Átomos hidrogenoides Capítulo 3. Átomos Hidrogenoides. Objetivos: •Introducción del concepto de orbital atómico •Descripción de los números cuánticos en los orbitales atómicos •Justificación cualitativa de la cuantización de los observables en los átomos hidrogenoides: energía, momento angular orbital, componentes del momento angular orbital •Descripción de las características de los orbitales s,p y d: tamaño y forma de los orbitales •Introducción del momento angular de espín: función espínorbital electrónica *algunas de las figuras que se insertan en este documento corresponden al texto Atkins’ Physical Chemistry (Oxford University Press, 2003) y a Química General de Petrucci et al. (Prentice Hall, 2002) 4802. J. Donoso-2008-2009 Átomos hidrogenoides Átomos Hidrogenoides: H, He+, Li2+, Be3+,... z θ Ze+ r x La Ecuación de Schrödinger: ∂2 ⎞ ^ ∂2 h2 ⎛ ∂ 2 ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ = T − ∂z ⎠ 2m ⎝ ∂x ∂y e- φ ^H Ψ = E Ψ Ze 2 ^ V =− 4πεοr x2 + y2 + z 2 = r 2 y Coordenadas esféricas polares z = r cos θ x = rsenθ cos φ y = rsenθsenφ Ψ(x,y,z) Ψ(r,θ,φ) Las soluciones de la Ecuación de Schrödinger, funciones propias, son los ORBITALES ATÓMICOS, Ψ(r,θ,φ) 4802. J. Donoso-2008-2009 Átomos hidrogenoides La función de onda: orbital atómico Ψ(r,θ,φ) = R(r) Θ(θ) Φ(φ) = R(r) Y(θ,φ) R(r); Función de onda Radial (determina el tamaño del orbital) |Ψ|2 dτ = |Ψ|2 r2 senθ dr dθ dφ Probaliblidad de encontrar al electrón en un elemento diferencial de volumen Y(θ,φ) Función de onda Angular o Armónicos esféricos (determina la forma del orbital) La Energía La solución de la Ecuación de Schrödinger, para cada función propia, valor propio, es la ENERGIA del ORBITAL ATÓMICO me 4 Z 2 E=− 2 2 2 8h ε 0 n 4802. J. Donoso-2008-2009 n = 1,2,3,...∞, Número cuántico principal (idéntica a la obtenida en el modelo de Bohr) Átomos hidrogenoides El Momento Angular Orbital, L z L r en mecánica clásica : L = r x mv (Puede tener cualquier valor) en mecánica cuántica: mv x y L = l (l + 1)h (el módulo está cuantizado) l = 0, 1, 2,...n-1 Número cuántico azimutal Componentes del Momento Angular Orbital L = Lxi+ Lyj+ Lzk z en mecánica cuántica : Lz = mh Lz (El valor de las componentes está cuantizado m = 0, ±1, ±2, ±3, ... ±l Número cuántico magnético 4802. J. Donoso-2008-2009 Lx x L Ly y Átomos hidrogenoides La forma analítica de la función de onda del electrón en un átomo, orbital atómico, depende de los números cuánticos n, l, m Ψ(r,θ,φ)= Rn,l(r) Yl,m(θ,φ) Nombre de los orbitales atómicos: l 0 1 2 3 4 nombre s p d f g Todos los OA que tienen el mismo número cuántico n forman una capa electrónica Dentro de una capa electrónica, todos los OA que tienen el mismo número cuántico l, forman un subnivel o subcapa Todos los OA que tienen el mismo número cuántico n tienen la misma energía y son degenerados 4802. J. Donoso-2008-2009 Átomos hidrogenoides ORBITALES ATOMICOS HIDROGENOIDES Estados de energía, capas y subcapas electrónicas Números cuánticos n, Capa l, subcapa m 1 (K) 0 0 0 0 1 2 (L) 1 0 -1 0 0 1 1 0 -1 3 (M) -2 -1 2 0 1 2 Orbital Atómico subcapa 1s 2s 2p Estados degenerados 3s 3p Estados degenerados 3d Continuación..... 4802. J. Donoso-2008-2009 Átomos hidrogenoides ORBITALES ATOMICOS HIDROGENOIDES Estados de energía, capas y subcapas electrónicas Números cuánticos n, Capa l, subcapa m 0 0 1 1 0 -1 -2 -1 2 0 4 (N) 1 2 -3 -2 -1 3 0 1 2 3 4802. J. Donoso-2008-2009 Orbital Atómico subcapa 4s 4p 4d 4f Estados degenerados Átomos hidrogenoides Representación gráfica de los OA ¿Qué expresión analítica tienen los OA? ¿cómo representaremos gráficamente los OA? Orbitales de tipo s (simetría esférica) R1, 0 ⎛Z = 2⎜⎜ ⎝ a0 ⎞ ⎟⎟ ⎠ 3/ 2 e − Zr / a0 Función radial ⎛ 1 ⎞ Y0, 0 (s ) = ⎜ ⎟ ⎝ 4π ⎠ Función angular Ψ1s2 4802. J. Donoso-2008-2009 1/ 2 1/ 2 ⎛Z ⎞ Ψ (1s ) = ⎜⎜ 3 ⎟⎟ e − Zr / a0 ⎝ πa0 ⎠ 3 Función total P = 4πr 2 Ψ12s Significado de la función de densidad, Ψ2 (izquierda), su variación con r en un orbital 1s; y de la función de distribución radial, r2R2 (derecha) Z=1, átomo de hidrógeno Radio de máxima probabilidad = a0 Átomos hidrogenoides R2 , 0 R3 , 0 Orbitales de tipo s (simetría esférica) 1 ⎛Z ⎜⎜ = 2 ⎝ a0 2 ⎛Z ⎜⎜ = 3 3 ⎝ a0 ⎞ ⎟⎟ ⎠ 3/ 2 ⎞ ⎟⎟ ⎠ 3/ 2 ⎛ Zr ⎜⎜1 − ⎝ 2a 0 ⎞ − Zr / 2 a0 ⎟⎟e ⎠ ⎛ 2 Zr 2 Z 2 r 2 ⎜⎜1 − + 2 3 a 27 a 0 0 ⎝ Función radial ⎞ − Zr / 3a0 ⎟⎟e ⎠ Radio de las esferas nodales ⎛ 1 ⎞ Ψ (2 s ) = R2, 0 ⎜ ⎟ 4 π ⎠ ⎝ 1/ 2 1/ 2 ⎛ 1 ⎞ Ψ (3s ) = R3, 0 ⎜ ⎟ ⎝ 4π ⎠ Función Total 1s 2s 3s Zr/a0 Esferas nodales en los orbitales 2s y 3s 4802. J. Donoso-2008-2009 Comparación de las funciones de distribución radial de los orbitales 1s, 2s y 3s (posición relativa, penetración) Átomos hidrogenoides - Orbitales de tipo s (simetría esférica) Esfera dentro de la que la probabilidad de encontrar al electrón es del 90% La intensidad del color es proporcional a la densidad de probabilidad de encontrar al electrón Comparación de las densidades electrónicas en un orbital 1s y otro 2s 4802. J. Donoso-2008-2009 Esfera nodal Átomos hidrogenoides - Orbitales de tipo p (1 plano nodal) –Tamaño y penetración- R2,1 = 1 ⎛Z ⎜⎜ 2 6 ⎝ a0 ⎞ ⎟⎟ ⎠ 5/ 2 8 ⎛Z⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ R3,1 = 27 6 ⎝ a0 ⎠ re − Zr / 2 a0 3/ 2 ⎛ Zr Z 2 r 2 ⎞ − Zr / 3a0 ⎟e ⎜⎜ − 2 ⎟ ⎝ a0 6 a0 ⎠ Función radial 2p Función radial 3p Esfera nodal 4802. J. Donoso-2008-2009 Átomos hidrogenoides - Orbitales de tipo p (1 plano nodal) –Tamaño- r 2 R 2 (2 p ) r 2 R 2 (3 p ) Zr/a0 Radios de máxima probabilidad 4802. J. Donoso-2008-2009 Átomos hidrogenoides - Orbitales de tipo p (1 plano nodal) – Forma ⎛ 3 ⎞ Y1, ±1 ( p x ) = ⎜ ⎟ 4 π ⎝ ⎠ ⎛ 3 ⎞ Y1, 0 ( p z ) = ⎜ ⎟ 4 π ⎝ ⎠ 1/ 2 senθ cos ϕ 1/ 2 cos θ Ψ (2 p z ) = R2,1Y ( p z ) Ψ (2 p x ) = R2,1Y ( p x ) Ψ (2 p y ) = R2,1Y ( p y ) 4802. J. Donoso-2008-2009 ⎛ 3 ⎞ Y1, ±1 ( p y ) = ⎜ ⎟ ⎝ 4π ⎠ 1/ 2 senθsenϕ Átomos hidrogenoides - Orbitales de tipo d (2 planos nodales) R3, 2 = ⎛Z ⎜⎜ 81 30 ⎝ a 0 4 ⎞ ⎟⎟ ⎠ 7/2 r 2 e − Zr / 3a0 Funciones angulares 3d ⎛ 5 ⎞ Y3, 0 (d z 2 ) = ⎜ ⎟ ⎝ 4π ⎠ 1/ 2 (3 cos 2 θ − 1) 1/ 2 ⎛ 10 ⎞ Y3, ±1 (d xz ) = ⎜ ⎟ (senθ cos θ cos ϕ ) ⎝ 4π ⎠ 1/ 2 10 ⎛ ⎞ Y3, ±1 (d yz ) = ⎜ ⎟ (senθ cos θsenϕ ) ⎝ 4π ⎠ ( Y3, ±2 d x 2 − y 2 Función radial 3d 4802. J. Donoso-2008-2009 ) ⎛ 5 ⎞ =⎜ ⎟ 4 π ⎝ ⎠ ⎛ 5 ⎞ Y3, ±2 (d xy ) = ⎜ ⎟ ⎝ 4π ⎠ 1/ 2 1/ 2 (sen θ cos 2ϕ ) 2 (sen θsen2ϕ ) 2 Átomos hidrogenoides - Orbitales de tipo d (2 planos nodales) 4802. J. Donoso-2008-2009 Átomos hidrogenoides Comparación de la función de onda de los orbitales s, p, d... : Cerca del núcleo los orbitales, •p son proporcionales a r •d son proporcionales a r 2 •f son proporcionales a r 3 Los electrones son progresivamente excluidos de las cercanías del núcleo a medida que aumenta su momento angular orbital. Solo los orbitales s tienen un valor finito no nulo en el núcleo. Galería de Orbitales Atómicos en la Universidad de Shefield: http://www.shef.ac.uk/chemistry/orbitron/ 4802. J. Donoso-2008-2009 Átomos hidrogenoides Momento Angular de Espín, S El espín es un momento angular intrínseco, propio y característico de cada partícula que no tienen una imagen clásica (Puede explicarse a partir de la Mecánica Cuántica Relativista (Dirac)) |S| = √s(s+1) h ; Para el electrón s=1/2 Sz = msh ; ms=±1/2 Cuarto número cuántico: ms ms=+1/2 estado α ms= -1/2 estado β Símil de los estados α y β del electrón 4802. J. Donoso-2008-2009 Experimento de Stern-Gerlach. Al pasar a través de un campo magnético inhomogéneo los átomos de hidrógeno en el estado fundamental se orientan (responden al campo) de dos formas, con igual valor del momento y signo contrario. El momento magnético solo puede venir del espín, ya que l=0 Átomos hidrogenoides El momento angular de espín del electrón: Afecta a la energía total del estado electrónico atómico, lo que se refleja en el espectro del átomo (desdoblamiento de las líneas espectrales). Es crucial para entender la estructura y distribución electrónica en los átomos polielectrónicos. La función Orbital-Espín La función de onda total del electrón debe tener en cuenta tanto la contribución espacial como la de espín Función Orbital-Espín = Función Orbital (n,l,m).Función Espín (ms) Bibliografía Química General.Vol 1. Enlace Químico y Estructura de la Materia. 8ª Ed. R.H. PETRUCCI, W.S. HARWOOD, F.G. HERRING. Prentice Hall. Madrid. 2002 Química y Reactividad Química. 5ª ed. J. C. KOTZ, P.M. TREICHEL. Ed. Paraninfo-Thomson Learning. Madrid. 2003 Fisicoquímica, I. N. LEVINE, 4a edición, Ed. Mc Graw Hill, 1996 4802. J. Donoso-2008-2009