IEM-315-T Ingeniería Eléctrica

IEM-315-T
Ingeniería Eléctrica
Circuitos en el Régimen Senoidal
Permanente.
IEM-315. Unidad II: Circuitos en el Régimen Senoidal Permanente.
Profesor Julio Ferreira.
Introducción.
En la ingeniería eléctrica, las funciones de excitación senoidales
tienen gran importancia, puesto que las señales de fuentes de
alimentación y comunicación se transmiten generalmente en
forma de sinusoides o sinusoides modificadas.
Se considera una fuente de voltaje: v(t) = VM sen wt
O en el caso de una fuente de corriente: i(t) = IM sen wt
+
VM sen wt
IM sen wt
-
Fuente de Voltaje senoidal
Fuente de Corriente senoidal
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El Generador de una onda senoidal.
El generador eléctrico es una máquina que se utiliza para
convertir la energía mecánica en eléctrica, con medios
electromagnéticos.
El funcionamiento de los generadores se basa en el principio
físico de la inducción, descubierto por el científico e inventor
británico Michael Faraday en 1831.
Este principio establece que si un conductor se mueve a través de
un campo magnético, o si está situado en las proximidades de un
circuito de conducción fijo cuya intensidad puede variar, se
establece o se induce una corriente en el conductor.
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Propiedades de la onda senoidal:
Amplitud, Periodo, Frecuencia,
Angulo de Fase, Valor Eficaz.
Consideremos el siguiente voltaje variable senoidalmente:
v(t) = VM sen wt
la gráfica de este voltaje es:
v(t)
VM
3π
2
π
2
π
2π
t
-VM
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Amplitud.
La amplitud (o valor máximo) de la onda senoidal es VM, y el
argumento es wt. La frecuencia en radianes, o frecuencia angular,
corresponde a w.
Periodo.
En la figura anterior, VM sen wt se grafica en función del
argumento wt, de donde resulta evidente la naturaleza periódica
de la onda senoidal. La función se repite cada 2π radianes y su
periodo T es en consecuencia 2π radianes.
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Frecuencia.
La forma de onda se grafica como una función del tiempo.
v(t)
VM
3T
4
T
4
T
2
T
t
-VM
Notemos que esta función recorre un periodo cada T segundos:
en otras palabras, en 1 segundo recorre 1/T periodos o ciclos. El
número de ciclos por segundo, es la frecuencia f, donde
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La frecuencia f está en ciclos por segundo, más comúnmente
llamados hertz (Hz) en honor al científico Heinrich Hertz.
Ahora, como wt = 2π como se muestra en la figura anterior,
tenemos que
Que es la relación general entre el periodo en segundos, la
frecuencia en hertz y frecuencia angular en radianes.
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Angulo de Fase.
Consideremos ahora la siguiente expresión general para una
función senoidal:
v(t) = VM sen (wt + )
En este caso, (wt + ) es el argumento de la función seno, y se
llama ángulo de fase. La gráfica de esta función sería:
v(t)
VM
VM sen wt
3π
2
Θ
-VM
π
2
π
2π
VM sen (wt + Θ)
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t
De la gráfica anterior, debido a la presencia del ángulo de fase,
cualquier punto de la forma de onda v2(t) ocurre radianes antes
que el punto correspondiente en la forma de onda v1 (t).
Por lo tanto, decimos que v1(t) se retrasa en radianes de v2(t).
También es correcto decir que v2(t) se adelanta en radianes de
v1(t).
En cualquier caso, adelantada o retrasada, decimos que las
sinusoides están fuera de fase. Si los ángulos de fase son
iguales, se dice que las sinusoides están en fase.
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Valor Medio Eficaz o RMS de una onda senoidal.
El valor medio eficaz es una medida de la eficacia de una fuente
al suministrar potencia a una carga.
Supongamos que tenemos la siguiente corriente i(t) = IM sen wt.
El valor RMS de una onda sinusoidal el igual al valor máximo
dividido entre √2. De aquí que una corriente senoidal con un valor
máximo de IM entrega la misma potencia promedio a una
resistencia R que una corriente dc con un valor de IM /√2.
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Fasores.
Un fasor es un número complejo que representa la amplitud y la
fase de una senoide. Los fasores brindan un medio sencillo para
analizar circuitos lineales excitados por fuentes senoidales; las
soluciones de tales circuitos serían impracticables de otra
manera.
Un número complejo A puede escribirse en forma rectangular
como
A = X + jY
donde j = √-1;
X es la parte real de A;
Y es la parte imaginaria de A.
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Transformación Fasorial. Relaciones
fasoriales para R, L y C.
El Resistor.
Para la figura anterior tenemos que v(t) = R.i(t).
Por lo tanto, VM ej(wt + ) = R.IM ej(wt + φ)
Si dividimos por ejwt, tenemos: VM ej = R.IM ejφ
Por lo tanto,
V = R.I
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El Inductor.
Por lo tanto, V = jwL.I
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El Capacitor.
Por lo tanto, I = jwC.V
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Impedancia.
Las relaciones de corriente – voltaje para los tres elementos
pasivos en el dominio de la frecuencia son:
Se define la impedancia Z de un elemento como la razón del
voltaje fasorial a la corriente fasorial. Por tanto:
Esta se llama ley de Ohm en notación fasorial.
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Puesto que la impedancia es un numero complejo, se puede expresar en
las siguientes formas:
donde R es la parte real de la impedancia, y suele llamarse parte
resistiva; mientras que X es la parte imaginaria de la impedancia, y
suele llamarse la parte reactiva.
La magnitud de la impedancia es:
Y el ángulo de fase es:
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La validez de las dos leyes de Kirchhoff en el dominio de la
frecuencia conduce al hecho de que se pueden combinar las
impedancias en serie y paralelo mediante las mismas reglas ya
establecidas por las resistencias.
Es decir, si hay n impedancias conectadas en serie, la
impedancia equivalente será:
Si hay n impedancias conectadas en paralelo, la impedancia
equivalente será:
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Admitancia.
El reciproco de la impedancia se llama admitancia, y se
representa por Y.
La admitancia es análoga a la conductancia en los circuitos
resistivos. Sus unidades son siemens, que se abrevia S.
Si utilizamos la forma Y = R + jX, se obtiene
La parte real de la admitancia (G) se llama conductancia, y la
parte imaginaria (B) se llama susceptancia. Las unidades de G y
B son siemens.
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