UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS E.A.P. DE. MATEMÁTICA PURA Fracciones continuas, ecuación de Pell y unidades en el anillo de enteros de los cuerpos cuadráticos Capítulo 7. Fracciones continuas periódicas TRABAJO MONOGRÁFICO Para optar el Título de Licenciado en Matemática pura AUTOR Sonia Alanya Pérez LIMA – PERÚ 2004 7 Fracciones Continuas Periódicas. Un subconjunto importante e interesante del conjunto de las fracciones continuas simples infinitas es el conjunto de las fracciones continuas periódicas. Una fracción continua periódica es una fracción continua de la forma: £ ¤ a1 , a2 , ..., an , b1 , b2 , ..., bn 27 donde n es un entero no negativo y los enteros b1 , b2 , ..., bn se repiten. Recordemos que un irracional cuadrático es un número irracional que es una solución de una ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 donde a, b y c son enteros. Conclusión. 1) Todo √ irracional cuadrático es un número real que tiene la forma: r + s k donde r y s ∈ Q; s 6= 0 y k es un entero positivo que no es cuadrado perfecto. 2) Las fracciones continuas periódicas difieren de otras fracciones continuas en que ellas representan irracionales cuadráticas, ası́ por ejemplo tenemos: √ ¤ 1 + 10 £ = 1, 2, 1 3√ £ ¤ 23 = 4, 1, 3, 1, 8 √ −1 + 5 £ ¤ = 0, 1 2 √ 1 + 10 La representación en fracción continua de es un ejemplo de 3 una fracción continua periódica pura. Teorema 12. Toda fracción continua periódica representa un irracional cuadrático. Demostración. £ ¤ Sea a0 , a1 , ..., aj , b0 , b1 , ..., bm−1 cualquier fracción continua periódica. Entonces hagamos: x = [a0 , a1 , ..., aj , y] £ ¤ donde y = b0 , b1 , ..., bm−1 . Como ¤ £ y = b0 , b1 , ..., bm−1 , b0 , b1 , ..., bm−1 entonces y = [b1 , b2 , ..., bm−1 , y] el valor de la fracción continua es igual al (n + 1) convergente Cn+1 . pi el i-ésimo convergente de la fracción continua en (8) Sea Ci = qi entonces ypm + pm−1 y= yqm + qm−1 28 (9) y y 2 qm + yqm−1 = ypm + ypm−1 qm y 2 + y (qm−1 − pm ) − pm−1 = 0 (10) de (9) se tiene que y es un número irracional cuadrático o bien racional pero lo ultimo queda excluido ello debido a que la fracción continua es infinita, es una ecuación cuadrática cuyos coeficientes enteros son números irracionales, ya que y satisface la ecuación y esta representada por una fracción continua simple infinita. Por lo tanto y es √ un irracional cuadrático. Sea y = r + s d donde r, s son números racionales y k es un entero positivo que no es cuadrado perfecto. De (8) se tiene: 0 0 ypn + pn−1 x= 0 0 yqn + qn−1 p0n p0n−1 y 0 son los últimos convergentes para [a0 , a1 , ..., aj ] qn0 qn−1 √ Reemplazando y = r + s d en la expresión se tiene: ³ √ ´ 0 0 √ 0 0 0 r + s d pn + pn−1 rpn + pn−1 + spn d √ x= ³ = 0 √ ´ 0 0 rqn + qn−1 + sqn0 d r + s d qn0 + qn−1 ³ ³ √ ´³ √ ´ √ ´ √ A+B d C −D d C −D d A+B d √ ׳ x= √ ´= C 2 − D2 d C +D d C −D d √ √ AC − AD d + BC d − BDd x= C 2 − D2 d √ AC − BDd (BC − AD) d x= + C 2 − D2 d C 2 − D2 d √ 0 0 0 0 0 entonces x = r + s d donde r , s ∈ Q. Además s 6= 0 pues x esta representado por una fracción continua simple infinita. Por lo tanto x es un irracional cuadrático y toda función continua periódica representa un irracional cuadrático. donde 29 Ejemplo 14. Determinar el irracional cuadrático representado por cada una de las siguientes fracciones continuas simples infinitas. £ ¤ (i) 4, 1, 3, 4 Solución £ ¤ £ ¤ £ ¤ Sea x = 4, 1, 3, 4 ⇒ x = [4, 1, y] donde y = 3, 4 = 3, 4, 3, 4 = [3, 4, y] ⇒ y (13) + 3 3 ⇒ y 2 − 3y − = 0 4 (y) + 1 4 3 √ entonces y = + 3 2 y= Los primeros dos convergentes de [4, 1, y] es: C0 = 4, C1 = µ 5 entonces 1 ¶ 3 √ √ ¢ ¡ √ + 3 .5 + 4 5−2 3 23 + 10 3 2 ¶ √ ס √ ¢ x= µ = 3 √ 5+2 3 5−2 3 + 3 .1 + 1 2 √ 4 3 + 55 x= 13 £ ¤ (ii) 1, 2, 3 Solución Sea x = [1, 2, 3, y] donde y = [1, 2, 3, y] ⇒ x = y Veamos: k ak pk qk 0 1 1 1 1 2 3 2 2 3 3 10 7 y (10) + 3 ⇒ 7y 2 − 8y − 3 = 0 y (7) + 2 √ 8 + 2 37 y1 = 14 √ 4 + 37 x= 7 y= 30 £ ¤ (iii) 0, 1, 2, 3 Solución. £ ¤ £ ¤ Sea x = 0, 1, 2, 3 donde y = 1, 2, 3 = y = [1, 2, 3, y] . Se tiene 10 (y) + 3 7 (y) + 2 2 7y − 8y − 3 = 0 √ 4 + 37 entonces y1 = 7 y= entonces los dos primeros convergentes de [0, 1, 2, 3, y] es: k ak pk qk entonces à x= à 4+ 4+ √ 7 √ 7 √ x= 37 37 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 7 10 ! .7 + 2 ! .10 + 3 √ ¢ ¡ √ 61 − 10 37 42 + 7 37 √ ס √ ¢ = 61 + 10 37 61 − 10 37 −4 + 37 3 Teorema 13. Todo irracional cuadrático puede ser expresado como una fracción continua periódica. Demostración. Sea x o bien x0 cualquier irracional cuadrático de la forma √ a+ b donde a, b, c y d > 0 y c 6= 0; x = x0 = c el entero b no es un cuadrado perfecto puesto que x es irracional entonces multiplicando por |c| tenemos ³ √ ´ √ a + b . |c| a.c + bc2 = si c > 0 y x= c. |c| c2 √ −a.c + bc2 x= si c < 0 −c2 31 Ası́ puede escribirse x de la siguiente forma: √ p0 + d x0 = donde q0 | d − p20 ; d, p, q0 ∈ Z y q0 6= 0 q0 d no es un cuadrado entero perfecto. escribiendo x0 en esta forma podemos obtener una formula sensilla de su desarrollo fraccionario continuado [a0 , a1 , . . .] . Probaremos ahora que: ¯ ¯ ai = [xi ] ¯ √ ¯ ¯ x = pi + d ¯ i qi ¯ (11) ¯ pi+1 = ai qi − pi ¯ 2 ¯ ¯ q = d − pi+1 ¯ i+1 qi ellas definen las sucesiones infinitas de los enteros pi , qi , ai e irracionales xi . Hagamos a0 = [x0 ]. Si conocemos x1 , pi , qi , ai entonces se tiene pi+1 = ai qi − pi d − p2i+1 qi+1 = qi √ pi+1 + d xi+1 = qi+1 ai+1 = [xi+1 ] Ahora aplicando inducción para probar que los pi y los qi son enteros tal que qi 6= 0 y qi | d − p2i . Esto se cumple para i = 0. si es verdadero en el i − ésimo paso se observa que: pi+1 = (ai qi − pi ) ∈ Z µ ¶ d − p2i+1 d − p2i 2 entonces qi+1 = = + 2ai pi − ai qi ∈ Z qi qi es más qi+1 6= 0 (pues si lo fuera se tendrı́a d = p2i+1 mientras que d no es cuadrado perfecto). d − p2i+1 Finalmente se tiene qi = de modo que qi+1 | d − p2i+1 qi+1 32 A continuación se puede verificar que xi − a i = = = = √ √ −ai qi + pi + d d − pi+1 = qi qi 2 d−p ³√ i+1 ´ qi d + pi+1 q √ i+1 d + pi+1 1 xi+1 la cual verifica (11.1) y ası́ se ha probado que x0 = [a0 , a1 , . . .] ; con ai definidos por (10). Mediante x0i denotemos el conjugado de xi es decir √ pi − d 0 xi = qi 0 x h n−1 + hn−2 entonces x00 = n0 xk hk−1 + hk−2 Tomando conjugados y resolviendo para x0n se obtiene: 0 x0 −hn−2 kn−2 kn−2 x0n = − 0 kn−1 x0 −hn−1 kn−1 si n → ∞ entonces hn−1 kn−1 y hn−2 −→ x0 kn−2 ∴ x00 −hn−2 kn−2 x00 −hn−1 kn−1 −→ 1 Ası́ que para un n lo suficientemente grande; sea n > N ; N fijo la fracción del paréntesis es positiva y x0n es negativo. Pero xn > 0 para todo n ≥ 1 entonces xn − x0n > 0 ∀n > N √ √ pn + d pn − d − >0 qn qn √ 2 d ie >0 qn 33 de aquı́ qn > 0 ∀ n > N. También se tiene que: qn qn+1 = d − p2n+1 ≤ d; qn ≤ qn qn+1 √ ≤d 2 2 pn+1 < pn+1 + qn qn+1 = d; |pn+1 | < d para n > N . Como d > 0 entonces qn y pn+1 pueden asumir solo un número fijo de valores posibles para n > N . De aquı́ que pn y qn pueden asumir solo un número fijo de valores posibles entonces existen j y k enteros tales que j 6= k donde pj = pk y qj = qk , esto implica que xj = xk y x0 = [a0 , a1 , . . . aj−1 , aj , aj+1 , . . . , ak−1 ] √ √ . √ Teorema 14. Sea x = r + s k y x = r − s k r + s k es un irracional cuadrático. Si x > 1 y −1 < x < 0, entonces la fracción continua que representa a x es una fracción continua periódica pura. Demostración. Primero vamos a suponer que x > 1 y −1 < x̄ < 0 se tiene ai = [xi ] 1 (12) xi+1 = xi − ai tomando conjugados en (11) obtenemos 1 x̄i+1 = x̄i − ai . Tenemos que ai ≥ 1 ∀ i ≥ 0 pues x0 > 1 de aquı́ que si x̄ < 0 entonces tiene −1 < x̄i+1 < 0. Suponiendo que −1 < x̄0 < 0. Por inducción se tiene que −1 < x̄i+1 < 0 ∀i ≥ 0. De aquı́: 1 x̄i = ai + x̄i+1 se tiene que 0<− 1 x̄i+1 · − ai < 1; ai = − 34 1 x̄i+1 ¸ 1 x̄i+1 < −1 y se Ahora bien x es un irracional cuadrático de modo que: xj = xk para algunos j, k que están en Z con 0 < j < k entonces se tiene x̄j = x̄k y · ¸ 1 aj−1 = − = ak−1 x̄j 1 1 = ak−1 + = xk−1 xj−1 = aj−1 + xj xk Ası́ que xj = xk implica xj−1 = xk−1 . Una iteración de multiplicidad j de esta ultima implicación nos da que x0 = xk−j y se tiene x = x0 = [a0 , a1 , . . . , ak−j−1 ] . ¥ Teorema 15. Si k es un entero positivo que √ no es un cuadrado perfecto entonces la fracción continua que representa k es una fracción continua periódica cuyo periódo comienza despues del primer término, especı́ficamente: √ £ ¤ k = a0 , a1 , a2 , ..., an−1 , 2a0 √ Demostración. Sea √k = [a0 , a1√ , ...], como a0 es el mayor √ √ entero menor que k tenemos ³ que a0 < ´ k ⇒ a0 + k > 1 y −1 < a0 − k < 0, entonces por √ Teorema 14 a0 + k es una fracción continua periódica pura. Por tanto √ £ ¤ x = a0 + k = 2a0 , a1 , a2 , ..., an−1 √ £ ¤ k = −a0 + 2a0 , a1 , a2 , ..., an−1 £ ¤ = −a0 + 2a0 , a1 , a2 , ..., an−1 , 2a0 = [a0 , a1 , . . . , an−1 , 2a0 ] ¥ Teorema 16. (Simetrı́a) El periodo de cada fracción continua, sin √ incluir 2a0 es una expresión simetrica entonces toda fracción contina para k; tal que k no es cuadrado perfecto, es de la forma: ¤ £ a0 , a1 , a2 , a3 , . . . , a3 , a2 , a1 , 2a0 35 Teorema 17. Si p es un entero la fracción continua simple p positivo,£ entonces ¤ periódica que representa a p2 + 1 es p, 2p Demostración. Sea p un entero positivo entonces ³p ´ p 1 p2 + 1 = p + p2 + 1 − p = p + 1 p 2 p +1−p 1 =p+ p p2 +1+p 1 =p+ 1 =p+ p 1 p2 ´ +1−p 1 =p+ 1 1 2p + 2p + ³p 2p + p p2 + 1 − p 1 p2 + 1 + p 1 £ ¤ = p, 2p , p > 0 Teorema 18. Si p es un entero positivo mayor hque 1, entonces lai fracción p continua periódica que representa a p2 − 1 es p − 1, 1, 2 (p − 1) Demostración. Sea p un entero positivo / p > 1 ⇒ como p > 1 ⇒ p − 1 > 0 ⇒ hp i p 2 2 p − 1 = (p − 1) + p − 1 − (p − 1) hp i p p2 − 1 = (p − 1) + p2 − 1 + (1 − p) 1 1 =p−1+ p p2 − 1 + (1 − p) 1 =p−1+ p p2 − 1 + p − 1 2 (p − 1) ¥ 36 Ejemplo 16 . Verificar el teorema 14 para cada uno de los irracionales cuadráticos √ (i) 3 + 10 Solución. Veamos: x = 3 + √ 10 es un irracional cuadrático. √ Como x > 1 y x = 3 − 10 / − 1 < x < 0, entonces la fracción continua que representa a x es una fracción continua periódica pura. √ √ 3 + 10 ⇒ 6 ≤ 3 + 10 < 7 entonces ³ √ √ ´ √ 3 + 10 = 6 + 3 + 10 − 6 = 6 + 10 − 3 =6+ 1 1 ¡√ ¢ =6+ 1 6 + 10 − 3 √ 10 − 3 1 =6+ 6+ √ Por tanto 3 + √ (ii) 2 + 7 √ 1 10 + 3 £ ¤ £ ¤ 10 = 6, 6 = 6 Solución √ Entonces 4 ≤ 2 + 7 < 5 ⇒ ³ √ √ ´ √ 2+ 7=4+ 2+ 7 −4=4+ 7−2 =4+ 1 1 =4+ 1 1 √ ¢ 1 + ¡√ 7−2 3 7+1 6 1 =4+ 1 1+ 1 1+ 1+ Por tanto 2 + √ £ ¤ 7 = 4, 1, 1, 1 37 1 ¡√ ¢ 4+ 7−2 √ 1+ 2 (iii) 2 Solución Veamos: √ 1+ 2 (a) >1 2 √ 1− 2 ⇒ −1 < x < 0 (b) x = 2 √ √ 1+ 2 1+ 2 ⇒1≤ < 3 entonces 2 2 à ! √ √ 1+ 2 1+ 2−2 =1+ =1+ 2 2 1 1 4+ 1+ 1 2 √ 2−1 √ 1+ 2 £ ¤ Por tanto = 1, 4 2 Ejemplo 17. Demostrar que si p esp un entero positivo, £ ¤entonces la fracción 2 continua periódica que representa a p + 2 es p, p, 2p Demostración. Sea p ≥ 1 se tiene ³p ´ p 1 p2 + 2 = p + p2 + 2 − p = p + 1 p 2 p +2−p 1 1 p =p+ =p+ p 2 2 p +2+p p +2−p p+ 2 2 1 1 =p+ =p+ 1 1 p+ p+ p 2 p2 + 2 + p p 2 p +2−p 1 =p+ 1 p+ 1 2p + 1 p 2 p +2−p 38 Por tanto p £ ¤ p2 + 2 = p, p, 2p Ejemplo 18. Demostrar que si p esp un entero positivo, entonces la fracción £ ¤ 2 continua periódica que representa a p + 2p es p, 1, 2p Demostración. Sea p ≥ 1 entonces ³p ´ p 1 p2 + 2p = p + p2 + 2p − p = p + 1 p 2 p + 2p − p =p+ p 1 p2 + 2p + p 2p =p+ 1 =p+ 1 =p+ 1 2p 1+ 1 p p2 + 2p − p 1+ 2p p p2 + 2p − p 1 =p+ 1+ p p p2 + 2p − p p2 + 2p + p 1 1 1+ 1 1 2p + p p2 + 2p − p Por tanto 1 =p+ 1 =p+ 1 2p 1+ p £ ¤ p2 + 2p = p, 1, 2p 39 1+ 2p + 1 ³p p2 + 2p − p ´ Teorema 19. Sea d un entero positivo que no sea cuadrado perfecto y √ hn sea los convergentes para el desarrollo fraccionario continuado de d. kn √ Supónganse que el entero N satisface |N | < d entonces cualquier solución positiva de x2 − dy 2 = N con (x, y) = 1 es x = hn y y = kn para algún entero positivo n. Demostración. Sean x, y números positivos tales que (x, y) = 1 y x2 − ρy 2 = σ donde √ √ ρ es irracional y 0 < σ < ρ; σ y ρ números reales De la ecuación x2 − ρy 2 = σ se tiene √ √ (x + ρ.y) (x − ρ.y) = σ dividiendo por y entonces tenemos: ¡ √ ¢ x + ρ.y σ = ¡ √ ¢ y y x − ρ.y x √ σ − ρ= ¡ √ ¢ y y x − ρ.y (13) De la ecuación se tiene que √ ρ σ x √ 0< − ρ= ¡ √ ¢< ¡ √ ¢ y y x + ρ.y y x + ρ.y entonces √ ρ x √ ¡ 0< − ρ< √ ¢ y y x + ρ.y = y yx √ ρ √ ρ √ ρ ³ √ ´ x+ ρ.y √ ρ < yx √ ρ 1 1 h = + y2 y2 1 + 1 + y2 x √ i (14) y ρ x √ x Como se tiene que − ρ > 0 implica que √ > 1. y y ρ Por lo tanto ¯ ¯ ¯x √ ¯ ¯ − ρ¯ < 1 por (14) ¯ 2y 2 ¯y x es un convergente en el desarrollo por fracciones Por el teorema 11. y √ continuas de ρ. 40 • Si N > 0; tomamos σ = N ; ρ = d; x = s; y = t y el teorema se cumple. • Si N < 0; entonces µ ¶ N 1 2 t − s =− ; d d 2 aquı́ se toma σ=− N 1 ; ρ = ; x = s y y = t. d d t 1 es un convergente en el desarrollo de √ . El s d s teorema (20) nos demuestra que es un convergente en el desarrollo t √ de d. Se encuentra que ¥ hn Corolario Sea d un entero positivo que no sea cuadrado perfecto y sea kn √ los convergentes para el desarrollo fraccionario continuado de d. Entonces existe solución de la ecuación x2 − dy 2 = ±1 (Ecuación de Pell). 1 Teorema 20. El n − ésimo convergente de es el recı́proco del (n − 1) − x ésimo convergente de x, si x es un cualquier número real mayor que 1. Demostración. 1 hn h0 Se tiene x = [a0 , a1 , . . .] y = [0, a0 , a1 , . . .] si y n0 son los converx kn kn 1 gentes para x y respectivamente entonces: x h00 = 0; h01 = 1; h02 = a1 k0 = 1; k1 = a1 .. . 0 hn = an−1 h0n−1 + h0n−2 kn−1 = an−1 kn−2 + kn−3 k00 = 1; k10 = a0 ; k20 = a0 a1 + 1 h0 = a0 ; h1 = a0 a1 + 1 .. . 0 0 0 kn = an−1 kn−1 + kn−2 hn−1 = an−1 hn−2 + hn−3 La prueba se completa por inducción. ¥ 41