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§´3ª­¬%²Jµ»¬Þ°%Á3§¯%§?®æ§²O§e½°²Î§®æ´²8ªÂ´%¦@®Á3ºM§®Â¬óºM¬ ¨8¬ÞÁ%©µÂ ¶¬ ©C¯%§±¬ªe²Y¬®±¨3¶´ ®-®æ§©3ºµ¡¦·¦ ¬®ÀH´C®æ§² °¬®µ³%¦ §A¯ µ»®qä¹Á%©«ª­¬®MÀ$É1´%°%¦·µ»º´²´¿¦ Ò Á%©´/¯%§-¦ ´®K²Î§Ò ¦ ´®Q´%©«ª­§²Jµ»¬%²Y§M®£ ?$Ùz|{`×U{Yzv j¤ ¥ s ",<x0ÒGÑ " Ø Ø þ ý5Uz ¡S þ s Ejemplo | ì $ÿ Ew ¾ÿ * þ Mÿþ ý [yz þ *< K £ÏQ" G>K ý j*{ ¢« ý ìÿý%þ j ¥ $ÿ >w ý |·,Ð t ÿ Mþ ý Mý ý þ ýN{|z |s ",<ÒG¡D ,,o< tm" ¡q ì j£ jB Ø ¯|Òúþ j£ ¨ ¡S « ¯ Ø þ " ì þ j£ { ú ~ ý y V}z z ~ ý y VUz · ÿ ý $ ÿ Ew 0 Las piezas producidas por una planta industrial pueden tener tres tipos de defecto: ¯|Òúþ " <y£ÏB" ± ¥w,,­ ¾ÿ 1þ Èþ G ý}z Mý ý ,< ·KK | < |"<Q | | ¡ ì vQ t <Q K,K 1.13 A, B y C. Se estima que un 10% de las piezas presenta el defecto A; un 8% elB; un 5% el C; un 2% el A y el B; un 0.5% el ·B<j¬j ¬%ÿÿ·þjþþ|BKBB$ÿ>w,Èý|H<Mý±¥Èý%ÿý± ýÈþ|s "<|£ A y el C; un 1% el B y el C y un 0.2% presentan los tres defectos. Se elige al azar una pieza. Calcular: û a) la probabilidad deþ|que lampieza tenga ningún defecto. %ÿÿ·þjþ BK <ý±¥no 77 >K GHýÇ þ|s <£ ¬u ·B<j¬j ¬ %ÿ ÿ·þ þþ ý ý Aþ 8þ b) la probabilidad de que tenga a lo sumo un defecto. ·B<j¬j ¬ j |BKm< ±¥¢|K,KG t< |s "<,£ | c) la probabilidad de que tenga exactamente tres defectos. אַ¯¿´«ª­¬® $Á3§-©3¬®¯¿´/§¦§©%Á%©3º3µÄ´3¯%¬Ç¯%§¦Æ°²Y¬ ³%¦ §¨8´X®Â¬ © W Los datos que nos da el enunciado del problema son -øÒ*Êй¯¿zÀ -ø § ì -ø Êй¯¿zÀ¿jÅ Êйú¿zÀ¿]I Ø P (A) = 0.1 P (B) = 0.08 P (C) = 0.05 Ø -øÒù í Êй¯¿zÀ¿|Á -(A ø Ò+í Ê[¹ú¿zÀ¿j¿]I -“ ø ì Ê[¹ú¿zÀ¿ § ì C)í =Ø 0.01 P (A “ B) = 0.02 P “ C) = 0.005) P (B -ø“ Òù Êo¹ú¿zÀ¿K¿|Á P (A Bí “ì C)í =Ø 0.002 Laï´/ situación ®µ ªeÁ´º3µÂ planteada ¶¬ ©Ç°%¦»´%©«ª­§se´3¯¿puede ´1®æ§-°%reflejar Á3§M¯%§²Îmediante § §ä­´²R¨8el§M¯ siguiente µÄ´%©«ª­§A§¦diagrama: ®µ Ò Áµ»§©«ª­§/¯ µ»´Ò ²E´%¨K´Ý A B d a b g e f c C h La consideración de los sucesos A, B y C divide el espacio muestral Ω en ocho partes disjuntas dos a dos: ï´XºM¬ ©3®eµ»¯%§²Y´º3µÂ ¶¬ ©X¯%§È¦ ¬®®Á3º§®Â¬® Ò Àì&É Ø ¯ µ õ ¯%§A§¦§®°´º3µ»¬?¨/Á3§M®Âªe²Y´¿¦ ¸ §©1¬ º3¬?°´²Îª­§®j¯ µ»®qä¹Á%©«ªÂ´® A “ B C “ C C , AC “ B “ C C , AC “ B C “ C, A “ B “ C C , A “ B C “ C, AC “ B “ C, A “ B “ C y í Ø í ì8ð í Ø í ì í Ø í Ø ð í Ø ðbÀ Ò ð í ì À Òmí ì í Ø ðÛÀ Ò8Laí ìmprobabilidad ð í Ø À Ò ð de À Ò8í suceso ì B¯%C¬“®MÝ CÒ8Cí , ì8 A¯%C¬“®@´k a, b, ðÛ c,À d,Ò e,ð f, g y h respectivamente. con probabilidades cualquier Ø ë À ä À M de Ò í í el problema À ç estas ÀGÀE cantidades. Éde interés ð ìpara 8ð ðbÀº¬ ©\ °se²Ypuede ¬ ³´%³µ¡calcular ¦Ðµ»¯¿´3¯%§® aã Àpartir É ²Y§M®°§ºDe ª¹µ Ãellas ´%¨8§©«gª­§es£uno ï´\°de²Y¬ los ³´%³datos µ¡¦Ðµ»¯¿´3¯\del¯%§ a las problema: ºÁ´%¦ $Áµ §g²H=®Á3Pº§(A ®Â¬?“¯%B§ì“µ©«C) ª­§²M=¶§ ®-0.002. °´²E´ÇEn §¦Fcuanto °²Î¬ ³%¦ §¨K ´Ç®æotras §ì°%Á3§cantidades, ¯%§º´%¦ ºÁ%¦»´la²Haditividad ´?°´²Îª¹µ²^¯%de§Èla§M®Âprobabilidad ªÂ´3®òº´%©«ª¹µ»¯¿´3nos ¯%§®Mdice £Û÷s§ que Ø §¦·¦»´3® §®ÈÁ%©3¬¯%§±¦ ¬®P¯¿´3ª­¬®PC ¯%§¦C°²Y¬ ³%¦ §¨8´Ý ¹-C øÒËí ì í CÊ>¹ ¿tÀ¿j¿jÁ £Û¤f©ìºÁ´¿©«ª­¬C´\¦ ´®A¬ªe²Y´® P (A) = P (A “ B “ C ) + P (A “ B “ C ) + P (A “ B “ C) + P (A “ B “ C) º´%©«ª¹µ»¯¿´3¯%§®ÀU¦»´-´3¯ µ ª¹µ õ»¯¿´3¯È ¯%§È¦ ´Ç°²YC¬ ³´%³µ¡¦Ðµ»¯¿´3¯ß©3¬®k¯ Cµ º§ $Á3§ C G P (B) = P (A “ B “ C ) + P (A “ B “ C ) + P (AC “ B “ C) + P (A “ B “ C) -ø -ø -ø ÒÊй=-øÒùí Ø í C Ê9lm-øÒùí Ê(lm-C lm“- í ì Cí ì “ð C) “ Ø C)ð + P (A øÒ “ í B ì “ ðC)í +Ø PÊ9(A P (C) = P (Aì C ð “ B + P (A “ B BøÒ+ “ C) Êй-ø Ò ì Ø Êй=-ø Ò ð ð í í P (A ð “ B) = P (A “ B “ C Cð ) + P (A “ ð B “ C) ì ð Ê9lm-øÒùí Ø í ì Êlp-ø Ò Ø í ì í Ø í ì P (A “ C) = P (A “ B C “ C) + P (A “ B “ C) í Ø Ê9lp-ø Òùí ì ð í Ø Ê9lm-øÒ ð í ì í P (B “ C) = P (AC “ B “ C) + P (A “ B “ C) Podemos escribir estas igualdades de la forma siguiente: a+d+e+g b+d+f +g c+e+f +g = 0.1 = 0.08 = 0.05 d+g = 0.02 Ø Ê9lm-øÒ Ê9lp-ø Ò+í í Ø í Ø í ì ì Ê í Ø Ê Ê Ö «j££YT<j¬|G£ -øÒùí -øÒùí -ø Êo¹=-ø Ò+í ì Êo¹=-øÒ+í Ø Ø í ì Êй=-øÒ ð ð í Ê Ø í ì Ê Ø í ì Ê9lm-øÒ+í Ø í ì Ø í ì Ê9lp-ø Ò+í Ø í ì Ê9lm-øÒùí ð Ø í ì Ê Ô$¬¯%§¨O¬®§®Âº²Jµ¡³µ²b§M®ÂªÂ´3®8µ»Ò Á´%¦ ¯¿´3¯%§®¯%§-¦ ´/ËT¬%²¨8´1®µ Ò Áµ»§©«ª­§Ý M l ã M l ë l ä l ç l ¹ ¿zÀ § ll ¹ ¿zÀ¿jÅ ll ¹ ¿zÀ¿]I l ¹ ¿zÀ¿|Á l ¹ ¿zÀ¿j¿]I l ¹ ¿zÀ¿ ç M ç ]\\ ]I [F]\ M Ñf§M®æ¬ ¦ õ»§©3¯%¬5§¦$®µ ®Âª­§¨K´Ç´¿©«ª­§²¾µ»¬%²k¦·¦ §MÒ%´¿¨O¬®O´ $Á3§ É £U÷s§¦»´È´¯ µ ª¹µ õ ¯¿´¯Ç¯%§Ç¦»´5°²Y¬ ³´%³µ¡¦Ðµ»¯¿´3¯5®Â§1¯%§¯$Á3ºM§/ªÂ´%¨/³µ¶§ © $Á3§. M n [F £ Ú 3¬%²E´Þ¦¦»´%¨O§¨O¬ ® À É ´ ¦ ¬®<®Á3º§®Â¬®ì´ ¦ ¬® $Á3§C®Â§Ù²Y§Ê §²Y§© ¦ ¬®5´%°´²ÎªÂ´3¯%¬®Ç´ ÀO³ ÈÉ~º X ²Y§M®°§ºª¹µ ô%¨8§©«ª­§£|¤ ®­ª­¬®R®Á3ºM§®Â¬®R®æ§A°%Á3§¯%§©K§½°²Y§M® ´²U§©Oª%¶§ ²¾¨Pµ©3¬®R¯%§A¦ ¬®s¬º 3¬A®Á3ºM§®Â¬®H¯%§¦¯ µÄ´3Ò ²E´%¨8´ £ Ó¬ ©3º²Î§MªÂ´%¨8§©«ª­§ ã ¿zÀ¿j¿[F ä § ñ tÀ ë ¹õ¿tÀ¿ jÁtÀ ä ¹Ô¿zÀ¿ ¹õ¿zÀ¿ ¹¿zÀ¿j¿jÅ ç ñ ñ Hñ À § ÅzÀ ç ¹Ô¿zÀ¿ ¹ ¢ ã ñ § ñ ¹ ë ñ 7¹Í¿zÀÅj¿ à ^ K ¹ à ð Ò í ð ì ø Òùí ì ¹ ø Òùí ì ð ¹ ð Ø í ð Ø í ð Ø í ÊSï ð ø Ò ÊSï ø Òùí í ð ì Ø í ð Ø í ì ð ÊSï ø Ò ÊSï ð øÒ í í í ì ð ì Ø í Ø ð ÊSï ø Ò í ì ð Ø í ð Ê Ê ¤ ®­ª­¬±©3¬®K°§²¨Aµ ª­§òª­§²¾¨Pµ©´²^¦ ¬®kº¿¶´ ¦ ºÁ%¦ ¬®Ý -ø -ø à ¹ ã Ê ¹ M l ¹ Ê -ø ¹¯¿zÀÅj¿[F Ê l l ë ä l ¹Í¿zÀÄ[JjÄ l(¹¯¿tÀ¿|Á Ä ç ¦ 576EH6 d+JKCL¢:;G=?ME&6 z|{Yzs{32 ¤f©3ºÁ3§©«ªe²Y´È§e½°²Î§®eµ»¬ ©3§M®ò¨C3¶´ ®®µ¨/°%¦ §®ò°´²Y´ Ý ´ ³ º øÒùï ÊSí øÒîï ì ÊSí ì øÒîï ì8ð ø ì Ø ï Ê ø Òùï ì ÊSí ø Ò øÒùï Ò3ï(Ò͹ÍÒùí%Ò͹ÍÒ øÒîï ì Ê ð Ê`ñ ¹ÍÒ Òùí í ð ì ÊSíøÒùï ì ìmð Ê Ê z|{`×o{32 õ@§²Jµ Ê º´5¦»´3®®µ Ò Áµ»§©«ª­§®ò²Y§¦»´3ºµ ¬ ©3§®K°´²Y´X®Á3ºM§®Â¬® ´ º § ì ï ð ì 7ì ð ¹fÒ3í ì ðï%Ò*ð í ì É 5Ý Ò ³ ¯ øÒùï øÒËñ Òðï Ë Ê`ñ ì Òùí ì ¹ÍÒËñ ì ì ÊSï ðX¹ÇøÒùí Òùí ¹úÒùï ì ì ʲð ì ì ¹úÒùí ì 𠢫ñ ¨ " © û üý þ ªK«K£ t< Mÿ û ý K" þ KG %ÿ û ¾ÿ |Gj¬j ¬ "|£ © z|{`èo{32 s©´ó§¨P°²Y§®æ´ $Á¶¸¨Aµ»º´ ´¿¨O§²Jµ»º´¿©´Ù´%©´%¦·µ»ÜM´ ¦ ´ø°¬®µ³µ¡¦·µ ¯¿´¯Þ¯%§Ùµ¡©3®­ªÂ´%¦»´²-©%Á3§Ã´®<ËJ´3ºMª­¬%²¾¸»¶ ´3®ì§© õ´%¦¦»´3¯%¬ ¦Ðµ»¯ÈÉ1§©ìⵡ¦·³´¬$£Uï´Ç°²Y¬ ³´¿³µ¦·µ»¯¿´3¯¯%§ $Á3§1µ©3®ÂªÂ´%¦ §-Á%©´1ËJ´3ºMª­¬%²¾¶¸ ´1§©/õ´¿¦·¦»´3¯%¬ ¦·µ ¯Ç§M®Qñ$£·Õ À§© ⵦ³´3¬Çñ £Ðà-É/§©-´%¦ Ò Á%©´/¯%§P´¿¨P³´3®ºµ¡Á3¯¿´3¯%§®Qñ £·ã$£ ´¿¦·¦»´² G Î ´ C¦ ´<°²Î¬ ³´%³µ¡¦·µ ¯¿´¯¯%§ $Á3§A®æ§Xµ¡©3®­ªÂ´%¦ §©/ËJ´ºª­¬%²¾¶¸»´3®§©X´¿¨P³´3®kºµÁ3¯¿´¯%§M®MÀ ³ C¦ ´<°²Î¬ ³´%³µ¡¦·µ ¯¿´¯¯%§ $3Á §-©3¬®Â§Xµ¡©3®­ªÂ´¿¦ §òËJ´ºª­¬¿²¾¸»¶ ´X§©<©µ¡©3Ò Á%©´1¯%§-¦»´3®k¯%¬®ºµÁ3¯¿´¯%§M®MÀ º \¦ ´<°²Î¬ ³´%³µ¡¦·µ ¯¿´¯¯%§ $3Á §A®æ§Xµ¡©3®­ªÂ´%¦ §òËJ´ºª­¬%²¾¶¸»´X® ¶¬ ¦ ¬§©<Á%©´1¯%§-¦ ´®º3µ¡Á3¯¿´3¯%§®M£ B B B z|{ {32 s©/º¬ ¦ §ºMª¹µ Ã3¬-§ºM¬ ¦ ¬Òµ»®­ªÂ´Ç°²Î¬ °¬ ©3§A´¿¦%ÚÉ%Á%©«ªÂ´¿¨Aµ»§©«ª­¬Xªe²Y§®K¨O§¯ µ ¯¿´®oÚkÀ:âCÉ-ÓÙ°´²Y´PËJ´«Ã3¬¿²Î§ºM§²s¦»´ ºM¬ ©3®æ§²Îô3ºµ­ ¶¬ ©A¯%§¦$¨O§¯ µ ¬-´%¨/³µ §©«ª­§K§©-¦»´-²¾µ¡³§²Y´P¯%§¦ ²¾¶¸ ¬£Æï´3®j¨O§¯ µ ¯¿´®^ÚóÉXÓC®Â¬ ©Xµ©3º¬ ¨P°´3ª¹µ³%¦ §M® É/®$ ¶¬ ¦ ¬®æ§È°%Á3§¯%§/´¿°%¦Ðµ»º´²RÁ%©´1¯%§/§¦¦ ´®M£:ï´Ç°²Y¬ ³´¿³µ¦·µ»¯¿´3¯<¯%§ $Á3§P®æ§P´3¯%¬ °«ª­§-¦»´<¨O§¯ µ ¯¿´XÚ §®Qñ £·Ì À ¦ ´Ç¨8§M¯ µ»¯¿´5â~ñ$£Äà-ÉǦ ´Ç¨8§M¯ µ»¯¿´Óñ £·Å Àf¦»´3®8¨8§M¯ µ»¯¿´3®Ú É5⺬ ©Âä¹Á%©«ªÂ´%¨8§©«ª­§Pñ$£·ÅXɦ»´3®8¨O§¯ µ»¯¿´3®Aâ ÉÈÓ~º¬ ©Âä¹Á%©«ªÂ´%¨8§©«ª­§Pñ$£·ñÏ£ÆÓU´¿¦ ºÁ%¦»´Ý B ´ C¦ ´<°²Î¬ ³´%³µ¡¦·µ ¯¿´¯¯%§ $Á3§A®æ§P´3¯%¬ °«ª­§©/ª­¬ ¯¿´3®8¦»´3®K¨O§¯ µ»¯¿´3®M£ ³ C¦ ´<°²Î¬ ³´%³µ¡¦·µ ¯¿´¯¯%§ $Á3§-©3¬®Â§P´¯%¬ °«ª­§È©µ©3Ò Á%©´£ º \¦ ´®K°²Y¬ ³´¿³µ¦·µ»¯¿´3¯%§®¯%§ $Á3§A®Â§/´3¯%¬ °«ª­§©Ý$®$ ¶¬ ¦ ¬ÈÚ ®$ ¶¬ ¦ ¬ßâ $®$ ¶¬ ¦ ¬ìÓs£ ¯ C¦ ´<°²Î¬ ³´%³µ¡¦·µ ¯¿´¯¯%§ $Á3§A®æ§P´3¯%¬ °«ª­§âÉ©3¬5Ós£ § ~ï´Ç°²Y¬ ³´%³µ¡¦Ðµ»¯¿´3¯<¯%§ $Á3§A®æ§/´3¯%¬ °«ª­§ò®$ ¶¬ ¦ ¬±Á%©´1¯%§-¦»´3®K¨8§M¯ µ»¯¿´3®£ Ë ï´Ç°²Y¬ ³´%³µ¡¦Ðµ»¯¿´3¯<¯%§ $Á3§A®æ§/´3¯%¬ °«ª­§A´¿¦ Ò Á%©´1¯%§-¦»´3®K¨O§¯ µ»¯¿´3®M£ B B B Wô cô B Q z|{ {32 s©A¯%§ª­§²¨Aµ¡©´3¯%¬<°²Y¬¯$Á3ºMª­¬ $Á¶¸·¨Pµ º¬<°%Á3§M¯%§8º¬ ©«ª­§©3§²@ÌÈ°²Î¬ ¯$Á3ºª­¬®^ª 3¶¬ ½¿µ»º¬®MÀÚkÀfâÉ1ÓÛÀ $Á3§8®Â¬ © ¨O¬ª¹µ Ã3¬?¯%§® ´%©3ºµ­ ¶¬ ©C°¬%²^§¦bîǵ¡©µ ®Âª­§²¾µ»¬ß¯%§CîX§M¯ µ»¬?Úo¨/³µ §©«ª­§£^Ô$¬%²j¦»´ì§½°§²¾µ §©3º3µÄ´¿À@®Â§<®æ´%³§ $Á3§ ¯%§Pº´3¯¿´ì¢«ñññìÁ%©µ»¯¿´3¯%§®ò°²Y¬¯$Á3ºµ»¯¿´3®O´¿°²Y¬½¿µ¡¨8´3¯¿´¿¨O§©«ª­§¢ÏȪ¹µ»§©3§©È§¦Æ°²Î¬ ¯$Á3ºª­¬5ÚkÀF¢«Õ§¦âÛÀ|Å ¢ §¦UÓÛÀÛ¢ñ5§¦|Úyɧ¦@âÛÀUÖ짦FâÞɧ¦UÓÛÀ:Õ5§¦|ÚyÉǧ¦UÓ ÉÇÖÕñ©3¬ìºM¬ ©«ª¹µ»§©3§©©µ©3Ò Á%©3¬ì¯%§5¦ ¬®8ªe²Y§M® °²Y¬¯$Á3ºMª­¬®M£ s©Çµ©3®°§ºMª­¬%²§¦Ðµ»Ò§-Á%©´ÇÁ%©µ ¯¿´¯<´¿¦´3Ü´²ê£ K³«ª­§©3§²Ý 7 t ´ ï´Ç°²Y¬ ³´%³µ¡¦Ðµ»¯¿´3¯<¯%§ ³ ï´Ç°²Y¬ ³´%³µ¡¦Ðµ»¯¿´3¯<¯%§ º ~ï´Ç°²Y¬ ³´%³µ¡¦Ðµ»¯¿´3¯<¯%§ ¯ ï´Ç°²Y¬ ³´%³µ¡¦Ðµ»¯¿´3¯<¯%§ § ~ï´Ç°²Y¬ ³´%³µ¡¦Ðµ»¯¿´3¯<¯%§ Ë ï´Ç°²Y¬ ³´%³µ¡¦Ðµ»¯¿´3¯<¯%§ Ò ï´Ç°²Y¬ ³´%³µ¡¦Ðµ»¯¿´3¯<¯%§ ¼ Q | $Á3§-¦»´X§¨/°²Y§M® ´-®Â§´X®æ´¿©3º3µ»¬ ©´3¯¿´ £ $Á3§A®$ ¶¬ ¦ ¬®æ§A§©3ºÁ3§©«ªe²Î§1§¦°²Y¬¯$Á3ºMª­¬Ú£ $Á3§A®æ§P¯%§Mª­§MºMª­§©-Ú É<âs£ $Á3§A®æ§P¯%§Mª­§MºMª­§PÚ É©3¬ìÓs£ $Á3§A®æ§P¯%§Mª­§MºMª­§©-Ú É<â~É©3¬5Ós£ $Á3§A®æ§P¯%§Mª­§MºMª­§/´Ç¦ ¬®Á%¨8¬ìÁ%©3¬¯%§È¦ ¬®oªe²Î§®ò°²Î¬ ¯$Á3ºª­¬®M£ $Á3§A®æ§P¯%§Mª­§MºMª­§È¨3¶´ ®¯%§-Á%©Ç°²Y¬¯$Á3ºMª­¬$£