Circuitos-LRC-n - Departamento de Física

Universidad de Chile
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Departamento de Física
Laboratorio de Física II FI-35 A
Guía Nº 14
El circuito LRC en serie.
Objetivos
- Análisis de un circuito LRC en serie.
- Introducción al concepto de resonancia.
Introducción
I.- El circuito LC.
Éste circuito consiste en una inductancia (L) y un condensador (C). Si planteamos la ley de Kirchoff
para los voltajes obtenemos inmediatamente la ecuación diferencial que rige
el sistema.
Fig. 1: Circuito LC
VC + VL = 0
Q
dI
Q
d 2Q
⇒ +L =0⇔ +L 2 =0
C
dt
C
dt
2
1
d Q
Q
⇔ 2 =−
dt
LC
⇒ Q = Q0 cos(ωt + φ )
con
ω2 =
1
LC
O sea, el sistema es un oscilador, transfiriendo energía desde el campo eléctrico del condensador, hasta
el campo magnético de la inductancia y viceversa. Estas oscilaciones no se terminan, y su frecuencia de
oscilación ω se conoce como frecuencia natural del circuito (ω0).
II.- El circuito RLC y el factor de calidad.
Fig. 2: Oscilaciones amortiguadas.
Si al circuito anterior le agregamos una resistencia en
serie formamos un RLC. En este caso, la resistencia hace que la
energía del circuito se pierda como calor. Como consecuencia de
esto, las oscilaciones se amortiguan (fig. 2).
Si consideramos “E” como la energía total y “∆E” la
perdida de energía por ciclo, definimos el “factor de calidad Q”
como:
Q ≡ 2π ⋅
E
∆E
[1]
O sea, en un circuito donde las perdidas de energía sean
pequeñas, se puede considerar como de alta calidad.
1
III. El circuito RLC y la alimentación alterna.
Cuando se excita por una fuente de voltaje alterno, un circuito LRC se comporta como una combinación
de circuitos RC y LR. La magnitud de la impedancia total es:
Z = R 2 + (ωL − 1 / ωC ) 2
[2]
A frecuencias bajas el circuito de comporta como RC, y a frecuencias altas, como RL.
Por otra parte, para frecuencias cercanas a la frecuencia natural del circuito LC, las contribuciones de la
inductancia y del condensador a la impedancia total (ecuación [2])
se cancelan y la corriente queda limitada solo por la resistencia R: la
corriente es I = ε/R. Si R es suficientemente pequeña, la corriente
puede ser muy grande en un intervalo estrecho de frecuencias
cercanas a ω0. Este fenómeno se llama resonancia (fig 3).
El voltaje a través de la inductancia a la frecuencia ω0 es:
ω L 
VL = I ⋅ Z L = I ⋅ ω 0 L = ε ⋅  0 
 R 
[4]
[3]
El voltaje a traves del condensador, VC, tiene la misma
magnilud que VL pero fase opuesta, de manera que se cancelan.
Cuando R es pequeña (R << ω0 L), los voltajes VL y VC
pueden ser mucho más grandes que el voltaje de la fuente, ε. La razón de voltajes |VL| / |ε| es una medida de la
“calidad” del circuito resonante. Vemos de la ecuación [3] que es igual a ω0L/R. Esto nos entrega otra forma de
calcular el "factor de calidad" Q definido en la ecuación [1]:
Q=ω0L/R
[4]
IV.- La respuesta transiente de un circuito RLC.
Cuando se aplica bruscamente un voltaje al circuito LRC, hay tres posibilidades dependiendo de la
cantidad de resistencia en el circuito. Definamos una resistencia crítica:
RCrítica ≡ 2
L
= RC
C
[5]
consideramos los tres casos de R < RC, R = RC y R > RC.
Oscilaciones amortiguadas. Para R < RC :
I(t)= Ioe -t/τ eiωt
La corriente en el circuito oscila sinusoidalmente con una amplitud que dismlnuye (ver Fig 3)con un
tiempo característico τ:
τ = 2L/R
[6]
Para el circuito LC ideal, R Æ 0 y τ Æ ∞ : el circuito oscila indefinidamente a su frecuencia natural ω0.
El parámetro τ está relacionado con Q por :
Q = τω0 / 2
[7]
Amortiguamiento crítico: La resistencia R = RC es suficiente para impedir las oscilaciones. La corriente
decrece exponencialmente.
Sobreamortiguamiento: Para R > RC la corriente también decae exponencialmente, pero más lentamente que
cuando R=RC.
2
V.- El estado estacionario.
Cuando el circuito está excitado por un voltaje sinusoidal ε, la magnitud de la corriente en estado estacionario
es | I | = | ε/Z | donde la impedancia total está dada por la ecuación [2]. Ésta pasa por un mínimo cuando se
alcanza la frecuencia natural ω0. Reemplazando este valor en la impedancia total, podemos obtener la siguiente
expresión para la corriente:
I (ω ) =
ε
2
(
 L
R 2 +   ω 2 − ω 02
ω 
)
2
Esta expresión tiene un máximo en ω = ω0 que es la corriente de resonancia. En perfecta analogía con un
oscilador armónico forzado, la resonancia ocurre cuando el circuito se excita por una fuente de voltaje alterna a
la frecuencia natural de oscilación.
La agudeza de la resonancia tiene interés. Cuando R es pequeña, el máximo es agudo. Con valores
mayores de R, el máximo es más ancho.
Para R fija, a los dos valores de ω en que |ωL- 1/ωC| = R, la corriente I(ω) decrece en el factor 1/√ 2
desde su valor máximo I(ω0). Definiendo esas frecuencias como ω0 ± ∆ω (ver figura 4) encontramos que ∆ω es
aproximadamente:
∆ω ≈
R
2L
El ancho de la curva de resonancia está relacionado con
los parámetros previamente definidos para definir las oscilaciones
amortiguadas.
Si notamos que:
∆ω =
1
τ
y
Q=
ω0
2∆ω
[8]
vemos que hay un estrecho puente entre la resonancia y las oscilaciones amortiguadas que ocurren en la
respuesta transiente del circuito.
Parte Experimental
Parte A: Respuesta transiente de un circuito LRC
En esta parte estudiaremos las oscilaciones naturales del circuito y los amortiguamientos.
Fig. 5: Montaje A1
MONTAJE A1
Conecte el circuito de la figura 5, en donde C = 3300 pF, L = 22 mH, R
representa la suma de la resistencia de la bobina y la interna de la
fuente (50 Ω), y el sinusoide dentro del círculo representa el generador
de ondas.
MEDIDA A1
Con el generador entregue una onda cuadrada de 200 Hz y 2 VPP. El
canal 2 del osciloscopio se utiliza para observar el voltaje sobre el
condensador, VC. Cuando se conecta el osciloscopio a este circuito, se
afecta su funcionamiento. Para disminuir este efecto, se debe aumentar
la impedancia de entrada del osciloscopio, colocando la punta de
prueba del osciloscopio en 10X en vez de 1X.
Observe ambos canales en el osciloscopio, de manera cualitativa primero (unos 4 ciclos de señal cuadrada).
Posteriormente, mejore la observación sobre las oscilaciones, midiendo la amplitud (sobre el centro de
oscilación) y periodo sobre los primeros 6 picos. Anótelos en una tabla.
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ANÁLISIS A1
La amplitud del n-ésimo pico está dada por Vn= Vn-1 e-T/τ , donde “Vn-1“ es la amplitud del pico anterior, “T” es el
periodo de oscilación y “τ” es el tiempo característico de decaimiento De esta relación y sus medidas obtenga el
valor de τ. Luego, compare con el valor esperado de la ecuación [6], puede encontrar diferencias de hasta un
30%.
Calcule la frecuencia angular ω de su medida de T y encuentre el factor de calidad por la relación Q = ωτ/2.
MONTAJE A2
El mismo de A1, pero agregue una resistencia variable (potenciómetro) de 10 kΩ, en la posición indicada por
“R”.
MEDIDA A2
Comience con una R = 0 , y a continuación auméntela, observando en el osciloscopio el efecto de aumentar la
resistencia. Fíjese en el cambio de la amplitud y longitud del tren de oscilaciones. El amortiguamiento crítico se
alcanza cuando no hay más oscilaciones. Continúe aumentando la resistencia más allá del punto de
amortiguamiento crítico y observe el efecto de sobreamortiguamiento. Luego, vuelva al punto de
amortiguamiento crítico, desconecte la resistencia del circuito, y mídala.
ANÁLISIS A2
Describa sus observaciones ¿Qué sucede cuando R > Rcrítica ? Compare su valor experimental ( recordando
siempre incluir la resistencia interna del generador de funciones y RL ), con el valor esperado a partir de la
ecuación [5]. El error esperado es a lo más de un 30%, todo depende del cuidado con el cual realice sus
mediciones. Recuerde que el valor de C puede ser medido con el multímetro, la frecuencia de resonancia con el
osciloscopio y así podemos determinar un mejor valor para L, en lugar de sólo usar los valores nominales.
Parte B: Resonancia de un circuito LRC
MONTAJE B
El mismo de A1 (sin el potenciómetro).
MEDIDA B
Ajuste el generador de ondas para entregar un voltaje sinusoidal de 2 Vpp. Explore el rango de frecuencias entre
10 kHz y 20 kHz, observando el voltaje a través del condensador, Vc, con el osciloscopio.
Ubique ω0 que es la frecuencia a la que Vc pasa por el máximo, déjelo en esta frecuencia y mídala.
Luego variando sólo la frecuencia, encuentre los valores de ∆ω, o sea, las variaciones de frecuencia donde la
amplitud del voltaje disminuye a V/√2 (recuerde figura 4).
Note que el pico de resonancia no es exactamente simétrico, entonces los dos valores de ∆ω, pueden ser
diferentes. Además, mida la amplitud de ε (el voltaje suministrado por el generador de funciones) a la frecuencia
de resonancia.
ANÁLISIS B
Usando el promedio de las dos medidas de ∆ω, compare sus medidas de ω0 y ∆ω
con los valores esperados basados en:
1) para ω0, los valores nominales y los medidos de L y C.
2) para ∆ω, la medida de τ de la Parte A1 (ecuación [8] ).
Calcule el factor de calidad con la ecuación [8] y la ecuación [4].
Compare estos valores de Q con su valor de la Parte A1 basado en el decaimiento de las oscilaciones.
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