'
B r
r
= VB − VA = − ∫ E ⋅ dr
A
“La diferencia de potencial entre dos puntos A y B equivale al
trabajo que debe realizarse contra el campo para desplazar la
unidad de carga desde A hasta B, suponiendo que no varía su
energía cinética”
B r
r
 1 1
VB − VA = − ∫ E ⋅ dr = K ⋅ Q ⋅  − 
A
 rB rA 
Si la unidad de carga se desplaza en sentido perpendicular al campo en cada
r
r
uno de los puntos (de manera que dr es perpendicular a E ), el trabajo será cero, lo
que significa que no existe diferencia de potencial. Todos los puntos que tienen el
mismo valor de potencial conforman lo que se denomina una superficie
equipotencial.
r
En cada punto de dicha superficie E es perpendicular a ella; por tanto, cuando
una carga se desplaza por una superficie equipotencial, el campo eléctrico no realiza
trabajo alguno sobre ella.
10
•
Diferencia de potencial en un campo eléctrico uniforme.
Un caso particular es la existencia de un campo
r
uniforme, pues en este caso E es constante y se puede sacar
de la integral de la expresión de la diferencia de potencial:
r B r
r r r
B r
r
VB − VA = − ∫ E ⋅ dr = − E ⋅ ∫ dr = − E ⋅ ( rB − rA )
A
r
A
r
r
r
r
en general: rB − rA = ( xB − x A ) i + ( y B − y A ) j + ( zB − zA ) k ; pero al efectuar el
producto
escalar
se
obtendrá,
r r r
B r
r
V
−
V
=
−
E
⋅
d
r
=
−
E
⋅ ( rB − rA ) = − E ⋅ ( y B − y A ) que
B
A
∫
considerando
A
r
r
ejemplo E = E j :
en
el
En este caso, y B − y A = d representa la distancia medida en la dirección del
campo entre los puntos A y B:
VB − VA = − E ⋅ d
“En un campo uniforme la diferencia de potencial varía
linealmente con la distancia, decreciendo en el sentido del
campo”
En términos de la energía potencial de una carga cuando se mueve desde A
hasta B, se obtiene:
E p ( B ) − E p ( A ) = q ⋅ (VB − VA ) = − q ⋅ E ⋅ d
esto significa que:
-
una partícula testigo positiva que se trasladara desde A hasta B en el
sentido del campo disminuirá su energía potencial.
-
una partícula testigo negativa que se trasladara desde A hasta B en el
sentido del campo aumentará su energía potencial.
Relación entre el campo y el potencial electrostático.
Anteriormente se ha obtenido la expresión de la diferencia de potencial:
B r
r
VB − VA = − ∫ E ⋅ dr
A
11
r
en forma diferencial, la relación entre la intensidad del campo eléctrico E y el
r r
dV = − E ⋅ dr
potencial V, sería:
Si el campo tiene sólo la componente “x”: Ex, que es el
caso de un campo uniforme, quedaría:
dV = − E x ⋅ dx
→
Ex = −
dV
dx
“Se puede conocer el valor de un campo eléctrico uniforme
derivando la expresión del potencial con respecto a la coordenada
en función de la cuál varía y anteponiendo el signo negativo”
En este caso el potencial sólo depende de la coordenada “x”, por tanto la
derivada del potencial es cero para cualquier desplazamiento perpendicular al campo
eléctrico. Por ello, las superficies equipotenciales son perpendiculares al campo.
Pero lo más frecuente es que el campo, y por tanto el potencial, varíe en
función de las tres coordenadas espaciales x, y, z. En este caso, se puede obtener
cada componente del campo derivado parcialmente el potencial respecto a cada una
de las coordenadas:
Ex = −
∂V
;
∂x
Ey = −
∂V
;
∂y
Ez = −
∂V
∂z
r
r
r
r
 ∂V r ∂V r ∂V r 
E = E x i + E y j + Ez k = − 
i +
j +
k
∂y
∂z 
 ∂x
r
r
Esto se simboliza con un operador matemático: E = ∇ V
Si la distribución de carga tiene geometría esférica, es el caso de una esfera
cargada o una carga puntual, el campo eléctrico es radial:
E=−
dV
dr
El potencial sólo cambiará en la dirección radial, no
en una dirección perpendicular a r. Esto quiere decir que las
superficies
equipotenciales
son
superficies
perpendiculares a las líneas de campo.
12
esféricas
Analogías y diferencias entre los campos eléctrico y magnético.
•
Analogías:
-
La fuerza que origina ambos campos es central.
-
El campo creado por una carga o por una masa varía de forma
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que existe entre el
punto considerado y dicha carga o masa.
-
Ambos campos son conservativos. Por ello, llevan asociada una energía
potencial y se puede definir en ellos un potencial (eléctrico o gravitatorio).
•
Diferencias:
GRAVITATORIO
ELÉCTRICO
Está creado por masas y su intensidad en
un punto es la fuerza que ejerce sobre
una unidad de masa situada en él.
Está creado por cargas y su intensidad en
un punto es la fuerza que ejerce sobre
una unidad de carga positiva situada en
él.
Las fuerzas de interacción pueden ser
Las fuerzas de interacción son siempre atractivas o repulsivas, dependiendo del
atractivas.
signo
de
las
cargas
eléctricas
que
interaccionan.
El campo creado por una carga puntual
El campo creado por una masa puntual puede tener dos sentidos, según el signo
tiene siempre el mismo sentido. Las líneas de la carga que crea el campo. Si es
de fuerza siempre se dirigen hacia la positiva, las líneas de fuerza salen de la
carga, y, si es negativa, las líneas de
masa que lo crea.
fuerza del campo entra en ella.
El signo del potencial asociado depende
El potencial asociado es siempre negativo. del signo de la carga que origina el
campo.
El campo eléctrico depende del medio en
El campo gravitatorio creado por una el que se encuentra la carga, por ello K
masa no depende del medio en el que se varía según el medio.
encuentra, ya que G es una constante
universal.
K=
1
4 ⋅π ⋅ε
( ε es la permitividad del medio)
13