campo eléctrico y propiedades eléctricas de la materia

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CAMPO ELÉCTRICO
Y PROPIEDADES
ELÉCTRICAS DE LA Capítulo
MATERIA
1
Este capítulo representa una introducción
al estudio del campo eléctrico. Como punto de partida, se hace una breve referencia histórica y se repasan algunos modelos teóricos que se utilizan para explicar
la estructura de la materia y que permiten comprender mejor sus características
eléctricas.
C. A. Coulomb (1736-1806)
La estructura del capítulo se resume a continuación:
1. Introducción histórica.
2. Estructura interna de la materia:
Modelos atómicos:
•
•
•
•
Modelo atómico de Dalton.
Modelo atómico de Thomson.
Experimento y modelo atómico de Rutherford.
Modelo atómico de Bohr.
Moléculas y tipos de enlaces:
• Enlace iónico.
• Enlaces covalente y metálico.
• Enlaces y conducción eléctrica.
3. Electrización de los materiales.
4. Fuerzas y ley de Coulomb:
Ley de Coulomb:
• Principio de superposición.
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2
FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA
5. Campo eléctrico:
• Líneas de campo.
Campo eléctrico debido a distribuciones de carga:
• La carga eléctrica y su distribución espacial.
• Campo eléctrico debido a distribuciones de carga.
6. El flujo eléctrico.
7. La ley de Gauss:
Esfera uniformemente cargada.
Distribución longitudinal uniforme de carga.
Superficie plana uniformemente cargada.
8. Conductores en equilibrio electrostático.
9. Ejercicios.
1.1.
Introducción histórica
Actualmente, se conoce bastante bien la constitución de la materia y su estructura interna.
Incluso hablar de átomos o electrones es muy habitual en el lenguaje común y la mayoría
de la gente posee unas ideas más o menos aproximadas de los elementos más básicos de la
materia; sin embargo, la consecución de tales conocimientos resultó ser una tarea ardua y
que necesitó de muchas generaciones de científicos.
Las primeras observaciones de las propiedades eléctricas de la materia se deben al filósofo
y matemático griego Tales de Mileto (624–546 a.C.), que descubrió que frotando con piel
un trozo de ámbar (elektron, en griego), éste atraía a pequeños materiales ligeros, como
cabellos o fibras de lana, e intentó explicar infructuosamente estas fuerzas. También observó
la atracción que sobre el hierro ejercía un mineral originario de una ciudad de la actual
Turquía que se llamaba Magnesia y que dio nombre a ese mineral: magnetita.
Posteriormente, será el también filósofo griego Demócrito (460–370 a.C.) quien, con gran
intuición, postule que la materia se compone de pequeñas partículas indivisibles a las que
denominó átomos (άτ oµoς o atomos, en griego), aunque fueron razonamientos puramente
filosóficos los que le impulsaron a formular dicho postulado. A partir de entonces, el desarrollo del conocimiento de la materia estuvo paralizado hasta el siglo XVII, en el que fueron
muchos los estudiosos que comenzaron a realizar experimentos eléctricos y magnéticos que,
de forma independiente, permitieron acumular mucha información, aunque aparentemente
inconexa. Estos experimentos se basaban, por un lado, en las propiedades tribológicas (del
griego tribos, frotar) de muchos materiales que al ser frotados se les confería la posibilidad
de atraer objetos muy ligeros o incluso de producir chispas, y por otro, en las propiedades
químicas que sí habían recibido gran atención en la Edad Media y habían llegado a acumular
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CAPÍTULO 1. CAMPO ELÉCTRICO Y PROPIEDADES ELÉCTRICAS DE LA MATERIA
3
una gran cantidad de conocimientos, aunque muy poco sistematizada. Fue precisamente el
físico y químico inglés Dalton (1766–1844) quien publicó, en 1808, su teoría atómica de la materia y sentaba las bases teóricas del conocimiento actual de la misma (Figura 1.1). En cierto
modo, esta tarea la completó el químico ruso Medeleev (1834–1907) al publicar su conocida
en 1869 tabla periódica con 67 elementos (de algunos de ellos postulaba su existencia, tal
y como se aprecia en la Figura 1.2, donde aparecen con un signo de interrogación, como es
el caso de dos elementos que sitúa entre el arsénico, As, y el cinc, Zn, a los que adjudicaba
unos pesos atómicos de 68 y 70, respectivamente; actualmente se sabe que esos elementos
son el galio y el germanio, con pesos atómicos de valores 69,72 y 72,64, respectivamente),1
que permitía responder parcialmente a la pregunta formulada inicialmente por los griegos:
¿de qué está constituida la realidad? Quedaba demostrado que la combinación de un número
de elementos, considerados indivisibles, permitía obtener cualquier compuesto conocido. Sin
embargo, los experimentos eléctricos realizados hasta entonces permitían plantear una nueva
cuestión: si la materia se compone de átomos, ¿pueden dividirse éstos en otras partículas más
pequeñas?
Figura 1.1: Representación atómica según Dalton (dcha.): destacan las envolventes (las denominó como
calórico), que debían encargarse de combinar los átomos.
Desde 1650 (máquina de Von Guericke) se venían construyendo “máquinas de fricción”
que incrementaban la capacidad de producir descargas eléctricas en forma de chispas. La
1 Hoy día se han descubierto 109 elementos químicos, completando la tabla inicialmente esbozada por
Mendeleev.
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FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA
utilidad científica de estos primitivos generadores electrostáticos se vio reforzada por el descubrimiento, en 1746, de la conocida como botella de Leyden: un rudimentario condensador
que permitía almacenar la energía electrostática producida por las máquinas de fricción.
Figura 1.2: Tabla periódica original, publicada por Mendeleev en 1869.
Hacia 1752, Franklin realizó su célebre experimento de la tormenta y la cometa, pero
anteriormente ya había llevado a cabo otras experiencias eléctricas que le permitieron llegar
a la conclusión de que la materia estaba formada por dos tipos de cargas que, combinadas
en igual cantidad, determinaban que aquélla fuese neutra, pero que algunos procedimientos,
como la fricción entre algunos materiales, podían desequilibrar e impulsar a pasar de unos
cuerpos a otros. Además, denominó como positivas y negativas a tales cargas.
En 1780, el médico italiano Galvani (1737–1798) observó un fenómeno completamente
nuevo y consistente en que los músculos (de un anca de rana) se contraían cuando se ponían
en contacto con dos metales diferentes. Éste se lo comunicó al físico, también italiano, Volta
quien realizó una serie de experimentos con múltiples metales, descubriendo la pila eléctrica
en 1800 y deduciendo que la energía eléctrica se produce por un fenómeno físico-químico y
no tiene un origen orgánico, como se pensó al principio. De esta forma, el mundo científico
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CAPÍTULO 1. CAMPO ELÉCTRICO Y PROPIEDADES ELÉCTRICAS DE LA MATERIA
5
de entonces dispuso así de dos tipos de generadores, uno electrostático y otro electroquímico,
que facilitarían la realización de experimentos.
Hacia 1785, Coulomb utilizó unas esferas cargadas (formando una balanza de torsión)
para deducir la ley que lleva su nombre:
“Dos cargas de distinto tipo se atraen con una fuerza que es proporcional al
producto de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia
que las separa”,
resultado que ayudó a tratar de una forma científica estos fenómenos. Sin embargo, fue
el físico danés Oersted quien dio a conocer en 1820 su célebre experimento con una aguja
imanada y que revelaba la interacción entre los fenómenos eléctrico y magnético, considerados
independientes hasta entonces, aunque no consiguió justificar dicho fenómeno. Este resultado
produjo una enorme conmoción entre los científicos de entonces, atrayendo su interés sobre
este fenómeno y provocando que se multiplicasen los experimentos realizados sobre esta
materia. Entre ellos, Ampère llegó a aplicar sus conocimientos de cálculo diferencial e integral
a este fenómeno y sólo una semana después de conocerse la noticia de Oersted formuló las
primeras hipótesis al respecto.
De lo comentado se deduce que a principios del siglo XIX se había llegado a una serie de
resultados que empezaban a insinuar las relaciones teóricas subyacentes. Por ejemplo, aunque
se pensaba que los átomos eran indivisibles, parecía claro que había una característica de
éstos, que denominaron carga, y que bajo ciertas condiciones podía extraerse de un átomo
neutro para traspasarlo a otro átomo, obteniéndose dos átomos cargados, uno positivamente
y otro negativamente (uno con carga positiva en exceso y otro con esa carga en defecto).
Llegados a este punto, hay que destacar un detalle que tendrá gran importancia en capítulos posteriores y que consiste en que en aquel tiempo se pensó que las cargas positivas
podían trasladarse de un átomo a otro definiéndose, por tanto, la corriente eléctrica como
un movimiento de cargas positivas por unidad de tiempo. Este hecho venía avalado por los
experimentos realizados con disoluciones en las que se hacía pasar una corriente eléctrica
a través de una disolución desde un terminal sumergido o electrodo hasta otro electrodo.
Se comprobó que había parte de la materia disuelta que se trasladaba hacia un electrodo,
mientras que otra parte lo hacía hacia el otro. Los componentes que se trasladaban hacia
el electrodo, que se denominó cátodo (positivo), se denominaron cationes, mientras que los
componentes que se dirigían al electrodo negativo o ánodo se denominaron aniones. La ley
de Coulomb justifica la existencia de una fuerza que hace que los componentes positivos sean
atraídos por el electrodo negativo y que los componentes negativos se vean impulsados hacia
el electrodo positivo.
1.2.
Estructura interna de la materia
En la revisión histórica anterior se ha puesto de manifiesto la importancia que tiene el
conocimiento de la estructura intrínseca de la materia en los fenómenos eléctricos. Por este
motivo, en este capítulo se aborda un breve estudio sobre la materia.
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FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA
1.2.1.
Modelos atómicos
Los modelos atómicos son formulaciones teóricas que deben ser capaces de describir los
fenómenos naturales relacionados con las propiedades de la materia. Los primeros modelos
eran más filosóficos que físicos, aunque hay que reconocer que muchos de ellos eran sorprendentemente acertados a pesar de haberse formulado hace tanto tiempo, como es el caso del
modelo de Demócrito, que ya suponía que la materia estaba formada por átomos.
Modelo atómico de Dalton
La primera aproximación razonable a la estructura de la materia la realizó John Dalton
en 1808 al proponer el primer modelo atómico que, siguiendo a Demócrito, establecía que
la materia estaba formada por diminutas partículas indivisibles: los átomos. Sin embargo,
basándose en sus conocimientos químicos, estableció que, según el elemento químico al que
correspondiesen, sus átomos serían diferentes a los de otro elemento. Además, los átomos
de diversos elementos podrían combinarse con otros diferentes para dar lugar a compuestos
químicos, postulando que dicha combinación era posible debido a la existencia de una envolvente de cada átomo que podría ligarse a otro con el que se combinaba. Así, los distintos
compuestos químicos que se encuentran en la naturaleza se forman por combinaciones de dos
o más átomos de distintos elementos, formando moléculas.
Modelo atómico de Thomson
La teoría atómica de Dalton permitía explicar las combinaciones químicas, pero no permitía entender los fenómenos eléctricos conocidos. En 1897, J. J. Thomson descubre la existencia
del electrón (“corpúsculos” con carga negativa) tras realizar una serie de experimentos con
rayos catódicos. Posteriormente, en 1904, propuso un nuevo modelo que permitiese explicar
la existencia de los electrones, modificando así la teoría de Dalton. En el modelo propuesto,
suponía que cada átomo era como esfera con carga eléctrica positiva en la que se encontraban distribuidos de forma uniforme los electrones o cargas negativas. Así, según el modelo de
Thomson, cada átomo era eléctricamente neutro (igual número de electrones que de cargas
positivas) a no ser que se cargase, positivamente si perdía electrones o negativamente si los
ganaba. Sin embargo, esta constitución de la materia presuponía una estructura compacta
con muy pocos espacios en los que se pudieran desplazar partículas libres.
Experimento y modelo atómico de Rutherford
Para estudiar con más detalle la estructura de la materia, Ernest Rutherford probó a
bombardear una lámina de pan de oro con partículas alfa. Estas partículas son átomos de
helio completamente ionizados, faltan sus dos electrones, por lo que tienen carga eléctrica
positiva +2qe (qe es la carga eléctrica de un electrón). Según el modelo de Thomson, la
materia estaba formada por átomos, pesados y compactos, de forma que la mayor parte de las
partículas lanzadas contra un material extremadamente delgado debería chocar con un átomo
y serían muy pocas las partículas capaces de “colarse” por los espacios entre átomos. Por
tanto, supuso una sorpresa para Rutherford el hecho de que la mayoría de las partículas alfa
atravesaban la lámina e impactaban sobre un detector posterior casi sin desviarse en la lámina
siguiendo una trayectoria casi rectilínea, mientras que unas pocas partículas presentaban
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CAPÍTULO 1. CAMPO ELÉCTRICO Y PROPIEDADES ELÉCTRICAS DE LA MATERIA
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grandes desviaciones o rebotaban en la lámina. Este resultado hacía entrever una estructura
muy abierta o vacía en la que la colisión de las partículas era poco probable y desmontaba
la teoría propuesta por Thomson.
Haz incidente de
partículas alfa
Fuente de
partículas
alfa
Haz
desviado
Haz
directo
Lámina de
pan de oro
Detector
circundante
Figura 1.3: Representación esquemática del experimento de Rutherford.
Con estos nuevos datos, en 1911, Rutherford propuso un nuevo modelo que se ajustara
a las observaciones. En él, la masa positiva estaría concentrada en un núcleo diminuto en
comparación con el volumen de todo el átomo con los electrones moviéndose alrededor de ese
núcleo. El núcleo concentraría casi toda la masa y toda la carga positiva del átomo, mientras
que los responsables de la carga negativa seguirían siendo los electrones. Lógicamente, esos
electrones se verían atraídos por la carga positiva del núcleo, por lo que propuso que los
electrones orbitaran como si se tratara de un sistema planetario, de forma que se equilibrara
las fuerzas eléctricas de atracción con las fuerzas mecánicas de inercia. Es decir, los electrones
estarían dando vueltas alrededor del núcleo en órbitas, aunque éstas no serían precisas, dando
al átomo una forma indefinida. Por otra parte, los resultados obtenidos en el experimento
permitieron realizar algunas conjeturas respecto al tamaño relativo de los elementos del
átomo pronosticando una distribución espacial de partículas en la que el radio del núcleo
sería diez mil veces menor que el del átomo. Para el oro, concluyó que el radio del núcleo es
de 32 · 10−15 m, mientras que su radio atómico es de 144 · 10−12 m.
Como se verá posteriormente con el estudio de las leyes del electromagnetismo, este modelo adolece de una contradicción, puesto que una partícula cargada en movimiento acelerado
(todo movimiento curvilíneo lo es, aunque su velocidad absoluta no varíe) emite energía electromagnética y, por tanto, los electrones deberían decelerarse emitiendo energía hasta caer
en el núcleo.
Modelo atómico de Bohr
A partir de las primeras teorías de la mecánica cuántica, planteadas por Max Planck en
1900 y por Albert Einstein en 1905, Niels Bohr propuso un modelo cuantizado del átomo,
en 1913, que permitió justificar las órbitas estables de los electrones alrededor del núcleo,
asignando órbitas circulares específicas de mínima energía a cada uno de los electrones. Cada
una de estas órbitas presentaba un nivel energético concreto que se identificaba con un número
cuántico y únicamente podía ser ocupada por un electrón. Aun cuando este modelo ya está
superado, no deja de ser una buena simplificación de la estructura de la materia, por lo que
resulta muy útil, incluso en la actualidad, para la comprensión de la misma. Las principales
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FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA
aportaciones de este modelo fueron fundamentalmente dos, siendo la primera de ellas la
existencia de órbitas en las que el electrón no emitía energía electromagnética. Por otro lado,
postulaba que los niveles energéticos permitidos para un electrón estaban cuantizados en
múltiplos enteros de la constante de Planck, por lo que un electrón, al cambiar de órbita,
emitía o absorbía cantidades fijas de energía. Esto supuso la segunda aportación del modelo
Bohr, pues así se justificaban los espectros discretos de radiación y absorción que se producen
en los gases como consecuencia de saltos de sus electrones entre distintas órbitas.
Con su modelo, Bohr caracterizó los niveles cuánticos del átomo de hidrógeno, encontrándose una correcta correspondencia con los espectros de radiación observados en el laboratorio
para ese gas. Sin embargo, al intentar trasladar el modelo a otros elementos, se encontró con
que los espectros mostraban niveles de energía distintos en electrones que pertenecían a los
mismos niveles energéticos conocidos. La solución a este problema la aportaron Arnold Sommerfeld y Wolfgang Pauli, entre 1920 y 1925, concluyendo que dentro de un mismo nivel
podían existir dos o más subniveles.
Tabla 1.1: Tabla periódica de los elementos.
Grupo
Período ↓
1
2
3
4
5
6
7
I
1
H
3
Li
11
Na
19
K
37
Rb
55
Cs
87
Fr
II
III
4
Be
12
Mg
20
Ca
38
Sr
56
Ba
88
Ra
IV
V
VI
Gases
VII nobles
5
6
7
8
9
B
C
N
O
F
13 14 15 16 17
Al Si
P
S
Cl
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br
39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53
Y Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Te
I
72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85
* Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg Tl Pb Bi Po At
104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117
** Rf Db Sg Bh Hs Mt Ds Rg
2
He
10
Ne
18
Ar
36
Kr
54
Xe
86
Rn
118
(*)
Lantánidos
57
La
58
Ce
59
Pr
60
Nd
61
Pm
62
Sm
63
Eu
65
Tb
66
Dy
67
Ho
68
Er
69
70
Tm Yb
71
Lu
(**)
Actínidos
89
La
90
Th
91
Pa
92
U
93
Np
94
Pu
95
96
97
Am Cm Bk
98
Cf
99
Es
100
Fm
101
Md
103
Lr
64
Gd
102
No
Según la mecánica cuántica, los electrones de un átomo pueden presentar un conjunto de
estados discretos. Éstos vienen determinados por cuatro números cuánticos que representan
analíticamente un modelo atómico tridimensional.
Para un electrón en órbita, los números cuánticos son n, l, m y s. El número cuántico
principal es n y especifica la capa de un electrón. El número cuántico del momento angular
u orbital es l y representa la magnitud del momento angular del electrón (en función de
este número aparecen los distintos tipos de orbitales s, p, d, f , g, . . . ) El número cuántico
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CAPÍTULO 1. CAMPO ELÉCTRICO Y PROPIEDADES ELÉCTRICAS DE LA MATERIA
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que describe la orientación del plano orbital del electrón respecto a un campo magnético
externo es m. Por último, s es el espín, que puede ser negativo (−1/2) o positivo (+1/2),
según el sentido de rotación del electrón. Estas características permiten ordenar los elementos
conocidos en grupos y series de elementos, dando lugar a una tabla (Tabla 1.1) que concuerda
con la ordenación que presenta la tabla periódica de los elementos de Mendeleev (en la Figura
1.2 puede verse la tabla publicada originalmente).
Posteriormente, se demostró que los electrones no sólo se comportan como corpúsculos de
masa determinada que giran en torno a un núcleo, sino que también presentaban propiedades
ondulatorias. Este nuevo punto de vista llevó a Erwin Schrödinger a reformular, en 1926, el
modelo atómico de Bohr como ecuaciones diferenciales, llegando a la ecuación fundamental
de la mecánica cuántica. Este modelo desecha los postulados mecanicistas que representan a
las partículas, y en particular a los electrones, como esferas cargadas, pasando a describirlas
como funciones de onda. Estas funciones no describen una posición exacta de un electrón
dentro del átomo, sino que representa la probabilidad de presencia de un electrón en una
región acotada del espacio. Al espacio en el que la probabilidad de encontrar al electrón es
elevada se le conoce con el nombre de orbital.
1.2.2.
Moléculas y tipos de enlaces
Hasta ahora se ha comentado la naturaleza atómica de la materia y que la combinación
de los elementos básicos da lugar a todos los compuestos existentes. Por ello, se verá aquí de
una forma muy superficial cómo se unen los átomos elementales para formar la materia que
nos rodea.
Enlace iónico
La teoría de Dalton suponía que debía existir algo que enlazase átomos de diferentes
elementos para dar lugar a otros compuestos químicos. Por ejemplo, se puede preguntar por
los motivos por los que un átomo de cloro (Cl) puede combinarse con un átomo de sodio
(Na) para dar lugar a una molécula de cloruro sódico (NaCl), más conocida como sal común.
La existencia de elementos químicos que se ionicen fácilmente, cediendo o recibiendo algunos
electrones de su capa de valencia, permite explicar la existencia de dos tipos de iones con
carga opuesta que podrían formar una molécula estable. Los experimentos de electrólisis
muestran que el cloruro sódico disuelto en agua se encuentra ionizado en dos tipos de iones,
cationes de sodio (Na+ ) con carga positiva y aniones de cloro (Cl− ) con carga negativa.
Por tanto, la atracción electrostática entre catión y anión permite justificar la combinación
entre elementos que presenten esa característica de tendencia a la ionización. Este tipo de
enlace entre átomos se denomina enlace iónico y es más habitual entre elementos de los
grupos I y II (forman cationes) de la tabla periódica con elementos de los grupos VII y VI
(forman aniones).
Enlaces covalente y metálico
La existencia de moléculas con dos átomos idénticos hace que no sea aplicable la teoría
de la atracción electrostática para explicar los enlaces de dichas moléculas. Por ejemplo, una
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FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA
molécula de oxígeno está formada por dos átomos de oxígeno que, como es lógico, tienen la
misma afinidad por los electrones de su capa de valencia. El enlace que une a estos átomos
se denomina enlace covalente y se justifica a partir de la teoría de Bohr, suponiendo que la
combinación de estos átomos da lugar a unos niveles energéticos más estables en combinación
que por solitario y que, por tanto, existen “órbitas” en las que ambos átomos comparten los
electrones de valencia. Algo parecido sucede con el enlace metálico, en el que un número
indefinido de átomos comparten los electrones de valencia. Estas cuestiones se explicarán con
más detalle en el Capítulo 2 al tratarse la teoría de bandas en metales y semiconductores,
lo que condiciona la conducción eléctrica.
Enlaces y conducción eléctrica
Aunque se dedicará el Capítulo 2 a estudiar estas cuestiones, conviene aquí adelantar que
el tipo de enlaces presente en un material suele ser de gran importancia en las características
eléctricas de dicha sustancia. Más concretamente, una de sus características fundamentales es
la facilidad o no que presenta un material para que los electrones de las órbitas más externas
de sus átomos puedan pasar a otros átomos; así, si el material facilita esos movimientos,
entonces se dice que es conductor, mientras que, por el contrario, si tiende a impedirlos se
denomina aislante.
1.3.
Electrización de los materiales
Los materiales se encuentran habitualmente en equilibrio electrostático, esto es, con sus
átomos en estado neutro. Sin embargo, el primer método conocido de romper ese equilibrio
consiste en frotar entre sí dos cuerpos de los que al menos uno debe ser aislante. Es sobradamente conocido el experimento de frotar un bolígrafo de plástico contra una tela, resultando
que así es posible atraer pequeños trozos de papel con dicho bolígrafo. Este fenómeno se
conoce como efecto triboeléctrico y se basa en la separación de cargas de los átomos de la superficie de los materiales frotados. No se consigue el mismo efecto con todos los materiales y
suele ser más pronunciado con algunas sustancias conocidas desde la antigüedad, como el ámbar, el vidrio, la ebonita, el papel o telas de distintos tipos. Materiales plásticos como láminas
de poliestireno, de PVC o bolsas de polipropileno también son fácilmente electrizables.
(a)
(b)
(c)
Figura 1.4: Electrización: (a) por fricción, (b) por inducción y (c) por contacto.
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CAPÍTULO 1. CAMPO ELÉCTRICO Y PROPIEDADES ELÉCTRICAS DE LA MATERIA
11
La electrización es un proceso mediante el cual un objeto adquiere carga eléctrica, ya sea
positiva (ausencia de electrones) o negativa (presencia de electrones). Por otra parte, como
consecuencia de dicha electrización, se observa que dos objetos electrizados con el mismo tipo
de carga se repelerán, mientras que con distinta carga producirán fuerzas atractivas. Este
proceso de intercambio de electrones tiene lugar cuando se frotan dos sustancias aislantes
o una sustancia aislante con una conductora, como se muestra en la Figura 1.4(a). Cuando
se frotan dos sustancias conductoras, también se produce este efecto, pero no permanece en
el tiempo, ya que como las cargas pueden desplazarse libremente por un conductor, éstas
vuelven a distribuirse rápidamente por los conductores cuando se dejan de frotar, restableciéndose el estado neutro original. Por el contrario, en los aislantes, este efecto persiste en
el tiempo, pues al dejar de frotarlos las cargas no pueden desplazarse y permanecen en el
material al que se han desplazado debido a la fricción.
Un ejemplo típico de electrización puede observarse en los automóviles, pues éstos adquieren cierta carga eléctrica por la fricción del aire sobre la pintura aislante exterior. Como
la estructura del vehículo es fundamentalmente conductora, pero está aislada del suelo por
los neumáticos, la carga se distribuye por todo él, pero no se descarga a tierra hasta que
alguno de los pasajeros, al descender del vehículo y tocar con los pies en el suelo, conecta
involuntariamente el vehículo con tierra produciéndose la descarga de electricidad estática.
Existe una aplicación práctica de la electrización, de uso cotidiano, que es su utilización
en las máquinas fotocopiadoras, en las cuales se electriza selectivamente una hoja de papel
para que atraiga las partículas de tinta en polvo (denominado tóner) que se fijan sobre el
papel formando la imagen copiada.
Actualmente, ha adquirido gran importancia el conocimiento de los fenómenos de electrización, pues son los responsables de grandes desperfectos en la industria electrónica, ya
que al manipular circuitos electrónicos es posible destruirlos si se produce una descarga electrostática (ElectroStatic Discharge, ESD). Por ese motivo es de gran importancia el conocer
qué materiales pueden producir una mayor electrización y cómo mantenerlos descargados.
Por ejemplo, una persona que camina sobre una alfombra en un ambiente de gran sequedad
puede llegar a acumular una gran cantidad de carga, por lo que si se trata de un operario que
deba manipular, por ejemplo, unos circuitos integrados de memoria de un equipo informático
puede destruirlos con sólo tocarlos con una mano. Así, en la industria electrónica, es habitual el que los operarios deban portar unas pulseras conectadas eléctricamente a tierra, que
vistan trajes y calzado especiales y que trabajen sobre alfombras y tapetes que conduzcan
fácilmente la carga eléctrica a tierra.
Se ha comentado que la capacidad de electrización por fricción no es la misma con todos
los materiales, sino que algunos de ellos lo hacen en mayor medida. Existe una clasificación
experimental de muchos materiales que permiten conocer si es más o menos propenso que
otros a cargarse positiva o negativamente. Se trata de la tabla conocida como serie triboeléctrica, de la que se ofrece una muestra en la Tabla 1.2. El algodón es el material
de referencia y, por un lado, el teflón tiene la máxima tendencia a cargarse negativamente,
mientras que, por otro lado, el aire tiene la máxima tendencia a cargarse positivamente. Por
tanto, la electrización es máxima cuando se frotan materiales de los extremos de esa serie.
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12
FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA
Tabla 1.2: Serie triboeléctrica (el algodón es el material de referencia).
Materiales
..
.
electronegativos ↑
Algodón (Referencia)
Teflón
Papel
Silicio
Aluminio
Poliéster
Seda
Oro
Piel
Cobre
Lana
Caucho
Vidrio
Ámbar
Manos
Acero
Aire
Algodón (Referencia)
..
.
Materiales
↓ electropositivos
Ya se ha dejado entrever que el proceso de electrización no sólo se produce por efecto triboeléctrico, sino que al poner en contacto un elemento cargado con otro descargado
se transfieren cargas entre ellos (lo que permite cargar objetos conductores) haciendo que
ambos resulten electrizados con el mismo tipo de carga. A este proceso se le conoce como
electrización por contacto, según se muestra en la Figura 1.4(c)
Existe una tercera forma de electrización, denominada electrización por inducción,
que se produce sin necesidad de contacto entre materiales y se debe a las fuerzas de Coulomb
ejercidas por un objeto cargado sobre los electrones de otro objeto descargado, como puede
verse en la Figura 1.4(b). Este efecto es muy claro cuando un conductor descargado se sitúa
en las inmediaciones de un objeto cargado, pues éste atraerá o repelerá a los electrones
del conductor provocando que éstos se concentren en uno de sus extremos dando lugar a
un desequilibrio local, aunque el objeto siga siendo eléctricamente neutro. Más adelante se
verá que este fenómeno resulta fundamental en la polarización de aislantes, en la carga de
dispositivos denominados condensadores o en la actuación de elementos electrónicos como
los denominados transistores de efecto campo.
(a)
(b)
Figura 1.5: Dispositivos electrostáticos: (a) electroscopio, (b) balanza de torsión electrostática.
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CAPÍTULO 1. CAMPO ELÉCTRICO Y PROPIEDADES ELÉCTRICAS DE LA MATERIA
13
Un dispositivo que utiliza los mecanismos de electrización estudiados anteriormente es el
electroscopio. Este instrumento fue inventado por el médico inglés William Gilbert (1544-1603)
para experimentar con las cargas electrostáticas y permite comprobar la presencia de un objeto electrizado, su carga eléctrica y el signo de la misma. Como se aprecia en la Figura 1.5(a),
este aparato consiste en una varilla metálica aislada que tiene conectadas en uno de sus extremos dos láminas metálicas delgadas que pueden girar respecto de ese extremo. El otro
extremo es el terminal de carga y suele ser esférico para mejorar sus características electrostáticas, ya que las cargas eléctricas tienden a concentrarse en zonas puntiagudas o de radio
de curvatura pequeño. La varilla se introduce en una botella de vidrio transparente que hace
de aislamiento.
El funcionamiento del electroscopio es sencillo una vez que se conoce el comportamiento
de las cargas eléctricas. Al poner un objeto cargado en contacto con el extremo de la varilla
metálica, ésta se electriza por contacto. Sin embargo, como es conductora, entonces la carga
se distribuye por todo el volumen metálico, láminas incluidas. Debido a que ambas láminas
tienen el mismo tipo de carga, según la ley de Coulomb que se verá a continuación, se
repelerán entre sí distanciándose una de la otra por el extremo libre hasta adquirir un ángulo
tal que la fuerza de repulsión equilibre el efecto mecánico del peso de las láminas, por lo que el
ángulo de abertura de las láminas dependerá de la cantidad de carga que se haya desplazado
a ellas. Además, si se electriza previamente la varilla con una serie de cargas conocidas, es
posible calibrar el electroscopio.
1.4.
Fuerzas y ley de Coulomb
Varias experiencias evidencian la existencia de fuerzas de origen eléctrico. Por ejemplo,
las experiencias de la atracción de pequeñas partículas mediante materiales electrificados o
la de repulsión en las láminas de un electroscopio constatan no sólo la existencia de dichas
fuerzas, sino que pueden ser de signos opuestos, de atracción o de repulsión.
Fue el físico e ingeniero militar francés Charles A. Coulomb, buen conocedor de los esfuerzos mecánicos en hilos y vigas, quien utilizó una balanza de torsión para medir las fuerzas de
atracción y repulsión electrostática, publicando en 1785 la ley que lleva su nombre. Entre sus
conclusiones, establece que la atracción o repulsión electrostática dependen de la desigualdad
o igualdad del signo de las cargas respectivas de los materiales que interactúan.
La balanza utilizada se muestra, de forma esquemática, en la Figura 1.5(b) y consta de
dos esferas equilibradas en peso unidas por una barra y suspendidas por un hilo cuya torsión
era conocida (la relación entre el par de torsión y el giro observado). Si se carga una de estas
esferas y frente a ella se sitúa otra esfera cargada, entonces es posible medir el giro del hilo a
que da lugar la interacción electrostática entre esas esferas. A partir de una serie de medidas
de la torsión del hilo provocada por diversas cargas, Coulomb pudo llegar a las conclusiones
conocidas por la ley que lleva su nombre.
“libro_ffi” — 2008/8/5 — 9:06 — page 14 — #30
14
FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA
1.4.1.
Ley de Coulomb
La ley de Coulomb de la electrostática se puede enunciar mediante las siguientes afirmaciones:
Dos cargas del mismo tipo (signo) se repelen, mientras que si son de tipos distintos se
atraen.
La magnitud de la fuerza de atracción o de repulsión es directamente proporcional al
producto de sus cargas y es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que
las separa.
La dirección en la que se manifiesta dicha fuerza viene determinada por una recta que
pasa por ambas cargas.
o en forma matemática:
F =k
Q1 Q2
d2
(1.1)
donde k es una constante de proporcionalidad de valor igual a 9,0·109 N·m2 /C. Esta constante
equivale a
1
k=
(1.2)
4πǫ0
donde ǫ0 es la denominada permitividad del vacío y su significado se tratará con más
detalle en el Capítulo 3. El valor de la permitividad del vacío es ǫ0 = 8,854 · 10−12 C2 /N·m2 .
Debe observarse que la expresión (1.1) sólo permite calcular la magnitud de la fuerza de
atracción o de repulsión (su módulo), por lo que si desea conocer la dirección y sentido de
la fuerza resultante debe deducirse cualitativamente. En el caso mostrado en la Figura 1.6
puede observarse que, según la ley de Coulomb, las fuerzas sobre las cargas son de atracción
por ser las cargas de signos opuestos. La fuerza sobre QA es idéntica a la fuerza sobre QB ,
pero de signo contrario, lo que resulta acorde con la ley de Newton de acción y reacción.
Y
QA
yA
d
~A
F
A(xA , yA )
~rAB
yB
~B
F
B(xB , yB )
~rA
~rB
xA
QB
xB
X
Figura 1.6: Ley de Coulomb: atracción de cargas de signo opuesto y vectores de posición.
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CAPÍTULO 1. CAMPO ELÉCTRICO Y PROPIEDADES ELÉCTRICAS DE LA MATERIA
15
Para determinar la dirección y sentido de las fuerzas puede ser más adecuada la expresión
siguiente:
QA QB
F~ = k
~uQA −QB
(1.3)
d2
donde ~uQA −QB es un vector unitario (su módulo vale 1) que tiene la dirección de la recta
que pasa por las cargas QA y QB y el sentido indicado por la ley de Coulomb, pero teniendo
en cuenta el principio de acción y de reacción de Newton. Si se desea calcular directamente
la fuerza F~A sobre la carga QA , entonces el sentido de este vector unitario debe ser tal que
“vaya hacia” la carga sobre la que se desea conocer la fuerza, esto es:
QA QB
QA QB
QA QB
F~A = k
~uQB −QA = k
~uBA = k
d2
d2
d2
~r − ~r A
B
|~rA − ~rB |
(1.4)
donde ~rA y ~rB son los vectores directores de los puntos en los que se encuentran esas cargas.
Obsérvese que ~rA − ~rB no es unitario (tiene módulo igual a d), mientras que el término entre
paréntesis en (1.4) sí lo es.
Si se tiene en cuenta que d = |~rA − ~rB |, entonces la ecuación (1.4) puede escribirse como:
QA QB
QA QB
F~A = k
~uBA = k
(~rA − ~rB )
2
d
|~rA − ~rB |3
(1.5)
QA QB
QA QB
F~B = k
~uAB = k
(~rB − ~rA )
2
d
|~rA − ~rB |3
En el ejemplo siguiente se aclarará el significado de los diversos elementos involucrados
en esta ley, especialmente el formalismo matemático utilizado.
EJEMPLO 1.1
Para las cargas QA y QB de la Figura 1.6,
calcule la fuerza de atracción o repulsión en
los casos siguientes:
(a) Las cargas son QA = 7 µC, QB = 5 µC
y están separadas por una distancia d = 3 m
sobre el eje X.
(b) En este caso valores de las cargas son
QA = −7 µC y QB = 5 µC, estando situadas
en los puntos P(x,y): A(−1, 0) y B(2,0), de
unos ejes coordenados con sus unidades indicadas en metros.
(c) La carga QA está situada en A(−3, 0)
y tiene una carga de −7 µC, mientras que la
carga QB está situada en B(0, 4) y tiene una
carga de +5 µC.
(d) Finalmente, suponga que las cargas son
QA = +7 µC, QB = −5 µC y están situadas
en los puntos A(−1, 3) y B(2, −1).
SOLUCIÓN
Caso a: La figura siguiente muestra esta situación:
~A
F
QA
QB
~B
F
X
d
Aplicando la ley de Coulomb, se tiene:
Q1 Q2
7 · 10−6 · 5 · 10−6
= ke
=
2
d
32
= 0,035 N
F = ke
donde se observa que se han tomado los valores absolutos de las cargas, pero se analiza
la situación de forma cualitativa para deducir
que la fuerza en este caso debe ser de repulsión y con dirección del eje X y de sentido positivo sobre la carga B y negativo sobre la car~A = −0,035î N y F~B = 0,035î N
ga A, o sea, F
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16
FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA
Caso b: Ahora, la nueva situación es la mostrada en la figura siguiente:
Y
QA
~A
F
QB
~B
F
donde se ha utilizado tanto la notación cartesiana como la que utiliza los vectores directores de los ejes.
Ahora la distancia entre cargas vale:
X
d
d = |~rAB | =
De la figura se deduce que:
~rBA = ~rA − ~rB =
= (−1, 0) − (2, 0) = −î − 2î =
= −3î = (−3, 0) m
donde se ha utilizado tanto la notación cartesiana como la que utiliza los vectores directores de los ejes.
Aplicando la expresión (1.5), se tiene:
~A = ke QA QB ~
F
uBA =
d2
= ke
(−7 · 10−6 ) 5 · 10−6
(−3î) =
33
p
32 + 42 = 5 m
Aplicando la expresión (1.5), se tiene:
~A = ke QA QB ~
F
uBA =
d2
= ke
7 · 10−6 5 · 10−6
(−3î − 4ĵ) =
53
= −2,52(3î + 4ĵ) mN
Q Q
F~B = ke A 2 B ~
uAB =
d
= ke
7 · 10−6 5 · 10−6
(3î + 4ĵ) =
53
= 2,52(3î + 4ĵ) mN
= 0,035î N
~B = ke QA QB ~
F
uAB =
d2
= ke
(−7 · 10−6 ) 5 · 10−6
(3î) =
33
Caso d: Finalmente, la nueva posición de las
cargas y sus signos se muestra en la siguiente
figura:
Y
QA
= −0,035î N
~A
F
Caso c: Ahora, la figura siguiente muestra
la nueva posición de las cargas y sus signos:
Y
QB
~B
F
QB
X
~B
F
De la figura se deduce que:
~rAB = ~rB − ~rA = (2î − ĵ) − (−î + 3ĵ) =
d
= 3î − 4ĵ m
X
~A
F
QA
De la figura se deduce que:
~rAB = ~rB − ~rA = (4ĵ) − (−3î) =
= 3î + 4ĵ m
donde se ha utilizado tanto la notación cartesiana como la que utiliza los vectores directores de los ejes.
Ahora la distancia entre cargas vale:
d = |~rAB | =
q
32 + (−4)2 = 5 m
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CAPÍTULO 1. CAMPO ELÉCTRICO Y PROPIEDADES ELÉCTRICAS DE LA MATERIA
17
Aplicando la expresión (1.5), se tiene:
~A = ke QA QB u
F
~ BA =
d2
= ke
Q Q
uAB =
F~B = ke A 2 B ~
d
= ke
7 · 10−6 (−5 · 10−6 )
(−3î + 4ĵ) =
53
7 · 10−6 (−5 · 10−6 )
(3î − 4ĵ) =
53
= 2,52(−3î + 4ĵ) mN
= 2,52(3î − 4ĵ) mN
Principio de superposición
Anteriormente se ha evaluado el efecto de una carga sobre otra exponiendo la forma
matemática de la ley de Coulomb para dos partículas cargadas. Sin embargo, es evidente preguntarse por el efecto que sobre una partícula determinada producen varias cargas
dispuestas en sus proximidades.
Debido al carácter vectorial de una fuerza, aquí también puede aplicarse el principio de
superposición por el que la fuerza resultante de la acción combinada de una serie de cargas,
es igual a la suma vectorial de las acciones individuales de cada una de ellas. Así, la fuerza
resultante sobre una partícula cargada QP , situada en el punto P del espacio, debida a la
acción de varias cargas Q1 . . . Qn situadas en los puntos con vectores de posición ~r1 . . . ~rn es
igual a la suma vectorial de cada una de las acciones individuales, F~1P . . . F~nP . Según (1.4),
la fuerza F~iP ejercida por una carga Qi , situada en el punto de vector director ~ri , sobre la
carga QP , situada en P, con vector director ~rP es:
QP · Qi
QP Qi
F~iP = k
~uiP = k
(~rP − ~ri )
d2iP
|~rP − ~ri |3
(1.6)
donde diP es la distancia entre las cargas Qi y QP .
Por tanto, al aplicar el principio de superposición, se tiene que la fuerza resultante sobre
QP es:
n
n
n
X
X
X
Qi
Qi
F~P =
F~iP = kQP
~
u
=
Q
(~rP − ~ri )
(1.7)
iP
P
2
d
|~
r
ri |3
P −~
iP
1
1
1
EJEMPLO 1.2
Se disponen cuatro cargas QA , QB , QC y
QD en los puntos A(2,0), B(−2, 0), C(0,2) y
D(0, −2). Calcule la fuerza que ejercen estas
cargas sobre una carga de −5 µC si se sabe
que todas las cargas son de 20 µC, pero donde las cargas de A y C son positivas, mientras
que las situadas en B y D son negativas.
Y
QC
~P
F
~DP
F
~CP
F
QB
QP
~BP
F
~AP
F
QA
X
QD
SOLUCIÓN
La figura siguiente muestra esta situación:
Como la carga QP está a la misma distancia
de cada una de las otras cargas, entonces la
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18
FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA
se observa que ~
uBP = −~
uAP = î y que
~
uBP = −~
uAP = î, resulta que la fuerza que
ejercen las cuatro cargas sobre QP es:
aplicación de la ley de Coulomb conduce a:
~iP = ke QP Qi ~
uiP =
F
d2iP
= ke
~P = F
~AP + F
~BP + F~CP + F~DP =
F
−5 · 10−6 · ±20 · 10−6
~
uiP =
22
= 0,035(î + ĵ) N
= ±2,25 ~
uiP N
Finalmente, si las cuatro cargas tuviesen el
mismo signo (positivo o negativo) resultaría
que la fuerza resultante sobre QP sería nula,
independientemente del signo de esta última.
Obteniéndose que los módulos de las cuatro fuerzas son iguales, pero sus direcciones
y sentidos dependen del signo de la carga
Qi y del vector director ~
uiP . Por tanto, si
1.5.
Campo eléctrico
El concepto de campo es una abstracción que facilita el estudio de todo aquello que sea
sensible a dicho campo. Una forma sencilla de comprender el campo eléctrico es analizar la
analogía existente entre las fuerzas de Coulomb y la fuerza de la gravedad, medible sobre la
superficie de nuestro planeta. A todo el mundo le parecerá evidente que el peso de diversas
cantidades de fruta que intentemos comprar en una frutería sólo dependerá de la masa de
la fruta que se ponga sobre la báscula. Pues bien, esto es así porque damos por hecho
que existe un campo gravitatorio terrestre que es constante en toda la superficie terrestre.
Realmente, este campo depende de la masa terrestre y, si se supone constante, dará lugar a
que sobre cualquier masa m que se sitúe en su superficie aparezca una aceleración gravitatoria
constante, ~g, produciendo sobre esa masa una fuerza F~ que, según la segunda ley de Newton,
es F~ = m ~g.
En el caso de las fuerzas electrostáticas, podemos intentar realizar algo análogo asociando
a una o varias cargas un campo eléctrico, de tal forma que, al situar en él una carga
determinada, podremos calcular la fuerza que soporta la nueva carga de forma inmediata
~ al campo eléctrico producido por
mediante una simple multiplicación. Si denotamos por E
un conjunto de cargas, la fuerza de Coulomb que se produce sobre una carga q expuesta a
~ es decir:
dicho campo será igual a q E,
~
F~ = q E
⇒
~
~ = F
E
q
(1.8)
Resulta evidente que con este enfoque, el cálculo del campo eléctrico equivale a calcular la
fuerza que se ejerce sobre una “carga de prueba” positiva de 1 C que se sitúa sobre un punto
en el que se desea conocer el campo.
A partir de la expresión (1.8) se deduce que la unidad del campo eléctrico es el newton por
~ se le denomina intensidad del campo
culombio, N/C. Al módulo del campo eléctrico, E,
eléctrico.
La expresión matemática para el campo eléctrico creado por una única carga Qi situada
en un punto de vector director ~ri es similar a (1.5), pero teniendo en cuenta que el vector
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CAPÍTULO 1. CAMPO ELÉCTRICO Y PROPIEDADES ELÉCTRICAS DE LA MATERIA
19
campo tiene el sentido desde “la carga hacia el punto” P en el que se desea calcular dicho
campo:
~ P = k Qi ~rP − ~ri
E
|~rP − ~ri |3
(1.9)
y, de forma similar, la expresión para el campo producido por N cargas sería:
~P = k
E
N
X
Qi (~rP − ~ri )
|~rP − ~ri |3
1
(1.10)
Líneas de campo
Se conoce por líneas de campo a unas líneas que tienen su origen y su destino en las
cargas eléctricas (o en el infinito) existentes en un determinado entorno, tales que en cada
~ es tangente a la línea de campo. En la
punto de esas líneas el vector campo eléctrico E
Figura 1.7 se muestran algunas líneas de campo producidas por un dipolo (cargas iguales
y de distinto signo). Si se situase una carga de prueba positiva en un punto de una línea de
campo, la fuerza resultante sería tangente a dicha línea (en dicha figura se muestran esos
vectores de campo en cuatro posiciones sobre una línea).
~
E
Figura 1.7: Líneas de campo producidas por cargas iguales y de distinto signo (dipolo).
1.5.1.
Campo eléctrico debido a distribuciones de carga
Hasta ahora se ha visto cómo calcular tanto el campo eléctrico como las fuerzas resultantes
debidos a cargas puntuales. Sin embargo, en la práctica, lo más habitual es encontrar una
cierta cantidad de carga que se encuentra distribuida sobre un objeto por lo que si se desea
conocer el campo eléctrico que existe, por ejemplo, debajo de una línea de alta tensión hay
que tener en cuenta que la carga distribuida a lo largo de dicha línea en vez de pensar en
cargas puntuales.
La carga eléctrica y su distribución espacial
Según se desprende de lo explicado en los apartados anteriores, la mínima unidad de carga
eléctrica que se puede transferir de un cuerpo a otro es la carga de un electrón. Cualquier
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20
FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA
cantidad de carga superior a ésta debe ser múltiplo entero de la carga de un electrón, y por
este motivo se dice que la carga eléctrica está cuantizada. En el Sistema Internacional de
unidades, la unidad de medida de carga eléctrica es el culombio (C), siendo la carga de un
electrón igual a −1,60 · 10−19 C, o lo que es lo mismo, son necesarios 6,24 · 1018 electrones
para tener una carga negativa de un culombio. Un protón tiene la misma cantidad de carga,
pero con signo positivo, aunque el principal protagonista de la electrización es el electrón
debido a que es el que puede desplazarse con mayor o menor facilidad desde unos átomos a
otros. Por tanto, la electrización con carga positiva se debe a la pérdida de electrones.
En general, la carga eléctrica no se encuentra concentrada en un punto, sino que suele encontrarse distribuida por los objetos electrizados de forma homogénea o no. Según las
dimensiones del objeto por el que se distribuye una cierta cantidad de carga, pueden distinguirse tres casos extremos: la distribución lineal de carga, la distribución superficial de carga
y la distribución volumétrica de carga.
1. Si una cantidad de carga eléctrica Q está distribuida por un cuerpo lineal de anchura
despreciable y de longitud L (como puede verse en la Figura 1.10), entonces hablaremos
de densidad longitudinal de carga λ, cuyo valor será, para el caso de que la carga esté
uniformemente distribuida por dicha longitud:
λ=
Q
L
y su unidad de medida es el Cm−1 .
2. Si una cantidad de carga eléctrica Q está distribuida por toda la superficie S de un
cuerpo (como puede verse en la Figura 1.11), entonces hablaremos de densidad superficial de carga σ, cuyo valor será, para el caso de que la carga esté uniformemente
distribuida por dicha superficie:
Q
σ=
S
−2
utilizándose como unidad de medida el Cm .
3. Si una cantidad de carga eléctrica Q está distribuida por todo un volumen V de un
cuerpo, entonces hablaremos de densidad volumétrica de carga ρ, cuyo valor será, para
el caso de que la carga esté uniformemente distribuida por dicho volumen:
ρ=
Q
V
siendo ahora su unidad de medida el Cm−3 .
Campo eléctrico debido a distribuciones de carga
El campo eléctrico para una distribución uniforme de carga en un volumen V es:
~P = k
E
Z
V
ρ
~rρ
dV
|~rP − ~rρ |3
(1.11)
donde la integral representa la suma de las pequeñas contribuciones al campo de cada uno
de los elementos de volumen dV que están cargados con una carga ρ, y ~rρ es el vector de
posición de dicho elemento cargado.
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CAPÍTULO 1. CAMPO ELÉCTRICO Y PROPIEDADES ELÉCTRICAS DE LA MATERIA
21
De forma similar, las expresiones para el campo creado por distribuciones superficiales y
longitudinales de carga son:
Z
~rσ
~P = k
E
σ
dS
|~
r
−
~rσ |3
P
S
(1.12)
Z
~rλ
~
EP = k
λ
dL
|~rP − ~rλ |3
L
Más adelante se verá que el cálculo del campo eléctrico debido a distribuciones de carga
pueden simplificarse en buena parte de los casos mediante la aplicación de la ley de Gauss,
lo que evita la resolución de las expresiones integrales presentadas anteriormente.
1.6.
El flujo eléctrico
Una vez visto el concepto de líneas de campo eléctrico creadas por una carga eléctrica
puntual o por una distribución de cargas, el paso siguiente es cuantificarlo midiendo el número
de líneas de campo que atraviesan una superficie cualquiera. Esta medida cuantitativa la da
el flujo eléctrico.
θ
~
E
~
E
S1
S3
(a)
S2
(b)
Figura 1.8: Definición del flujo eléctrico.
~ y una superficie S1 perpendicular al campo y de
Sea un campo eléctrico uniforme E
área A, tal y como se representa en la Figura 1.8(a). Como la densidad de líneas de campo
eléctrico es proporcional a la intensidad del campo, E, el número de líneas que atraviesa la
superficie A1 será proporcional al producto de E por A. De esta forma, se define el flujo
eléctrico como el producto de la intensidad del campo eléctrico E por el área A de la
superficie perpendicular al campo:
Φ=EA
(1.13)
A partir de esta expresión, se deduce que la unidad del flujo eléctrico es el newton-metro
cuadrado por culombio, Nm2 /C. Más adelante se verá que otra unidad del campo eléctrico
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22
FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA
es el voltio por metro, V/m, por lo que el flujo eléctrico también puede expresarse en voltiometro, Vm:
1
Nm2
= 1 Vm
C
El flujo eléctrico, tal y como se ha visto, se ha definido para una superficie perpendicular
al campo eléctrico. En la Figura 1.8(b), la superficie S2 tiene un área A y no es perpendicular
~ sino que su normal forma un ángulo θ con él; el número de líneas de
al campo eléctrico E,
campo que atraviesan la superficie S2 es igual que el que atraviesa la superficie S3 , que sí es
perpendicular al campo eléctrico y cuya área es A cos θ. Así, para una superficie cualquiera
~ se define el flujo eléctrico
de área A cuya normal forma un ángulo θ con el campo eléctrico E,
como:
~ ◦A
~
Φ = E A cos θ = E
(1.14)
~
dA
θ
~
E
△A
Figura 1.9: Definición del flujo eléctrico a través de un elemento diferencial de superficie.
En general, para una superficie cualquiera, el campo eléctrico puede variar tanto en
intensidad como en el ángulo que forma con la normal a la superficie. Para obtener una
expresión general del flujo eléctrico, considérese ahora un pequeño elemento diferencial de
superficie de área ∆A de una superficie cualquiera, tal y como se representa en la Figura 1.9.
El flujo eléctrico ∆Φ a través de ese pequeño elemento de superficie es:
~ ◦ ∆A
~
∆Φ = E ∆A cos θ = E
(1.15)
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CAPÍTULO 1. CAMPO ELÉCTRICO Y PROPIEDADES ELÉCTRICAS DE LA MATERIA
23
Integrando esta expresión para toda la superficie considerada, S, se obtiene el flujo total
a través de ella:
Z
~ ◦ dA
~
Φ= E
(1.16)
S
Supóngase ahora que la superficie considerada es una superficie cerrada (es decir, una
superficie que divide el espacio en dos regiones, una interior y otra exterior a ella, de tal
forma que para pasar de una a otra siempre hay que atravesar la superficie). El flujo eléctrico
total o neto ΦC es proporcional al número neto de líneas de campo que atraviesan esa
superficie cerrada, entendiendo por tal al número de líneas de campo eléctrico que salen de la
superficie menos el número de líneas que entran en ella. Matemáticamente, se expresa como:
ΦC =
I
~ ◦ dA
~=
E
I
(1.17)
En dA
H
donde el símbolo representa la integral sobre una superficie cerrada y el término En es la
componente del campo eléctrico normal a la superficie en el elemento de superficie diferencial
dA. Aunque el cálculo de esta integral en muchos casos puede resultar complejo, en otros es
sencillo si existe simetría en la superficie o si el campo eléctrico es uniforme. El ejemplo 1.3
permite ilustrar esta sencillez.
EJEMPLO 1.3
Sea el prisma triángular de la figura que se
encuentra dentro de un campo eléctrico uni~ orientado en la dirección del eje x.
forme E
Calcular el flujo eléctrico neto que atraviesa
la superficie cerrada definida por el prisma.
que el flujo eléctrico en cada una de ellas es
cero, ya que las líneas de campo eléctrico no
las atraviesan. Lo mismo ocurre con la base
rectangular paralela al plano xz.
Para la cara cuadrada paralela al plano
yz, el flujo eléctrico es, según (1.14):
Φ1 = EA cos 180o = − Ea2
Y
~
E
El signo menos indica que las líneas de campo eléctrico en esa cara entran en la superficie
cerrada definida por el prisma. Para la cara
inclinada, el flujo eléctrico es:
~
dA
θ
~
dA
a
α
X
Z
Φ2 = EA cos θ =
=E
SOLUCIÓN
El flujo eléctrico neto ΦC puede calcularse
como la suma del flujo que atraviesa cada
una de las cinco caras del prisma. Las dos
caras triangulares, como se observa en la figura, son paralelas al campo eléctrico, por lo
a2
cos(90o − α) = Ea2
sen α
Así, el flujo total o neto que atraviesa la superficie cerrada definida por el prisma es:
ΦC = Φ1 + Φ2 = − Ea2 + Ea2 = 0
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FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA
Este resultado se podía anticipar, ya que al
ser el campo eléctrico uniforme y exterior al
prisma (no hay cargas en su interior), el número de líneas de campo que entran en esa
1.7.
superficie cerrada es igual al de las que salen
y, por tanto, el flujo eléctrico neto es nulo.
La ley de Gauss
En el ejemplo 1.3 se ha visto que al no existir ninguna carga en el interior del prisma,
el flujo eléctrico es nulo. Este mismo resultado se obtiene para cualquier superficie cerrada
en cuyo interior no haya una carga neta. Por tanto, lo que interesa son los casos en los que
dentro de la superficie cerrada existe una carga puntual o una distribución de cargas con
una carga neta no nula; la relación que exista entre el flujo eléctrico neto que atraviesa la
superficie y la carga neta que hay dentro de ella se conoce como ley de Gauss y es una de las
leyes fundamentales de los campos eléctricos.
Para llegar a esta ley, considérese una esfera hueca de radio r y espesor despreciable y
una carga puntual q situada en su centro. A partir de la ley de Coulomb, el campo eléctrico
en cualquier punto de la superficie esférica debido a la carga q es:
E=k
q
r2
(1.18)
En este caso, las líneas de campo eléctrico son radiales, perpendiculares a la superficie en
todos sus puntos y dirigidas hacia fuera (ya que se considera que la carga q es positiva). De
esta forma, al aplicar la expresión (1.17), el flujo neto a través de la superficie esférica es:
ΦC =
I
En dA = E
I
dA =
kq
(4πr2 ) = 4πkq
r2
(1.19)
y teniendo en cuenta el valor de la constante de Coulomb (k = 1/4πǫ0 ), resulta:
ΦC =
q
ǫ0
(1.20)
Como se puede apreciar, el resultado es independiente del radio r de la esfera y depende
sólo de la carga q encerrada en ella. Este resultado obtenido para el caso particular de una
superficie esférica se demuestra que es válido para cualquier superficie cerrada, denominada
también superficie gaussiana, y constituye la ley de Gauss.
La ley de Gauss es, por tanto, la generalización del caso anterior y establece que el
flujo eléctrico neto a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga neta que se
encuentra en su interior dividida por la permitividad del vacío ǫ0 . De forma integral, la ley
de Gauss se puede escribir como:
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CAPÍTULO 1. CAMPO ELÉCTRICO Y PROPIEDADES ELÉCTRICAS DE LA MATERIA
ΦC =
I
~ ◦ dA
~ = qint
E
ǫ0
25
(1.21)
~ es el campo eléctrico total
Al aplicar la expresión (1.21) ha de tenerse en cuenta que E
y, por tanto, incluye tanto el campo eléctrico creado por las cargas que se encuentran en el
interior de la superficie gaussiana como cualquier otro campo eléctrico exterior a ella.
La ley de Gauss se puede aplicar también en sentido inverso, es decir, para calcular
el campo eléctrico creado por una distribución cualquiera de cargas. Sin embargo, y por
sencillez, esto se hace sólo en aquellos casos en los que hay una elevada simetría, como, por
ejemplo, cuando la distribución de cargas tiene simetría esférica, cilíndrica o plana. Algunos
de estos casos se analizan a continuación.
1.7.1.
Esfera uniformemente cargada
Sea una esfera aislante de radio R con una carga total Q distribuida uniformemente en su
volumen, lo que se corresponde con una carga por unidad de volumen ρ constante de valor
ρ = Q/V . Para calcular el campo eléctrico en cualquier punto exterior a la esfera situado a
una distancia r del centro (y, por tanto, r > R), se elige como superficie gaussiana una esfera
concéntrica de radio r. Aplicando la ley de Gauss, se tiene:
ΦC =
Q
= EA = E 4πr2
ǫ0
(1.22)
de donde se obtiene:
E=
Q
Q
=k 2
2
4πr ǫ0
r
(1.23)
Es decir, el campo eléctrico en cualquier punto exterior a la esfera es igual que el que
produce una carga puntual Q situada en el centro de la esfera.
Para calcular la intensidad del campo eléctrico en un punto cualquiera de la esfera a una
distancia r de su centro (y, por tanto, r < R), se toma como superficie gaussiana una esfera
de radio r. Aplicando la ley de Gauss, se tiene ahora:
ΦC =
qint
= E 4πr2
ǫ0
(1.24)
Como la distribución de carga por unidad de volumen en la esfera es uniforme, la carga
qint en el interior de la superficie cerrada elegida es:
r3
4
qint = ρ πr3 = Q 3
3
R
(1.25)
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26
FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA
Sustituyendo este valor en la expresión (1.24) y despejando E, se obtiene:
E=Q
r3
1
Q
=k 3 r
R3 ǫ0 4πr2
R
(1.26)
¿Qué ocurriría en el caso de que toda la carga Q estuviese distribuida uniformemente en la
superficie de la esfera (caso de una esfera aislante hueca de espesor despreciable)? Aplicando
la ley de Gauss y operando de la misma forma, para cualquier punto exterior a la esfera
hueca se obtiene que la intensidad del campo eléctrico es la dada por la expresión (1.23),
mientras que para cualquier punto interior es nulo.
1.7.2.
Distribución longitudinal uniforme de carga
Sea una distribución lineal de carga de longitud infinita en la que la carga por unidad de
longitud es λ. Para calcular el campo eléctrico a una distancia r de la carga lineal se toma
como superficie gaussiana un cilindro de radio r y longitud l cuyo eje coincida con el de la
distribución de carga, tal y como se representa en la Figura 1.10.
r
l
~
dA
~
E
Figura 1.10: Distribución longitudinal uniforme de carga.
~ creado por la carga lineal es perpendicular a la superficie curva
El campo eléctrico E
del cilindro y de valor constante en cualquier punto de esa superficie. En las dos tapas del
~ es paralelo a la superficie, el flujo eléctrico a través de ellas es cero. De esta
cilindro, como E
forma, el flujo eléctrico neto corresponde sólo a las líneas de campo eléctrico que atraviesan
la superficie curva del cilindro. Aplicando la ley de Gauss, se tiene:
ΦC =
qint
λl
=
= E 2πrl
ǫ0
ǫ0
(1.27)
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CAPÍTULO 1. CAMPO ELÉCTRICO Y PROPIEDADES ELÉCTRICAS DE LA MATERIA
27
de donde se despeja el valor del campo eléctrico:
E=
1.7.3.
λ
λ
= 2k
2πǫ0 r
r
(1.28)
Superficie plana uniformemente cargada
Sea una superficie aislante plana e infinita que tiene una carga por unidad de superficie σ
uniforme. El campo eléctrico que crea será también uniforme, perpendicular a la superficie y
de sentidos opuestos en cada lado de la superficie, tal y como se representa en la Figura 1.11.
Para calcular el campo eléctrico en un punto situado a una distancia x de la superficie plana,
se toma como superficie cerrada un cilindro de radio r y longitud 2x perpendicular a la
superficie.
~
E
~
E
Figura 1.11: Superficie plana uniformemente cargada.
El flujo eléctrico a través de la superficie curva del cilindro es cero, ya que el campo
~ es perpendicular a la normal de esa superficie en todos sus puntos. Por tanto, el
eléctrico E
flujo eléctrico neto será únicamente el debido a las líneas de campo eléctrico que atraviesan
las dos tapas circulares del cilindro:
ΦC = EA = E2πr2
(1.29)
La carga encerrada en la superficie gaussiana es la que corresponde a un círculo de radio
r (que es la intersección entre el cilindro y la superficie plana), por lo que al aplicar la ley de
Gauss, resulta:
ΦC =
qint
πr2 σ
=
= E 2πr2
ǫ0
ǫ0
(1.30)
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FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA
de donde se despeja el valor del campo eléctrico:
E=
σ
2ǫ0
(1.31)
Como se observa, la distancia x entre el punto y la superficie plana no aparece, por lo que
el valor del campo eléctrico es el mismo para cualquier distancia al plano plano cargado. Es
decir, el campo eléctrico es uniforme en todos los puntos y perpendicular a la superficie del
plano. Este resultado tiene una importante aplicación práctica para el caso del condensador
de placas paralelas, que se verá en el Capítulo 3.
1.8.
Conductores en equilibrio electrostático
Un conductor es un material generalmente metálico, como, por ejemplo, el cobre, que
posee una cierta cantidad de electrones que pueden moverse libremente dentro del material,
ya que no están ligados a sus átomos. Esto hace que en presencia de un campo eléctrico en
el conductor esos electrones se muevan originando una corriente eléctrica (esta característica
eléctrica de los materiales es el objeto del capítulo siguiente). Sin embargo, cuando dentro
de un conductor no hay un movimiento neto de carga eléctrica, se dice que el conductor está
en equilibrio electrostático. Un conductor en equilibrio electrostático tiene las siguientes
propiedades:
El campo eléctrico en cualquier punto del interior del conductor es cero.
Cualquier exceso de carga en un conductor aislado está situada enteramente sobre su
superficie.
El campo eléctrico en cualquier punto exterior sobre la superficie del conductor es
perpendicular a la superficie y tiene un valor de σ/ǫ0 , donde σ es la carga por unidad
de superficie en ese punto.
En un conductor de forma irregular, la carga tiende a acumularse en regiones donde el
radio de curvatura de la superficie es menor, como, por ejemplo, las puntas.
La primera propiedad se comprende fácilmente a la vista de la Figura 1.12. Considérese
una lámina de material conductor aislada que tiene un cierto espesor (aunque menor que el
~ uniforme. Ante la
resto de sus dimensiones) situada dentro de un campo eléctrico exterior E
presencia del campo eléctrico exterior, los electrones libres del conductor se moverán hacia
la izquierda, dejando la cara derecha de la lámina con una carga neta positiva (por falta de
electrones) y la cara izquierda con una carga negativa (por exceso de electrones) del mismo
valor absoluto. Esta distribución de cargas hace que en el interior del conductor aparezca un
~ que anula el campo eléctrico exterior. Este movimiento de
campo eléctrico interno de valor −E
cargas se realiza rápidamente, de forma que en un buen conductor el equilibrio electrostático
se recupera en un orden de microsegundos. Así, el campo eléctrico en el interior del conductor
es cero, mientras que las líneas de campo del campo eléctrico exterior terminan en la cara
izquierda de la lámina conductora y empiezan de nuevo en la cara derecha.
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CAPÍTULO 1. CAMPO ELÉCTRICO Y PROPIEDADES ELÉCTRICAS DE LA MATERIA
~
E
29
~
E
Figura 1.12: Equilibrio electrostático: lámina conductora aislada situada en el interior de un campo
eléctrico.
A partir de esta primera propiedad y de la ley de Gauss, se demuestran las propiedades
segunda y tercera. Considérese una superficie gaussiana cualquiera dentro del conductor que
esté próxima a su superficie. Como el campo eléctrico es cero dentro del conductor, tal y
como se ha visto, también lo será en cualquier punto de la superficie gaussiana considerada
y, por tanto, el flujo eléctrico neto que la atraviesa también será cero. A partir de este hecho
y mediante la ley de Gauss, se concluye que no puede haber carga neta dentro de la superficie
cerrada considerada, que está dentro del conductor, por lo que cualquier carga neta que exista
en el conductor ha de encontrarse necesariamente en su superficie.
La cuarta y última propiedad de los conductores en equilibrio electrostático indica cómo
se distribuye ese exceso de carga (carga neta) en la superficie del conductor. La demostración
de esa propiedad se hace en el apartado 3.4, ya que son necesarios conceptos desarrollados
en los próximos capítulos.
EJEMPLO 1.4
σDcha = ǫ0 E =
La lámina plana conductora de la Figura 1.12
es un cuadrado de 10 m de lado y el campo
~ uniforme y perpendicular a esa
eléctrico E
lámina tiene un valor de 500 kN/C. Calcular:
(a) la densidad de carga en cada una de las
dos caras de la lámina conductora; (b) la densidad de carga y el campo eléctrico sobre la
superficie de cada cara si sobre la lámina se
sitúa una carga neta adicional de 0,2 mC.
= 8,85·10−12 · 500·103 =
= 4,425 µC/m2
En la cara de la izquierda, como las líneas
de campo entran en la superficie, su signo será
negativo y, por tanto, la densidad superficial
de carga será:
σIzq = ǫ0 E =
SOLUCIÓN
(a) En la cara derecha de la lámina conductora la densidad de carga es:
= 8,85·10−12 · −(500·103 ) =
= −4,425 µC/m2
(b) La carga neta adicional de 2 · 10−4 C se
distribuye por igual entre las dos caras de la
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FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA
lámina para que el campo eléctrico en su interior siga siendo nulo. Como la lámina es un
cuadrado de 10 m de lado, la densidad de carga adicional que se sitúa en cada cara es:
EDcha =
=
1 2 · 10−4
·
= 1 µC/m2
2
102
Luego las densidades de carga que hay en cada cara de la lámina son:
σIzq = −4,425 + 1 = −3,425 µC/m2
El valor del campo eléctrico en un punto situado sobre la superficie derecha de la
lámina y alejado de sus extremos es:
5,425·10−6
= 613 kN/C
8,85·10−12
Y en un punto situado en la superficie de la
cara izquierda es:
EIzq =
=
σDcha = 4,425 + 1 = 5,425 µC/m2
σDcha
=
ǫ0
σIzq
=
ǫ0
−3,425·10−6
= − 387 kN/C
8,85·10−12
El signo negativo significa que el sentido
del campo eléctrico es opuesto al de la normal
a la superficie, lo que en este ejemplo indica
que el campo eléctrico entra en la cara del
lado izquierdo de la lámina conductora, tal y
como se representa en la Figura 1.12.
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CAPÍTULO 1. CAMPO ELÉCTRICO Y PROPIEDADES ELÉCTRICAS DE LA MATERIA
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Ejercicios
E_1.1 Calcular la relación que existe entre la fuerza electrostática y la fuerza gravitatoria
ejercidas entre dos protones.
E_1.2 Sean dos cargas puntuales q1 y q2 situadas, respectivamente, en los puntos (0,0)
y (4,0) del plano XY (las coordenadas están expresadas en metros). Calcular la fuerza que
ejerce cada carga sobre la otra y el punto en el eje X en el que el campo eléctrico es cero
para los dos casos siguientes:
(a) q1 = 1 µC y q2 = 4 µC;
(b) q1 = 1 µC y q2 = −4 µC.
E_1.3 Para los dos casos del ejercicio anterior E_1.2, calcular el campo eléctrico en el
punto (2,2) del plano XY .
E_1.4 Sea una barra aislante delgada de 20 cm de longitud y que tiene una carga
uniforme por unidad de longitud de 50 nC/m. Calcular el campo eléctrico en un punto P
situado a 1 m de la barra en la línea perpendicular a la barra que pasa por su punto medio.
~ = 2000ĵ N/C,
E_1.5 Un electrón entra en un campo eléctrico uniforme paralelo al eje Y , E
6
con una velocidad perpendicular al campo ~v0 = 2 · 10 î m/s. Se pide: (a) ¿qué trayectoria sigue el electrón dentro del campo?; (b) ¿cuánto se habrá desviado después de haber avanzado
1 cm en la dirección del eje X?
E_1.6 La figura E_1.6 representa dos pequeñas esferas cargadas de 100 g de masa que
están suspendidas de un mismo punto mediante dos cuerdas aislantes de 20 cm de longitud
cada una. Sabiendo que el ángulo θ que forma cada cuerda con la vertical es de 15o , calcular
la carga que tiene cada esfera.
l
l
θ
θ
q, m
q, m
Figura E_1.6.
E_1.7 Un disco de 3 cm de radio tiene una distribución uniforme de carga de 5 µC/m2 .
En el eje del disco y a 0,5 m de su centro se encuentra una carga puntual de −10 nC. Calcular
el campo eléctrico en el punto situado en el eje equidistante del centro del disco y de la carga.
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32
FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA
E_1.8 Sea un plano infinito con una densidad de carga superficial de 20 nC/m2 paralelo
al plano XY en z=0 y un segundo plano también infinito y con una densidad de carga
superficial de −20 nC/m2 paralelo al primero y situado en z=1 m. Calcular el campo eléctrico
en cualquier punto de los planos: (a) z=0,2 m; (b) z=0,8 m; (c) z=2 m.
E_1.9 Sea una superficie cilíndrica (cilindro hueco de espesor despreciable) de radio R
que tiene una distribución uniforme de carga por unidad de superficie σ. Aplicando la ley de
Gauss, calcular el campo eléctrico en un punto P situado a una distancia r de su eje para
los dos casos siguientes: (a) P es un punto en el interior de la superficie (r < R); (b) P es un
punto exterior (r > R).
E_1.10 Repetir el ejercicio anterior, E_1.9, suponiendo ahora que el cilindro es sólido
con una distribución uniforme de carga por unidad de volumen ρ.