Optimización. E: Un triágulo rectángulo está formado por los

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Optimización.
E: Un triágulo rectángulo está formado por los semiejes positivos y una recta que pasa por el punto
(a, b). Hallar los vértices de modo que su área sea mı́nima.
D: H
(0, y)
El área del triángulo es:
1
A = xy
2
Según la figura. Esta es la función que deseamos minimizar
• (a, b)
La relación que guardan las variables es:
b
x−a
b
y
x
=
⇒ y=
b
x−a
x
x−a
(x, 0)
x
1 x2
1
b= b
A= x
2
x−a
2 x−a
2
1 (x − a)2x − x
1 2x2 − 2ax − x2
1 x2 − 2ax
A0 = b
b
b
=
=
2
(x − a)2
2
(x − a)2
2 (x − a)2
1 (x − a)2 (2x − 2a) − (x2 − 2ax)2(x − a)
1 (x − a)(2x − 2a) − 2(x2 − 2ax)
b
A 00 = b
=
=
2
(x − a)4
2
(x − a)3
a2
x2 − 2ax + a2 − x2 + 2ax
=
b
=b
(x − a)3
(x − a)3
A 0 = 0 ⇒ x2 − 2ax = 0 ⇒ x(x − 2a) = 0 ⇒ x = 0 o xM in = 2a
Si evaluamos la segunda derivada:
a2
b
>0
=
a3
a
2a
b = 2b
=
2a − a
A 00 (2a) = b
yM in
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canek.azc.uam.mx: 6/ 3/ 2007
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