UNIVERSIDAD NACIONAL DE RÍO CUARTO FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, FÍSICO-QUÍMICAS Y NATURALES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CARRERA/S: Licenciatura en Matemática PLAN DE ESTUDIOS: 2008. ASIGNATURA: Topología CÓDIGO: 1917 DOCENTE RESPONSABLE: Dr. Fabián E. Levis EQUIPO DOCENTE: Fabián E. Levis, Doctor en Cs. Matemáticas. Albina N. Priori, Doctora en Cs. Matemáticas AÑO ACADÉMICO: 2014 REGIMEN DE LA ASIGNATURA: cuatrimestral RÉGIMEN DE CORRELATIVIDADES. Se debe tener regular el Código 1929. CARGA HORARIA TOTAL: 135 hs. TEÓRICAS: 5 hs. PRÁCTICAS: 4. hs CARÁCTER DE LA ASIGNATURA: Obligatoria A. CONTEXTUALIZACIÓN DE LA ASIGNATURA Tercer año. B. OBJETIVOS PROPUESTOS El objetivo fundamental del curso es introducir a los alumnos al estudio de los conceptos topológicos, y topología algebraica. CONTENIDOS BÁSICOS DEL PROGRAMA A DESARROLLAR Cardinalidad. Espacios métricos. Espacios topológicos. Topología algebraica. Sucesiones y series de funciones. FUNDAMENTACIÓN DE LOS CONTENIDOS Además de la importancia que reviste la Topología en la formación de los Licenciados en Matemática, esta asignatura es utilizada para el desarrollo de algunos tópicos de otras asignaturas como Geometría Diferencial, Análisis Funcional, Variable Compleja y Ecuaciones Diferenciales. ACTIVIDADES A DESARROLLAR CLASES TEÓRICAS: Se realizan exposiciones por parte del docente a cargo. CLASES PRÁCTICAS: Se resuelven ejercicios y se discuten los resultados. C. NÓMINA DE TRABAJOS PRÁCTICOS Cardinalidad Espacios métricos Espacios topológicos Bases y subespacios Conexión y compacidad Espacios producto y cociente. Sucesiones y series de funciones Homotopía y grupo fundamental D. HORARIOS DE CLASES: Martes de 08 a 12 hs. Jueves de 08 a 13 hs. HORARIO DE CLASES DE CONSULTAS: Martes de 12 a 13 hs. Jueves de 14 a 15 hs. E. MODALIDAD DE EVALUACIÓN: Evaluaciones Parciales: Los exámenes parciales versarán sobre ejercicios del tipo de aquellos desarrollados en los trabajos prácticos. Evaluación Final: En el caso de los alumnos regulares el examen final será escrito y/u oral y versará sobre los aspectos teóricos impartidos en el curso. En el caso de los alumnos libres previamente a la exposición oral, deberá aprobarse un examen escrito sobre los temas tratados en los trabajos prácticos. CONDICIONES DE REGULARIDAD: Para la regularización de esta asignatura el alumno deberá tener una asistencia del 80% a las clase prácticas y aprobar dos parciales, teniendo cada parcial la posibilidad de ser recuperado una vez. PROGRAMA ANALÍTICO CONTENIDOS Contenidos de Aprendizaje: Unidad I. Cardinalidad. Conjuntos numerables. Potencia del continuo. Comparación de potencias. Unidad II. Espacios métricos. Espacios métricos. Conceptos básicos. Bolas, esferas y diámetro de un conjunto. Conjuntos abiertos y cerrados. Funciones continuas. Distancias equivalentes. Sucesiones y continuidad. Espacios completos. Unidad III. Espacios topológicos. Conceptos básicos. Entornos e interior. Conjuntos cerrados, adherentes y frontera. Funciones continuas, abiertas y cerradas Homeomorfismos . Unidad IV. Bases y subespacios. Bases, subespacios y espacios separables. Espacios N1 y N2. Subespacios. Unidad V. Conexión y compacidad. Espacios conexos. Conexión y continuidad. Componentes conexas. Conexión local. Espacios arco conexos. Espacios compactos. Compacidad y conjuntos cerrados. Compacidad en espacios de Hausdorff. Compacidad en espacios de métricos. Compacidad y continuidad. Compacidad local. Compacidad y sucesiones. Compacidad y completitud. Unidad VI. Espacios producto y cociente. Topología producto. Espacio producto y continuidad. Propiedades topológicas del espacio producto. Topología cociente. Propiedades topológicas del espacio cociente. Continuidad en espacios cocientes. Ejemplos de espacios cocientes. Unidad VII. Sucesiones y series de Funciones. Convergencia puntual. Convergencia uniforme. Convergencia uniforme y continuidad. Convergencia uniforme e Integración. Convergencia uniforme y diferenciación. Familia equicontinua de funciones. Unidad VIII. Homotopía y grupo fundamental. Homotopía de curvas. Grupo fundamental. Homotopía de funciones continuas. Espacios contractibles. Homomorfismo inducido. Grupo fundamental del círculo. Formas metodológicas de enseñanza y aprendizaje: Las clases teóricas serán de tipo expositivo por parte de los profesores introduciendo los conceptos y dando las demostraciones de los resultados formulados. En las clases prácticas los alumnos deberán resolver ejercicios, los cuales serán de dos tipos: aplicaciones de resultados de la teoría y demostraciones de resultados complementarios de la misma A. CRONOGRAMA DE CLASES Y PARCIALES Semana 1 2 -3 3 -4 4 -5 6 -8 8 - 10 11 -12 12 -14 Día/Fecha Teóricos Unidad I Unidad 2 Unidad 3 Unidad 4 Unidad 5 Unidad 6 Unidad 7 Unidad 8 Día/Fecha Prácticos Unidad I Unidad 2 Unidad 3 Unidad 4 Unidad 5 Unidad 6 Unidad 7 Unidad 8 Día/Fecha Parciales / Recuperatorios 29/04 Primer Parcial 12/06 Segundo Parcial 16/06 Primer Recuperatorio 19/06 segundo Recuperatorio B. BIBLIOGRAFÍA [1] - J. Dieudonné, Fundamentos de análisis moderno, Reverté, Espa~na, 1966. [2] - I. Dotti, M. J. Druetta, Topología, Trabajos de Matemática Serie C, FaMAF, UNC, /1992. [3] - J. Dugundji, Topology, Allyn and Bacon Series in Advanced Mathematics, USA, 1967. [4] - A. Garcia, W. Dal Lago, Elementos de Topología, Trabajos de Matemática Serie C, FaMAF, UNC, 29/2000. [5] - M. Greemberg, Lectures on Algebraic Topology, Mathematics Lecture Note Series, Addison Wesley, 1981. [6] - J. Munkress, Topology, Prentice Hall, España, 2000. [7] - W. Rudin, W. Principios de Análisis Matemático. Mc. Graw Hill, México, 1980. 13 Dr. Fabián Eduardo Levis