Ejercicio 1. Enunciar y demostrar el Teorema de Rolle

EXAMEN PARCIAL. PRIMERO DE FÍSICAS. 27 − 11 − 98
Ejercicio 1.
Enunciar y demostrar el Teorema de Rolle. Interpretación geométrica.
¿Podemos
aplicar el Teorema de Rolle a la función
p
3
f (x) = (x − 2)2 en el segmento [0, 4]?
Aplicando el Teorema de Rolle demuéstrese que
x2 = xcosx − sin x
se verifica sólo para un valor de x.
Ejercicio 2. Se considera la función
½ 2
¡ ¢
x sin x1 ,
f (x) =
0,
si x 6= 0
si x = 0.
Se pide estudiar:
Continuidad de la función f .
Derivabilidad de la función f .
Analı́cese la continuidad de f 0 . ¿Qué puede concluirse con este
análisis acerca de f 00 (0)?
Ejercicio 3. Se considera la función f (x) = x2 e−x , ∀x ∈ IR.
Describir la función: continuidad, derivabilidad, simetrı́as, periocidad, intervalos de crecimiento, decrecimiento, máximos y
mı́nimos relativos, intervalos de concavidad y convexidad, puntos de inflexión, ası́ntotas, cortes con los ejes.
Representarla gráficamente.
¿La función alcanza en algún punto su valor máximo ó mı́nimo
absoluto?
Escribir el desarrollo de Taylor de grado 4 de g(x) = ex alrededor
del punto x = 0. Averiguar qué error cometemos al suponer
1
1
1
e=2+ + +
2! 3! 4!
1