Estadıstica y Probabilidad TÉCNICAS DE CONTEO Universidad del

Estadı́stica y Probabilidad
TÉCNICAS DE CONTEO
Universidad del Cauca
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Combinaciones: Es un arreglo de elementos en donde NO interesa el lugar o posición que ocupan los mismos dentro
del arreglo. En una combinación interesa formar grupos y el contenido de los mismos.
La expresión que nos permite determinar el número de combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos es:
n Cr
=
n Pr
r!
De ahı́ que: n Pr = (n Cr )r!
¿Qué significa n = r?
Ejemplo: Se cuenta con 14 personas para formar grupos de 5 personas para una cierta causa.
1. Cuántos grupos podrán formarse?
2. Cuántos grupos podrán formarse si entre las 14 personas hay 8 mujeres? ¿Cuántos de los grupos tendrán 3
mujeres?
3. Cuántos de los grupos del inciso anterior tendrán 4 hombres o más ?
Solución:
1. n=14 y r=5 →
14 C5
=
14!
(14−5)!5!
= 2002 grupos.
2. En este caso nos interesan los grupos que contengan 3 mujeres y 2 hombres:
n=14 (8 mujeres y 6 hombres) y r=5
6!
8!
)( (6−2)!2!
) = 840 grupos formados por 3 mujeres y 2 hombres.
→ (8 C3 )(6 C2 ) = ( (8−3)!3!
3. En este caso nos interesan los grupos con 4 hombres mas los grupos con 5 hombres:
n=14 (8 mujeres y 6 hombres) y r=5
6!
8!
6!
8!
→ (6 C4 )(8 C1 ) + (6 C5 )(8 C0 ) = ( (6−4)!4!
)( (8−1)!1!
) + ( (6−5)!5!
)( (8−0)!0!
) = 126 grupos formados por 4 hombres o
más.
Ejercicio: Para ganar un examen, un alumno debe contestar 9 de 12 preguntas.
1. Cuántas maneras tiene le alumno de seleccionar 9 preguntas?
2. Cuántas maneras tiene si forzosamente debe contestar las 2 primeras preguntas?
3. Cuántas maneras tiene si debe contestar una de las tres primeras preguntas?
Particiones ordenadas: Se le llama partición ordenada al hecho de repartir n objetos en grupos (células) de una
cantidad x1 objetos, x2 objetos y xk objetos.
n P x1 , x2 , ..., xk
=
n!
x1 x2 ...xk
La expresión anterior representa el total de particiones ordenadas o reparticiones que es posible hacer cuando los n
objetos son repartidos en grupos de x1 objetos, x2 objetos y xk objetos.
Tenga en cuenta: Sólo se usa cuando se reparten todos los objetos, no parte de ellos, en ese caso se usarán combinaciones.
Ejemplo: Cuántas maneras hay de repartir 9 artı́culos entre tres jurados, si se desea que el primer jurado lea 4
artı́culos, el segundo 2 y el tercero 3 artı́culos?
Solución:
-Por Fórmula: n = 9, x1 =4, x2 =2 y x3 =3
9 P4,2,3
=
9!
4!2!3!
= 1.260 maneras.
-Por Combinaciones:
(9 C4 )(5 C2 )(3 C3 ) = (126)(10)(1) = 1.260 maneras.
Ejercicio: ¿Cuántas maneras hay de repartir los mismos 9 artı́culos entre tres jurados, si se desea darle al primero
3 artı́culos, dos al segundo y dos al tercero? R:/ 7.560.
Ejercicio: Cuántas maneras hay de repartir a 12 alumnos en 4 grupos de 3 personas, cada uno de ellos para que
realicen prácticas de laboratorio diferentes? R:/ 369.600
Diagrama de árbol: Es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de
los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.
Ejemplo: Un médico clasifica s sus pacientes de acuerdo a su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B,
AB u O), presión sanguı́nea (Normal, Alta, Baja). Mediante un diagrama de árbol diga en cuantas clasificaciones
pueden estar los pacientes del médico?
Solución:
Si contamos todas las ramas terminales, el número de clasificaciones son 2 × 4 × 3 = 24, las cuales son: MAN, MAA,
MAB, MBN, etc. Estas clasificaciones representan el Espacio muestral.
Ejercicio: Represente en un diagrama de árbol el experimento: Se lanza una moneda, si sale cara entonces se lanza
un dado, si sale sello entonces se lanza la moneda denuevo.
Ejercicio: Un hombre tiene tiempo de jugar ruleta cinco veces como máximo, empieza a jugar con un dolar, apuesta
cada vez un dólar y puede ganar o perder un dólar en cada juego, se va a retirar de jugar si pierde todo su dinero,
si gana tres dólares (si completa cuatro dólares) o si completa los cinco juegos. Mediante un diagrama de árbol, diga
cuántas maneras hay de que se efectúe el juego descrito. R:/ 11 maneras.
Ejercicio: Suponga que de un proceso de fabricación se seleccionan tres artı́culos de forma aleatoria. Cada articulo se inspecciona y se clasifica como defectuoso o no defectuoso, use un diagrama de árbol para determinar el
espacio muestral de la selección y el número de clasificaciones. R:/ DDD, DDN, DND, DNN, NDD, NND, NDN, NNN
Ejercicio: Se tienen tres pelotas en una bolsa de color blanco, azul y amarillo, si se saca una pelota pero no se
regresa y se vuelve a sacar otra. ¿Cuál será el espacio muestral?
Ejemplo: Para obtener un tı́tulo de pregrado en cierta universidad, los estudiantes deben cursar como lengua
extranjera inglés o francés. En un determinado curso, el 90 % de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30 %
de los que estudian inglés son hombres y de los que estudian francés son hombres el 40 %. Si se elige un estudiante
al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?
P (M ujer) = 0.9 × 0.7 + 0.1 × 0.6 = 0.69.
Ejercicio: Una clase consta de 6 mujeres y 10 hombres. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de:
1. Selecionar tres hombres. R:/ 0.214
2. Seleccionar dos hombres y una mujer. R:/ 0.482
3. Seleccionar por lo menos un hombre. R:/0.964
4. Seleccionar dos mujeres y un hombre. R:/ 0.268
Ejercicio: Una caja contiene tres monedas. Una moneda es corriente, otra tiene dos caras y la otra está cargada de
modo que la probabilidad de obtener cara es de 1/3. Se selecciona una moneda al azar y se lanza al aire. Hallar la
probabilidad de que salga cara. R:/ 0.611.