elementos para introducir el concepto de energía mecánica sin

ELEMENTOS PARA INTRODUCIR EL
CONCEPTO DE ENERGÍA
MECÁNICA SIN RECURRIR
AL CONCEPTO DE TRABAJO1, 2
MARÍA MERCEDES AYALA
FRANCISCO MALAGÓN
GERMÁN GUERRERO
Departamento de Física
Universidad Pedagógica Nacional
RESUMEN
En este artículo se rescata la distinción que plantean Leibniz y Bernoulli a través de los términos vis viva y vis mortua al abordar el problema
del movimiento. Basado en esta distinción se muestra que la formulación newtoniana y la formulación que involucra el concepto de energía mecánica
obedece a dos modos diferentes y complementarios de comprender el movimiento.
ayalam49@gmail.com
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FÍSICA Y CULTURA: CUADERNOS SOBRE HISTORIA Y ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, Nº 4, 1998
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INTRODUCCIÓN
El concepto de energía se suele introducir a través
del concepto de trabajo, presentándolo, de esta
manera, como una consecuencia de la formulación
newtoniana. En este artículo se sustenta la tesis
contraria, planteada también por otros autores3: la
formulación newtoniana y la formulación basada en
el concepto de energía mecánica corresponden a dos
modos independientes de abordar el movimiento.
Para ello se rescata la distinción que plantean
Leibniz y Bernoulli a través de los términos “vis
viva” y “vis mortua” al analizar el problema del
movimiento.
El artículo en sí mismo es una ejemplificación de una
forma de recurrir a la historia de la disciplina con
fines pedagógicos muy poco usada hasta el momento. Se muestra la importancia del rescate de
"originales" cuando se trata de generar alternativas
para el mejoramiento de la enseñanza de la física: de
una parte, permite recuperar y recontextualizar
mediante el análisis de éstos problemáticas que
dieron origen y permitieron desarrollar y transformar
conceptos de la física; y de otra, posibilita la
construcción de caracterizaciones de tales procesos
identificando un cierto paralelismo con el conocimiento individual.
VIS VIVA Y VIS MORTUA:
UNA INTERPRETACIÓN
La distinción entre la vis viva y la vis mortua que
Leibniz y Johann Bernoulli4 se esfuerzan en
fundamentar parece, en una primera instancia,
carente de sentido y de utilidad. Sin embargo,
cuando se superan las dificultades que surgen por
el lenguaje utilizado y se logra develar el problema
al que hacen referencia los términos, el discurso no
solo adquiere un significado para nosotros sino
también validez. En lo que sigue mostraremos las
razones, el significado y la importancia de la
diferencia planteada por medio de los términos vis
viva y vis mortua.5
En una primera aproximación, se puede afirmar que
el planteamiento leibniziano se refiere a la diferencia
existente entre la medida de la fuerza en condiciones
de equilibrio (vis mortua) y la medida de la misma
en condiciones dinámicas (vis viva)6.
Cuando se pretende determinar la medida de una
fuerza, por ejemplo la fuerza ejercida por un resorte
cuando ha sido estirado o contraído una cierta
distancia x, es posible hacerlo contrarrestando la
fuerza con otra fuerza conocida (colgando pesos y
notando el estiramiento); es decir, generando una
situación de equilibrio. Así es posible determinar que
la fuerza que ejerce un resorte, en cierto rango de
deformación, está dada por kx, donde k es la
constante del resorte.
Pero, también es posible determinar la fuerza a través
del movimiento que produce: es claro que a fuerzas
iguales deben corresponder movimientos iguales. Si
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comprimimos dos resortes de constantes k y k' las
distancias x y x', respectivamente, con la misma
fuerza -es decir
-, es razonable esperar que
las velocidades obtenidas sean iguales al actuar sobre
un mismo cuerpo. Sin embargo, solo si se cumple
que x y x' sean tales que kx2 = kx'2 se logra producir
con los dos resortes el mismo movimiento. Resulta,
entonces, empíricamente válido hacer una
diferenciación entre la "fuerza de equilibrio" y "la
fuerza dinámica".
Tratemos ahora de hacer una primera caracterización
de cada tipo de fuerza. Cuando un cuerpo que bajo
la acción de una fuerza es impedido a moverse por
un obstáculo, la acción ejercida sobre él se propaga
de manera idéntica e instantánea de modo que el
cuerpo presiona al cuerpo que lo obstaculiza y el
obstáculo a su vez actúa sobre el cuerpo con igual
fuerza. Este tipo de fuerza tiene la propiedad de que
no produce efectos que duren más que ella misma
y, además, no implica pérdidas para el cuerpo que
ejerce la fuerza: la duración de la acción ejercida
sobre un cuerpo por un resorte comprimido en
condiciones de equilibrio no hace que la acción sea
cada vez menor.
Entre tanto, la "fuerza dinámica" del resorte se va
perdiendo en la medida en que el cuerpo va ganando
movimiento, "fuerza de movimiento". Sin duda, aquí
estamos hablando de otro tipo de fuerza, estamos
hablando de una fuerza que pasa de un cuerpo a
otro; una fuerza cuya disminución en un cuerpo
implica que otro u otros la aumenten: una fuerza que
tiene un carácter substancial, una fuerza que se
transmite, se conserva y se transforma. En contraste,
la "fuerza de equilibrio" es ante todo la pura acción
y una vez que ésta cesa no permanece en el cuerpo
sobre el cual se ejerce (la vis impresa newtoniana).
Si bien la argumentación que se ha dado hasta el
momento puede ser aceptable, la contradicción que
aparentemente hay entre esta perspectiva y las ideas
y afirmaciones que tradicionalmente se enseñan en
física se convierte en un gran obstáculo para aceptar
la validez de la distinción planteada a través de los
términos vis viva y vis mortua.
Pero la clave para solucionar esta aparente
contradicción está en darse cuenta que es posible
distinguir en el término "dinámico" dos significados
muy diferentes.
 Uno, según el cual se supone la existencia de
estados en los cuales un cuerpo o sistema, dejado por
si solo, permanecería indefinidamente. La definición
de estos estados y la determinación de la causa que
hace que el cuerpo no permanezca en su estado
"natural" es la problemática que caracteriza esta
manera de abordar el cambio de lugar de un cuerpo
o sistema. A lo largo de la historia se encuentran
diferentes definiciones del estado o estados naturales
de un cuerpo: lugar o configuración natural para los
cuerpos terrestres y movimiento circular para los
cuerpos celestes (Aristóteles); reposo y movimiento
circular uniforme (Galileo); reposo y movimiento
rectilíneo uniforme (Newton). No obstante tal
diversidad en las definiciones del estado de un
sistema con relación al movimiento, la idea de
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permanencia en el tiempo es común a todas ellas.
Por eso cuando el movimiento logra ser matematizado, el estado debe ser representado por una cantidad
que requiere ser constante en el tiempo. En el caso
newtoniano, el momentum lineal o cantidad de
movimiento juega este papel, define el estado de
movimiento; la fuerza es la causa del cambio de
estado (cambio en la cantidad de movimiento), ante
el cual el cuerpo que lo experimenta permanece
invariable; el tiempo se independiza del movimiento
y es utilizado como referencia externa.
 En el otro significado del término, se asume al
sistema como algo susceptible de tomar diferentes
formas, de ser de diferentes maneras, las cuales
también se denominan estados no obstante no
involucrar la idea de permanencia. Desde esta
perspectiva el término "dinámico" hace referencia
a la posibilidad de pensar el cambio de lugar como
la sucesión continua de estados -configuraciones
espaciales- que puede adoptar un sistema. El
movimiento es entendido en términos de estado y
transformación, y el tiempo está indisolublemente
ligado al movimiento. La identidad del cuerpo o
sistema es la identidad en los cambios de estado, y
está representada por la identidad del proceso. Esta
identidad implica la existencia de una cantidad que
no varíe en el devenir del cuerpo y establezca una
equivalencia entre sus diferentes estados. La
conservación de lo que llamamos en un principio
"fuerza dinámica" -que conocemos hoy con el
nombre de energía mecánica- y sus diferentes
"formas" -"fuerza del resorte" (1/2 kx2), "fuerza
de movimiento" (1/2 mv2), "fuerza de la gravedad"
(mgh)- juegan precisamente este papel.
Es posible ver estas dos acepciones del término
"dinámico" como maneras complementarias de
abordar el problema del movimiento: la primera -la
mirada por equilibrio- tiene como referencia el
tiempo y la segunda -la mirada por conservación-,
como referencia el espacio. En la teoría newtoniana,
se ve que la referencia fundamental en la definición
de un estado de equilibrio es el tiempo; el espacio
en cambio no requiere ser tenido en cuenta. La
homogeneidad del espacio es la condición necesaria
para esta concepción de movimiento y para la
conservación del momentum lineal; el estado de
equilibrio está descrito por un momento lineal
constante, la constancia en el tiempo como tal es una
exigencia lógica de toda definición de estado de
equilibrio; por esto, es que el principio de inercia a
la vez que define el estado de equilibrio postula la
"conservación" del momento lineal. Haciendo el
contraste, el análisis del movimiento, mirado como
un proceso de cambios de configuración del sistema,
nos lleva a considerar al espacio como referencia
fundamental: en la definición y descripción de los
estados del sistema, son las configuraciones
espaciales la referencia; el tiempo no está presente.
Se podría afirmar que la homogeneidad del tiempo
es una condición necesaria para formular el problema
del movimiento en los términos anteriores y, en
especial, para la conservación de la energía mecánica.
La conservación de la energía expresa la identidad
del sistema a través del cambio, y sus diferentes
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"formas" se determinan mediante la equivalencia de
los estados del sistema.
CONSIDERACIONES PEDAGÓGICAS
Los estudiantes suelen hablar de una fuerza que se
transmite y de una fuerza de movimiento, cosa que
el maestro ve como un error y no como una forma
diferente a la newtoniana de abordar el movimiento
de un sistema. Los estudiantes, también, acostumbran asumir que un cuerpo se encuentra en
condiciones de equilibrio cuando su velocidad es
cero, al asociar velocidad cero con ausencia de
"fuerza de movimiento" y a este hecho con
equilibrio.
Cuando se pregunta, por ejemplo, por la distancia
que logra ser comprimido un resorte cuando un
cuerpo es dejado caer sobre él desde una cierta altura,
el estudiante entiende que en la medida en que el
cuerpo cae -pierde altura- gana movimiento;
movimiento que el cuerpo pierde gradualmente
cuando comprime al resorte, y que el resorte va
almacenando en forma de fuerza. Se podría pensar
que aquí hay una mirada de conservación -con
algunos problemas ya que parece no detenerse en el
hecho de que el cuerpo cuando comprime el resorte
cae y, en consecuencia, gana movimiento-. Sin
embargo, cuando el cuerpo llega al punto de máxima
compresión del resorte, al no existir movimiento, el
estudiante ve equilibrio y se detiene en la acción
que el cuerpo ejerce sobre el resorte -que es igual
al peso- y la resistencia que éste le ofrece, kx,
estableciendo una igualdad entre ellas (acción igual
a resistencia, visión que no es estrictamente
newtoniana, pero que se encuentra en la misma línea
de desarrollo).
Son frecuentes las ocasiones en las que los
estudiantes dejan ver las dificultades y confusiones
que surgen cuando no se tiene en cuenta la
diferenciación entre las dos formas de entender lo
dinámico: la mirada por equilibrio y la mirada por
conservación. Es importante tener en cuenta que las
dificultades y "errores" de los estudiantes son un
indicio de las necesidades de disociación y de las
causas de confusión, que requieren ser abordadas y
trabajadas por maestros y estudiantes si se pretende
una enseñanza de la Física con más significación para
los estudiantes.
NOTAS Y REFERENCIAS
1.Este artículo hace parte de una serie de trabajos que hemos venido realizando en la UPN -en el
desarrollo de una de las líneas de investigación que estructuran el Programa de Maestría en Docencia de
la Física- con el claro convencimiento de que una comprensión de la física atendiendo su historicidad dará
elementos que sirvan para fundamentar la selección y estructuración de temáticas que propicien la
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asimilación de la cultura científica por nuestra cultura. Por otra parte, este ensayo amplía y fundamenta
algunas de las tesis planteadas en el artículo: "Una propuesta de estructuración de la mecánica. Desde una
perspectiva evolutiva". Rev. Física y Cultura, Vol. 1 No. 2, I semestre 1990.
2.Ponencia presentada en el XIII Congreso Nacional de Física, Bogotá, agosto de 1989.
3.Véase, por ejemplo, a: GUIDONI, P. A phenomenological approach to the development and
differentiation of energy ideas. Universidad de Nápoles.
4.Véase en LINDSAY, R.B. Energy: Historical Development of the Concept: LEIBNIZ, G.W., "A Brief
Demonstration of the Memorable Error of Descartes and Others Concerning the Natural Law to Which
They Claim That the same Quantity of Motion Is Always Conserved by God, a Law That They Use
Incorrectly in Mechanical Problems", págs. 119-121; LEIBNIZ, G. W., "A Dynamical Model for the
Wonderful Laws of Nature Concerning the Forces of Bodies and Assigning Their Actions and Referring
Them to Their Causes", pág. 122; BERNOULLI, J., "Use of the Vis Viva Concept in Problems of
Motion", págs. 123-132.
5.La vis mortua consiste en un simple esfuerzo, esfuerzo que continúa existiendo aún si un obstáculo
extraño en cualquier momento evita la producción del movimiento local en el cuerpo sobre el cual la vis
mortua es ejercida. Un ejemplo de tal fuerza es el peso. Un cuerpo pesado sostenido por una mesa
horizontal continuamente trata de descender. Y lo haría sino fuera porque la mesa provee un obstáculo que
lo evita. Así la gravedad produce una vis mortua en el cuerpo. El efecto de esta es solamente momentáneo.
En cada instante la gravedad ejerce una cantidad infinitamente pequeña de energía sobre el cuerpo sobre
el que actúa, que es inmediatamente absorbida por la resistencia del obstáculo. Estos pequeños grados de
velocidad perecen al nacer y renacen al perecer, y es en este ciclo de producción y destrucción en lo que
consiste la fuerza de gravedad cuando es retenida por un cuerpo inamovible. Esta fuerza es llamada vis
mortua. En cuanto al obstáculo, cuando resiste la fuerza de gravedad recibe una fuerza igual y opuesta a
la fuerza de gravedad que actúa sobre el peso. La vis mortua tiene la propiedad peculiar de que no produce
ningún efecto que dure más tiempo que ella misma. Si el cuerpo pesado sostenido por la mesa perdiera todo
su peso en algún momento, en ese momento la mesa dejaría de estar presionada. La situación no es la misma
con la vis viva; su naturaleza es completamente diferente. No puede nacer ni perecer en un instante. Toma
más o menos tiempo producir vis viva en un cuerpo que no la tiene. También toma tiempo destruir la vis
viva en un cuerpo que la tiene. Una vis viva es producida gradualmente en un cuerpo cuando, estando éste
inicialmente en reposo, una fuerza es aplicada e induce por pequeños grados un movimiento local.
Suponemos que en este caso ningún obstáculo retarda el movimiento. Este movimiento es adquirido en
grados infinitamente pequeños e incrementa hasta una velocidad finita y definida. Así, la vis viva producida
en un cuerpo en un tiempo finito por una fuerza que ningún obstáculo retarda es algo real. Es equivalente
a la parte de la causa consumida en producirla, ya que cada causa eficiente debe ser igual a su efecto. El
cuerpo que recibe vis viva, si no es retardada por un obstáculo cualquiera, provee resistencia a ésta
solamente por su inercia, que es siempre proporcional a su masa, de tal manera que los pequeños grados
de fuerza ejercidos sobre el cuerpo son conservados y acumulados para producir un movimiento local. Una
vis viva producida por una fuerza continua sin la presencia de un obstáculo retardador se puede comparar
a una superficie descrita por el movimiento de una línea o a un sólido descrito por el movimiento de una
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superficie. No hay más posibilidad de comparar vis mortua con vis viva que la que hay de comparar una
línea con una superficie o una superficie con un sólido; son cantidades heterogéneas que no admiten
realmente comparación. Cualquiera que sea la causa de una fuerza que por la duración de la acción
finalmente produce movimiento, si tiene una cantidad definida, como por ejemplo un resorte comprimido
que al estirarse emplea una fuerza para producir una velocidad actual en el cuerpo que inicialmente no tenía
ninguna, es evidente que en la medida que el cuerpo reciba nuevos grados de fuerza la causa que los produce
debe desaparecer enteramente cuando la fuerza del resorte ha sido usada y transferida al cuerpo, es decir,
juntada en la acumulación de todos aquellos grados que han sido producidos sucesivamente. Esta fuerza
que entra en el cuerpo puesto en movimiento mediante la tensión del resorte es la que debe ser llamada vis
viva. Aquí vemos nuevamente una gran diferencia entre vis viva y vis mortua. La presión o tensión solas,
o la vis mortua, que es recibida por un obstáculo inamovible, producida por el esfuerzo de un resorte que
trata de estirarse, no decrece la fuerza del resorte en lo más mínimo. Mientras que, por otro lado, la fuerza
del resorte es usada en dar en dar movimiento al cuerpo, es decir, en producir vis viva. La Producción de
un mínimo grado de esta fuerza requiere la pérdida o destrucción de la fuerza del resorte en un grado
igual. La una es la causa, la otra es el efecto inmediato. pero la causa no puede desaparecer en total o
parcialmente si ser reencontrada en el efecto en cuya producción ha sido empleada. De lo anterior puedo
concluir que la vis viva de un cuerpo que ha sido producida por el relajamiento de un resorte es capaz de
comprimirlo de nuevo al mismo grado de fuerza que tenía originalmente. Y si uno supone que esta vis viva
es empleada para comprimir dos, tres, o más resortes iguales entre sí pero más débiles que el primero, se
puede decir que el primer resorte puede producir un efecto dos veces, tres veces, o varias veces mayor que
el producido por uno de los resortes débiles. La igualdad que existe entre efecto y causa confirma lo que
se acaba de decir. En esta igualdad consiste la conservación de fuerzas de cuerpos que están en movimiento.
Se ha visto que la más pequeña parte de una causa positiva no puede ser permanentemente perdida y que
puede además reproducir un efecto sólo en la medida en que reemplace tal pérdida. Como la gente han
trabajado por mucho tiempo con la opinión de que la medida de la fuerza del cuerpo es la cantidad de
movimiento, es decir, el producto de la masa del cuerpo multiplicada por su velocidad, han creído
erróneamente que la cantidad de movimiento en el universo debe ser constante. El origen de este error,
como ya lo he sugerido, está en confundir la naturaleza de la vis mortua con aquella de la vis viva. El
principio fundamental de la estática demanda que en equilibrio los poderes de las cantidades que
intervienen estén compuestas por las fuerzas absolutas y sus velocidades virtuales. Este principio ha sido
extendido más allá de lo justificado al ser aplicado a cuerpos con velocidades actuales. Solamente en los
últimos 30 o 40 años, algunas personas han comenzado a percibir que las dos fuerzas son de una naturaleza
totalmente diferente, sin más relación que la existente entre una línea y una superficie o entre una superficie
y un sólido. Leibniz fue el primero en notar que la fuerza de un cuerpo no era igual al producto de su masa
y su velocidad, sino que era medida por el producto de su masa multiplicada por el cuadrado de su
velocidad.Tomado de BERNOULLI, J., Op. Cit., págs. 123-125
6.La mayoría de los autores ven en la vis viva y vis mortua leibniziana los orígenes de los conceptos de
energía cinética y de energía potencial respectivamente.
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