Análisis Transitorio

Equipo Docente de Fundamentos Físicos de la Informática. Dpto.I.I.E.C.-U.N.E.D.
Curso 2001/2002.
TEMA 11. FENÓMENOS TRANSITORIOS.
11 Fenómenos transitorios. Introducción.
11.1. Evolución temporal del estado de un circuito.
11.2. Circuitos de primer y segundo orden.
11.3. Circuitos RL y RC en régimen transitorio. Aplicaciones y ejemplos.
11.3.1. Circuitos sin fuentes de excitación y condiciones iniciales no nulas..
11.3.2. Circuitos con fuentes de excitación y condiciones iniciales nulas.
11.3.3. Circuitos con fuentes de excitación y condiciones iniciales no nulas.
11. Fenómenos transitorios. Introducción.
En este tema se va abordar el estudio de la evolución de una magnitud eléctrica a lo largo del
tiempo. Anteriormente se había estudiado el comportamiento de las magnitudes eléctricas en
circuitos de corriente continua pero sin tener en cuenta el momento de la conexión de la fuente, o
fuentes, al resto del circuito, es decir, partiendo del supuesto de que el circuito, que por ejemplo en
su momento analizamos por mallas, está conectado a sus fuentes desde un tiempo suficiente como
para que no se produzcan cambios en el tiempo de los valores de las magnitudes del circuito.
11.1. Evolución temporal del estado de un circuito.
Un circuito eléctrico o electrónico debe conectarse en un momento dado a las fuentes para
que le suministren la energía necesaria para su funcionamiento. Si el circuito posee elementos
almacenadores de energía (condensadores e inductancias) es probable que durante un cierto espacio
de tiempo la magnitudes eléctricas de dicho circuito varíen de una forma muy acusada hasta
estabilizarse en unos valores que luego se mantendrán durante el resto del tiempo. Ese intervalo de
tiempo antes de alcanzar la estabilización se denomina régimen transitorio. El tiempo restante
caracterizado por una cierta estabilidad se denomina régimen permanente o estacionario.
Ejemplo 11.1. Aunque se estudiará con mayor detalle posteriormente, considérese el
circuito de la figura 11.1 formado por una fuente ideal de tensión de 12V, un interruptor INT, dos
resistencias iguales (R1, R2) de 1kΩ cada una y un condensador de 1µF, y donde todos los
elementos se encuentran en serie a excepción del condensador que está en paralelo con R2. En el
instante t=0s se cierra el interruptor y suponiendo que el condensador está inicialmente descargado,
la tensión entre los extremos del mismo es nula. Al cabo de cierto tiempo la tensión entre los
Figura 11.1
terminales de R2 es la misma que habría si no existiese el condensador y permanecerá así mientras
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no se abra el interruptor. En el instante t en el que las tensiones en los diferentes puntos del circuito
se puede considerar que dejan de variar se dice que se ha alcanzado el régimen estacionario o
permanente, hasta ese instante se dice que el circuito se encuentra en régimen transitorio.
Ejemplo 11.2. Supóngase el circuito del ejemplo anterior pero sin condensador. En este caso
el régimen permanente se alcanzará en el mismo instante de cerrar el interruptor, es decir, en este
circuito no existe régimen transitorio pues carece de elementos almacenadores de energía.
Algunos circuitos trabajan fundamentalmente como una sucesión de transiciones entre dos
situaciones o régimenes permanentes. Ese es el caso, por ejemplo, de muchos circuitos digitales que
funcionan conmutando la tensión de su salida entre 0V y 5V, y en lo cuales interesa que dichas
conmutaciones sean lo más rápidas posibles. Para lograrlo parece lógico diseñarlos sin elementos
almacenadores de energía, sin embargo ocurre que esto es totalmente imposible y lo más que se
puede hacer es intentar minimizar su tamaño al máximo. Así un circuito realizado físicamente sobre
un circuito impreso (soporte físico sobre el que se disponen los componentes eléctricos y
electrónicos así como las conexiones de cobre o “pistas”) siempre presenta capacidades e
inductancias originadas por la propia disposición espacial de los conductores o pistas. A estas
capacidades e inductancias se les añade el calificativo de parásitas pues no son deseadas en el
diseño y que, a lo sumo, se pueden reducir mediante un elaboradísimo diseño del trazado de las
pistas. Estos elementos almacenadores de energía producirán retrasos en las conmutaciones que,
junto a otros problemas, limitan la velocidad de funcionamiento de dicho circuito.
El análisis cuantitativo de los fenómenos transitorios es complejo y comienza por la
obtención de una representación matemática de dicho fenómeno. Dicha representación conduce a
ecuaciones o sistemas de ecuaciones que contienen, además de variables de corriente y tensión,
integrales y derivadas con respecto al tiempo de estas mismas variables. Por lo tanto, para estudiar
cuantitativamente cualquiera de estos circuitos sería preciso que el alumno conociera la teoría
matemática de las ecuaciones diferenciales. Por esta razón, en este curso, solamente se abordarán
cierto tipo de circuitos que pueden ser estudiados sin un conocimiento profundo de dicha teoría.
La resolución de la representación matemática de la evolución del circuito conduce a la
obtención de funciones temporales que representan a las corrientes y tensiones en los diferentes
puntos del mismo.
11.2. Circuitos de primer y segundo orden.
Como se ha comentado anteriormente, el estudio de los fenómenos transitorios se inicia
obteniendo una representación matemática de dicho circuito. Si el circuito contiene elementos
almacenadores de energía entonces el valor de cada magnitud eléctrica en un instante cualquiera, t,
dependerá de lo que ocurre en los otros puntos de ese circuito en ese instante t así como de lo que ha
sucedido anteriormente en los elementos almacenadores de energía.
Ese comportamiento que dota de cierta “memoria” al circuito se debe a las siguientes
relaciones existentes entre tensión y corriente en cada elemento almacenador.
En un condensador de capacidad C se sabe que su carga y la
tensión entre sus extremos se relacionan por
QC = C uC,
(11.1.)
pero si se tiene en cuenta que estas magnitudes pueden variar con el tiempo
es más apropiado escribir
Figura 11.2
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QC (t) = C uC(t),
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(11.2.)
y teniendo en cuenta la conocida ecuación
iC (t) =
d(Q C(t))
dt
(11.3.)
se llega a
1
(11.4.)
∫ iC (t ) dt
C
siendo la carga almacenada en el condensador igual al término integral de la ecuación y la
responsable de que la tensión instantánea dependa de lo que haya sucedido anteriormente con la
corriente que recorre dicho condensador.
uC ( t ) =
En una inductancia con coeficiente de autoinducción no variable y de
valor L, la relación existente entre tensión y corriente se deduce de tener en
cuenta la definición de inductancia
L = N
Figura 11.3
F m(t)
,
iL(t)
(11.5.)
donde Φm(t) es el flujo magnético a través de cada espira de la bobina o
inductancia, y de la aplicación de la ley de Faraday,
uL (t) = N
dF (t )
d(t)
(11.6.)
obteniéndose
uL (t) =
dLiL(t) LdiL(t)
=
d(t)
d(t)
(11.7.)
Si se construye ahora un circuito con cualquiera de estos componentes y una resistencia, se
dice que el circuito es un circuito lineal de primer orden. En las figuras 11.4 se representan dos
circuitos que responden a estas características. El primero es un circuito RC paralelo pero
alimentado por una fuente de intensidad o corriente en paralelo lo que es equivalente a (equivalente
Thevenin de la fuente de intensidad o corriente en paralelo con la resistencia) a un circuito RC serie.
El segundo circuito es un circuito RL serie alimentado por una fuente de tensión en serie.
Figura 11.4
Considérese, por ejemplo, el circuito de la figura 11.4.a.
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Aplicando la primera ley de Kirchhoff al nudo A se tiene:
iC (t) + iR (t) = i(t)
(11.8.)
y sustituyendo en función de uC y dividiendo por C:
duC 1
1
+
uC = i (t )
dt RC
C
(11.9.)
Si en lugar de tomar como variable la tensión en el condensador se hubiese elegido la
intensidad en el mismo o en la resistencia, también se llegaría a una ecuación diferencial similar a la
ecuación 11.9. Por ejemplo, expresando que la tensión en C y en R es la misma y siendo uC(0) la
tensión en el condensador para t=0s, resulta la ec. 11.10 y derivando con respecto a t y ordenando se
obtiene finalmente la ec. 11.11.
uC ( 0) +
1 t
iC ( z ) dz = R [i (t ) − iC (t )]
C ∫0
diC 1
di
+
iC =
dt RC
dt
(11.10.)
(11.11.)
Estas representaciones matemáticas de un circuito se denominan ecuaciones diferenciales
pues contienen en la misma ecuación una variable, uC por ejemplo, y su derivada. Como la derivada
contenida es de primer orden la ecuación se denomina de primer orden. Cuando el circuito es del
tipo RC o RL la ecuación diferencial resultante es de primer orden. Si el circuito fuese del tipo RLC
o sea, con esos elementos en serie, entonces la representación matemática resultante contendría una
variable, su derivada primera y su derivada segunda. A este último tipo de ecuaciones y a los
circuitos que las originan se les denomina de segundo orden. Nuestro estudio se va a restringir al
estudio de los circuitos de primer orden.
Análogamente al desarrollo obtenido para un circuito RC se puede proceder para el circuito
RL de la fig. 11.4.b se puede escribir:
uL (t) + uR (t) = e (t)
(11.12.)
y sustituyendo en función de iL y dividiendo por L:
diL R
1
+ iL = e(t ) .
dt L
L
(11.13.)
En general, puede afirmarse que todo circuito compuesto por un número cualquiera de
resistencias y fuentes independientes, pero que contenga un solo elemento almacenador de energía,
bobina o condensador, es un circuito de primer orden.
Para estudiar el comportamiento de un circuito a partir de un instante t=0s deberán
considerarse, además de su configuración, las condiciones iniciales del mismo, es decir, la carga
inicial del elemento almacenador de energía que interviene en el circuito.
Si el elemento almacenador de energía es un condensador, recuérdese que la tensión en
bornes de un condensador no puede variar bruscamente.
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En efecto, en un sistema físico ninguna variable puede ser infinita, y esto es lo que sucedería
con la intensidad de un condensador si su tensión variase bruscamente, al ser
du(t)
(11.14.)
dt
Para el caso de que el elemento almacenador de energía sea una bobina debe tenerse en
cuenta que la intensidad por una bobina no puede variar bruscamente.
iC (t) = C
En efecto, si la intensidad en la bobina variase bruscamente, la tensión debería hacerse
infinita, al ser
di(t)
(11.15.)
uL (t) = L
dt
11.3. Circuitos sin fuentes de excitación y condiciones iniciales no nulas.
En circuitos sin fuentes de excitación pueden existir corrientes y tensiones debido a la
energía almacenada en las inductancias o en los condensadores.
Se llamará “respuesta a entrada cero” a la obtenida en un circuito sobre el que no actúa ninguna
fuente independiente, estando únicamente sometido a la excitación debida a la carga inicial de sus
elementos almacenadores de energía.
Figura 11.5
Considérese el circuito de la figura 11.5.a. El interruptor S2 está abierto y mientras que S1
está cerrado, existiendo una tensión E en bornes del condensador. Si en el instante t = 0 se abre S1 y
se cierra S2, el condensador se descargará a través de la resistencia R, de acuerdo con el circuito de
la figura 11.5.b.
A partir de t=0s el comportamiento del circuito de la figura 11.5.b viene definido por:
u(t) = R i(t) para t≥0 y u(0)=E
Como para el condensador se cumple:
du(t)
iC (t) = − C
dt
las expresiones anteriores pueden escribirse
(11.16.)
(11.17.)
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du 1
+
u = 0 para t ≥ 0 y u (0) = E
dt RC
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(11.18.)
Si se hubiese tomado como variable la intensidad, al ser:
1 t
u (t ) = u(0) − ∫ i ( z ) dz
C 0
las dos expresiones de (11.16) quedarían en la forma:
1 t
Ri (t ) + ∫ i ( z ) dz = u (0) para t ≥ 0
C 0
u(0) = E
donde se pone de manifiesto, con claridad, la importancia de considerar el valor inicial de la tensión,
u(0). Si se deriva con respecto al tiempo queda:
di 1
+
i = 0 para t ≥ 0
dt RC
Para describir completamente el circuito es preciso especificar el valor inicial de i(t). A partir
de (11.16) se obtiene:
i ( 0) =
u ( 0) E
=
R
R
Nótese que las ecuaciones diferenciales en función de la tensión o de la intensidad son
idénticas, variando únicamente el valor inicial de la variable considerada. Ambas ecuaciones son
diferenciales, lineales, de primer orden y homogéneas. La solución general de la ecuación
diferencial (11.18) es:
−t
u(t ) = K 1 e RC
(11.19.)
El valor de la constante K1 se determina a partir de la condición inicial u(0) = E. Haciendo
t=0s en (11.19) resulta:
E = K1
con lo que la expresión de u(t) en el circuito estudiado es:
−t
u(t ) = E e RC para t ≥ 0
(11.20.)
análogamente se obtiene para la intensidad:
−t
E RC
e para t ≥ 0
R
En la figura 11.6 se representan las gráficas de ambas variables.
i(t ) =
(11.21.)
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Figura 11.6
El producto RC que caracteriza la respuesta exponencial de ambas variables tiene dimensión
de tiempo y recibe el nombre de “constante de tiempo del circuito”.
τ = RC
Si R viene dada en ohmios y C en faradios, τ viene expresado en segundos. La inversa de
dicho término tiene la dimensión de una frecuencia y se denomina “frecuencia natural del
circuito”.
El hecho de que se le llame “frecuencia” no debe inducir a confusión pensando que da lugar
a oscilaciones de tipo senoidal en la respuesta. Este nombre proviene de la dimensión del término.
En cuanto al calificativo de “natural” se debe al hecho de que caracteriza la respuesta del sistema
cuando no existen fuentes de excitación externas. Es decir, caracteriza la que podemos llamar
respuesta propia, libre o natural del circuito.
En este caso particular, la no existencia de fuentes de excitación implica el que, transcurrido
un tiempo infinito, todas las tensiones e intensidades son nulas. Esto es lógico, ya que la energía
almacenada inicialmente en el condensador acaba por disiparse totalmente en la resistencia.
El tiempo necesario para cualquier variable pase de su valor inicial a cero es infinito. Sin
embargo, transcurrido un tiempo τ se ha producido un 63,2 por 100 de esta variación, pasado un
tiempo 2τ el 86,5 por 100 y pasado un tiempo 3τ el 95 por 100. Es decir, cuanto menor es la
constante de tiempo, mayor es la rapidez con que el circuito tiende a su estado final, pudiendo
considerarse que se ha alcanzado dicho estado final al cabo de un tiempo igual a tres o cuatro veces
el valor de τ. Muchos autores prefieren valores más conservadores y consideran que el estado final
se alcanza después de un tiempo igual o superior a cinco veces la constante de tiempo, pero lo
verdaderamente importante es que esta constante es un buen referente de la rapidez de respuesta de
un circuito.
Para fijar ideas, considérese de nuevo el circuito de la figura 11.5, pero asignando los
siguientes valores a los diferentes componentes:
E = 100 V; R = 10 Ω; C = 20µF
De acuerdo con (11.20), la tensión en el condensador es:
u (t ) = 100 e
−t
0 , 0002
para t ≥ 0
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la constante de tiempo del circuito es:
τ = RC = 10⋅20⋅10-6 s = 2⋅10-4 s = 0,2 ms
mientras que la frecuencia natural del circuito resulta:
so = 1/RC = 5000 s-1
La tensión en el condensador al cabo de un tiempo τ es:
u(τ) = 100 e-5000⋅0,0002 = 36,788V
es decir, ha sufrido una variación del 63,2 %. Del mismo modo, al cabo de un tiempo 3τ la tensión
en el condensador es: u(3τ) = 100 e-3 = 4,98V y al cabo de un tiempo 4τ: u(4τ) = 100 / e4 = 1,83 V.
Es decir, al cabo de 4 ⋅ 0,2ms = 0,8 ms ya se ha producido un 98,17 por 100 de la variación total de
la tensión en el condensador.
Derivando la expresión (11.20) con respecto a t, y haciendo t = 0, se tiene la pendiente en el
origen de la tensión:
E
E
 du (t ) 
=−
 =−

RC
τ
 dt  t =0
es decir, la pendiente en el origen corta al eje de tiempos en el punto t = τ. Esto confirma la idea de
que cuanto menor es τ (mayor pendiente en el origen) mayor es la rapidez con la que el circuito
tiende a su estado final.
Por último, se hará notar que la respuesta del circuito a entrada cero es proporcional a la
carga inicial del elemento almacenador de energía. A partir de las expresiones (11.20) y (11.21) se
aprecia fácilmente que la tensión u y la intensidad i son proporcionales a la tensión inicial en el
condensador, E.
Los resultados obtenidos para el circuito RC de la figura 11.5 son aplicables a cualquier
circuito que contenga cualquier número de resistencias y un solo elemento almacenador de energía,
inicialmente cargado.
Nótese que, si existe un solo elemento almacenador de energía, la ecuación diferencial que
caracteriza el circuito es de primer orden, ya que ese elemento define una sola condición, su carga
inicial.
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Se resumen a continuación las propiedades más importantes de estos circuitos de primer
orden sin fuentes de excitación.
1) La respuesta a entrada cero viene definida por una ecuación diferencial lineal y
homogénea del tipo:
df 1
(11.22.)
+ f =0
dt τ
en donde f representa la tensión o intensidad en cualquier elemento del circuito, carga en el
condensador o flujo en la bobina, es decir, cualquier de las variables del circuito
considerado.
2) La solución de la ecuación (11.22) es:
f(t) = f(0) e- t/τ para t > 0
(11.23.)
en donde f(0) es el valor de la variable f para t = 0, que se determina a partir de las
condiciones iniciales.
3) De acuerdo con lo anterior, todas las variables del circuito vienen caracterizadas
por la misma variación de tipo exponencial, difiriendo unas de otras en su valor inicial.
4) El coeficiente 1/τ en la expresión exponencial es la llamada frecuencia natural
del circuito, que se expresa en s-1.
5) τ es la constante de tiempo del circuito que se expresa en segundos. Para un
circuito formado por una resistencia y un condensador se ha visto que dicha constante es: τ
= RC. Del mismo modo para un circuito formado por una resistencia y una bobina se verá
que dicha constante es L/R, siendo L la inductancia de la bobina.
6) Cuanto menor es la constante de tiempo del circuito, mayor es la velocidad con la
que las variables se aproximan a su estado final.
7) La respuesta del circuito es proporcional a la carga inicial del elemento
almacenador de energía.
Ejemplo 11.3. En el circuito de la figura 11.7 el interruptor S1 pasa a la posición b para t=0s,
y simultáneamente se cierra el interruptor S2. Calcular las expresiones de la tensión en la bobina y la
intensidad en la resistencia para t ≥ 0, así como la energía disipada en R desde t = 0 hasta t = ∞.
Figura 11.7
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La intensidad por la bobina, justo antes de efectuarse el cambio de posición de los
interruptores, es:
iL (t<0) = I
Dicha intensidad no variará bruscamente al cambiar los interruptores; luego:
iL (t<0) = iL (0) = I.
El circuito a estudiar se representa en la figura 11.8.
Figura 11.8
Las ecuaciones que definen este circuito son:
−L
di
= Ri para t ≥ 0 e i (0) = − I
dt
o bien
di R
+ i = 0 para t ≥ 0 e i (0) = − I
dt L
Comparando con la expresión (11.22) se tiene que la constante de tiempo para este circuito
es τ=L/R, pudiéndose escribir inmediatamente, para t≥0:
i (t ) = − I e
− Rt
L
y
u(t ) = − IR e
− Rt
L
La energía disipada en la resistencia desde t = 0 hasta t = ∞ es:
−2 Rt
∞
∞
1
2
W = ∫ u i dt = ∫ R I e L dt = LI 2
0
0
2
que coincide, como es lógico, con la energía almacenada en la bobina en el instante inicial.
La expresión (11.23) indica que, para calcular la respuesta de un circuito que contiene un
solo elemento almacenador de energía, y en el que no existen fuentes de excitación, basta conocer el
estado inicial de ese elemento y la constante de tiempo del circuito.
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La sustitución de dos o más elementos por su equivalente no variará la respuesta del circuito
y, por consiguiente, no influirá sobre su constante de tiempo. Por tanto, para calcular la constante de
tiempo de un circuito que contenga varias resistencias procederemos de la siguiente manera:
1) Se calcula la resistencia equivalente, Req, respecto de los bornes del elemento
almacenador de energía.
2) Si dicho elemento es un condensador de C faradios, la constante de tiempo del circuito es:
τ = Req C
3) Si dicho elemento es una bobina de L henrios, la constante de tiempo del circuito es:
τ = L/Req
Ejemplo 11.4. El condensador de la figura 11.9 tiene una carga inicial de 3 culombios. El
interruptor S se cierra para t = 0. Calcular la expresión de la intensidad por la resistencia de 3Ω para
t ≥ 0.
Figura 11.9
La tensión inicial en el condensador es:
u(t<0) = u(0) = q(0)/C = 3/0,005 = 600V
de donde:
3⋅ 6
3+ 6
u1(0) = 600
= 200V
3⋅ 6
4+
3+ 6
La resistencia equivalente, vista desde el condensador, es:
Re q = 4
3⋅ 6
= 6Ω
3+ 6
luego la constante de tiempo del circuito es:
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τ = Req C = 6 ⋅ 5 ⋅ l0-3 = 3 ⋅ 10-2 s
y de acuerdo con (11.23) se tiene:
−t
i1(t ) =
200 0,03s
e
3
Nótese que la tensión en el condensador no cambia al cerrar el interruptor, por lo que el
cálculo de las condiciones iniciales en la resistencia de 3Ω se ha hecho partiendo de que la tensión
inicial entre A y B es de 600 V, es decir, considerando al condensador como una fuente de tensión
ideal de valor igual a su tensión inicial.
Si se hubiese tratado de una bobina, ésta se comportaría inicialmente, con respecto al resto
del circuito, como una fuente de intensidad ideal de valor igual a la intensidad que recorre la bobina
en el instante inicial. Es decir:
1) Para el cálculo de valores iniciales en un circuito, un condensador cargado se sustituye por
una fuente ideal de tensión, de valor igual a su tensión inicial. Si el condensador está descargado,
U=0V, se comporta inicialmente como un cortocircuito.
2) Para el cálculo de valores iniciales en un circuito, una bobina cargada se sustituye por una
fuente ideal de intensidad, de valor igual a la intensidad que inicialmente la recorre. Si la bobina
está descargada, I=0A, se comporta inicialmente como un circuito abierto.
11.4. Circuitos con fuentes de excitación y condiciones iniciales nulas.
Considérese a continuación el caso de un circuito en el que no hay ningún elemento cargado
y en el que actúan fuentes de excitación independientes a partir de un instante inicial t = 0. Antes de
dicho instante, todas las variables del circuito son nulas, por lo que llamaremos a la respuesta
obtenida “respuesta a estado inicial cero”.
Sea el circuito representado en la figura 11.10. El condensador C está descargado y el
interruptor S, que está cerrado inicialmente, se abre en el instante t = 0.
Figura 11.10
Tomada como incógnita la tensión u en el condensador, se cumple que
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u
du
+ C = i (t ) para t ≥ 0
R
dt
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y u ( 0) = 0
es decir:
du
1
1
+
u = i (t ) para t ≥ 0
dt CR
C
y u ( 0) = 0
(11.24.)
Para resolver la ecuación diferencial 11.24 se calculará primero la solución general de la
parte homogénea y le añadiremos una solución particular.
La parte homogénea coincide con la ecuación diferencial de (11.18) y su solución está
expresada en (11.19), en donde interviene una constante K1 a determinar.
La solución particular dependerá del tipo de excitación i(t).
Es importante notar que la solución de (11.24) consta de dos partes:
Una es la solución de la ecuación homogénea, “independiente, por tanto, de la fuente de
excitación”, que constituye la respuesta natural del circuito y que es de igual forma que la debida a
cargas iniciales. Esta respuesta, en el caso de circuitos formados por elementos pasivos, viene
definida por una exponencial decreciente y es despreciable al cabo de cierto tiempo, por lo que
constituye la parte transitoria de la solución.
Otra es la solución particular de la ecuación completa, “dependiente, por tanto, de la fuente
de excitación”, que constituye la respuesta forzada y que permanece en tanto subsista la fuente, por
lo que se denomina respuesta permanente.
Ahora se llevará a cabo el estudio de la solución de (11.24) para una fuente de excitación i(t)
continua.
Si se supone que para t ≥ 0 es: i(t) = I, para obtener una solución particular de (11.24) sec
toma u(t)=K. Sustituyendo en (11.24) se tiene:
1
1
K= I
CR
C
de donde: K = RI
y la solución de (11.24) es:
−t
RC
u (t ) = K 1 e
resp. natural
+
RI
resp. permanente
con u(0)=0, de donde 0 = K1 + R I; K1 = - RI, luego:
−t
u(t ) = RI (1 − e RC ) para t ≥ 0
o bien:
−t
u(t ) = RI (1 − e τ ) para t ≥ 0
en función de la constante de tiempo del circuito.
En el caso de fuentes de excitación continua es muy fácil escribir directamente la respuesta
de los circuitos de primer orden. En efecto, la ecuación diferencial a la que responden estos circuitos
es:
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df 1
+ f = g (t )
dt τ
(11.25.)
Al ser g(t) = K (fuentes de excitación continua), la solución general de (11.25) es:
−t
f ( t ) = K 1 e τ + τK
Haciendo t = ∞ y t = 0, se obtiene:
f(∞) = τK y f(0) = K1 + τK, es decir, K1 = f(0) –f(∞)
con lo que se puede escribir
f (t ) = f (∞) −
permanente
−t
τ
( f (∞) − f (0)) e
natural o transitoria
(11.26.)
La expresión (11.26) indica que para escribir la respuesta basta conocer:
- La constante de tiempo del circuito,τ.
- El valor inicial de la variable, f(0).
- El valor final de la variable, f(∞).
En lo que se refiere a la constante de tiempo y al valor inicial, en el apartado anterior se
indicó como calcularlos.
Respecto al valor final, al ser las fuentes de excitación constantes, también lo serán las
respuestas. Para el cálculo de la respuesta permanente de un circuito alimentado con fuentes de
corriente continua recuérdese que:
1) En régimen permanente, en corriente continua, un condensador se comporta como un
circuito abierto ya que uC = cte.
duC
= iC (t ) = 0
C
dt
2) En régimen permanente, en corriente continua, una bobina se comporta como un
cortocircuito al ser iL = cte.
diL
L
= uL = 0
dt
Volviendo sobre el circuito de la figura 11.10, se va a calcular la expresión de la tensión en el
condensador, u(t), a partir de las consideraciones anteriores, supuesto que i(t) = I.
Tensión inicial en el condensador: u(0) = 0.
Tensión final en el condensador: Para t = ∞ el condensador se comporta como un circuito
abierto y la intensidad I de la fuente pasará totalmente por la resistencia. Por estar, el condensador
en paralelo con R, la tensión en bornes del mismo es la tensión en la resistencia, es decir: u(∞) = RI
Constante de tiempo del circuito: La respuesta natural y, por tanto, la constante de tiempo, es
independiente de las fuentes de excitación. Para el cálculo de τ se eliminan las fuentes de excitación
(circuito abierto para fuentes de intensidad y cortocircuito para fuentes de tensión) y se procede
según se indicó anteriormente. Para el circuito que nos ocupa τ = RC.
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Sustituyendo los valores de u(0), u(∞) y τ en la expresión (11.26) resulta:
−t
−t
u(t ) = RI − ( RI − 0) e τ = RI (1 − e τ ) t ≥ 0 .
Ejemplo 11.5. En el circuito de la figura 11.11 el interruptor S se cierra para t = 0. Calcular
la expresión de la intensidad y la tensión en la bobina para t ≥ 0.
Figura 11.11
Valores iniciales: antes de cerrar S era i (t<0) = 0, luego i(0)=0, de donde: u(0) = E.
Valores finales: la bobina es un cortocircuito para t = ∞, luego: i(∞) = E/R, u(∞)=0.
Constante de tiempo: al sustituir la fuente de tensión E por un cortocircuito, la resistencia
equivalente respecto a bornes de la bobina es R; luego: τ = L/R.
Se puede, pues, escribir directamente, teniendo en cuenta la expresión
− Rt
E E −LRt
i(t ) = − e
y u (t ) = E e L , ambas para t ≥ 0
R R
En la figura 11.12 se representan las gráficas correspondientes.
Figura 11.12
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Ejemplo 11.6. En el circuito de la figura 11.13 el interruptor S pasa de la posición a a la b
para t = 0. Calcular la expresión de la intensidad por la resistencia de 3Ω para t≥0 y dibujar la
gráfica correspondiente.
Figura 11.13
Antes de cambiar el interruptor de posición por la resistencia de 3Ω circulan:
6
=9A
i (t < 0) = 15
6+4
pero al pasar el interruptor a la posición b, dicha resistencia queda en serie con la bobina, y, por
tanto, ha de ser: i(0) = 0 A
En régimen permanente, la bobina se comporta como un cortocircuito y, por tanto,
6
i ( ∞) = 15
= 10 A
6+3
Al sustituir la fuente de intensidad por un circuito abierto la resistencia vista desde la bobina
es: Req =3 + 6 =9Ω, luego:
L
0,3 1
τ=
=
= s
Re q
9 30
de donde:
i (t ) = 10 − 10 e −30t
cuya representación gráfica se da en la figura 11.14.
Figura 11.14
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11.5. Circuitos con fuentes de excitación y condiciones iniciales no nulas.
En el caso de un condensador su ecuación de definición, considerando condiciones iniciales
no nulas, es:
1 t
u (t ) = u (0) + ∫ i ( z ) dz
C 0
mientras que en el caso de una bobina resulta ser:
1 t
i (t ) = i (0) + ∫ u ( z ) dz
L 0
Ejemplo 11.7. El interruptor S del circuito de la figura 11.15 lleva en la posición a un
tiempo que puede considerarse infinito. Para t = 0 se pasa a la posición b. Calcularemos las
expresiones de la tensión en el condensador y la intensidad en cada resistencia a partir de dicho
instante.
Figura 11.15
Como el interruptor lleva colocado en la posición a un tiempo infinito, se habrá establecido
el régimen permanente en el circuito. Al ser la fuente de 12V de tensión continua, el condensador se
comporta en régimen permanente como un circuito abierto y para calcular la tensión a que está
cargado se utiliza el circuito de la figura 11.16. Resultando U = 6V.
Figura 11.16
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Al cambiar el interruptor a la posición b, el condensador mantendrá la tensión de 6 V. En la
figura 11.17 se ha representado el circuito después del cambio del interruptor.
Figura 11.17
La tensión inicial en el condensador del circuito de la figura 11.17 es de 6V. La tensión
inicial entre A y B es, por tanto, 6 V.
Inicialmente, se puede escribir el sistema de ecuaciones:
(2 + 3) i1(0) - 3 i3(0) = 16 – 6
y - 3 i1(0) + (2 + 3) i3(0) = 6,
resultando:
i1(0) = 17/4 A, i3(0) = 15/4 A, e i2(0) = i1(0) – i3(0) = 0,5A.
En cuanto al cálculo de los valores finales, al ser continuas las fuentes de excitación, el
condensador se comporta como un circuito abierto para t = ∞, pudiendo escribir:
i1(∞) = i3(∞) = 16/(2+2) = 4A, i2(∞) = 0 y uAB = 2i3(∞) = 8V
resultando:
i1(0) = 17/4 A, i3(0) = 15/4 A, e
i2(0) = i1(0) – i3(0) = 0,5A.
La resistencia vista desde bornes del condensador es:
2⋅2
Re q = 3 +
= 4Ω
2+2
luego: τ = Req C = 4 10-2 s, y teniendo en cuenta la expresión (11.16), se escribirá:
1 − 25t
e
4
1 − 25t
i 2(t ) =
e
2
1
i 3(t ) = 4 − e − 25t
4
uC (t ) = 8 − 2 e −25t
i1(t ) = 4 +
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La representación gráfica se da en la figura 11.18.
Ejemplo 11.8. En el circuito de la figura 11.19 el interruptor S1 lleva cerrado sobre la posición a un
tiempo que puede considerarse infinito. Para t = 0 se pasa S1 a la posición b y simultáneamente se
cierra S2. Calcular las expresiones de il, i2 e iL para t > 0.
1
Figura 11.19
Antes de cerrar S2, como S1 lleva cerrado tiempo suficiente para que se halle establecido el
régimen permanente, la bobina se está comportando como un cortocircuito, luego:
2
iL (0) = 6
=4A
2 +1
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Al cambiar de posición S1 y cerrar S2, la intensidad por la bobina ha de seguir teniendo este
valor. El circuito a estudiar se representa en la figura 11.20.
Figura 11.20
Valores iniciales: Inicialmente la bobina mantiene su corriente, luego:
iL(0) = 4 A
i1(0) = − 4 A
10
i 2(0) = = 10 A
1
Valores finales: En régimen permanente, la bobina se comporta como un cortocircuito, luego:
10
iL(∞) = − = −5 A
2
i1(∞) = 5 A
i 2( ∞) = 10 A
Constante de tiempo
La resistencia equivalente vista desde los terminales de la bobina es: Req = 2Ω, de donde:
τ=
L
0,2
=
= 0,1s
Re q 2
A partir de estos valores se puede escribir:
iL(t ) = − 5 + 9 e −10t t ≥ 0
i1(t ) = 5 − 9 e −10t t > 0
i 2(t ) = 10 A t > 0
Obsérvese que al estar en paralelo la resistencia de 1Ω con la fuente de tensión su valor no
influye en el resto del circuito, no interviniendo en la constante de tiempo del mismo. La intensidad
en esta resistencia se mantiene constante.
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