Definir, razonar, escribir, según el espíritu de las épocas Cantor a

Definir, razonar, escribir, según el espíritu de las épocas
Cantor a Pascal, como Lacan a Freud
María Inés Kaplan
En este trabajo, se tratará de una puntuación de los capítulos 4 y 5 del
libro Pascal, entre Eudoxo y Cantor de Jean-Louis Gardiez, puntuación
orientada hacia una articulación posterior.
I. Definir, razonar
Pascal murió en 1662, habiéndose ocupado de la obra de Euclides,
fundamentalmente en Sobre el espíritu geométrico y el arte de persuadir,
escrito hacia el año 1658. Este texto iba a servir de prefacio a otros textos
posteriormente publicados por Arnauld, incluso amplios fragmentos insertos
en La Lógica de Port Royal en 1662, antes de la muerte de Pascal. También
Leibniz tomó notas del manuscrito de Pascal.
Los elementos de Euclides habían sido editados y traducidos a
mediados del siglo XVI, en una época en la que se produjeron diferencias
lógicas y teológicas importantes. Donde el estatuto de lo que se define, y el
modo de razonar para sacar conclusiones estaba conmovido. Fue una época
en la que se releía y se interrogaba a Euclides.
II. La definición
Se discutía el hecho de que no hubiera en Euclides mismo una única
concepción de la definición en su libro Los elementos. Euclides parecía
querer definir todos los términos que empleaba, aparentando ignorar los
términos indefinidos a partir de los cuales procedía.
Pascal fue probablemente, el primero en quebrar la circularidad de la
definición tradicional. Por ejemplo: “La luz es un movimiento alumbrado de
cuerpos luminosos”.
Gardies señala que Pascal llegó a introducir el concepto moderno de la
definición de una manera casi perfecta. Efectivamente, Pascal estableció la
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necesidad de introducir términos indefinidos por una parte, y de términos
introducidos y construidos por medio de los precedentes, por otra.
Así, la definición se reduce a su simple rol de abreviación.
III. El razonamiento
En esa época, se oponían dos tipos de razonamiento:
1.
El razonamiento apagógico, que tocaba el uso del razonamiento por el
absurdo, venido de Euclides y que prolongaron los jesuitas.
2.
El razonamiento intuicionista, de inspiración cartesiana.
El razonamiento apagógico trata de demostrar algo a partir de lo falso
o absurdo y así conduce a la verdad. La mayor parte de las demostraciones
de Euclides eran de naturaleza apagógica, por la frecuencia de inferencias de
tipo:
((¬p=>p) =>p)
O del tercero excluido:
(p ᴠ ¬ p)
Este razonamiento molestaba a los intuicionistas, de inspiración
cartesiana, ya que para ellos todo conocimiento verdadero y racional
conducía nuevamente a la intuición. Para Descartes, la deducción misma
no se justificaba más que por “un movimiento continuo y sin ninguna
interrupción del pensamiento que ve cada cosa en particular”. Era una
intuición continua, la posibilidad misma de pasar de una intuición verdadera
a otra intuición verdadera. Estaba lejos de deducir lo verdadero de lo falso.
Era entonces, difícil para la época desprenderse de la captura inmediata
de “las ideas claras y distintas”.
Pascal era furiosamente intuicionista en algún aspecto, y en su práctica
como matemático rechazaba el álgebra –al punto que prefería razonar sobre
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un número cualquiera, antes que hacerlo con letras. Este rechazo lo
conducía a dar métodos donde el lector moderno llegaría a fórmulas.
Pero respecto de los razonamientos apagógicos, Pascal no hizo como
algunos contemporáneos, que trataban de enmascararlos, sino que los
invocaba, por el contrario, apoyándose en los jansenitas –para quienes la
razón no escapa a la corrupción de la naturaleza humana– lo que le permitió
sostener que lo verdadero es menos aquello de lo cual podemos captar
directamente la verdad que aquello de lo que podemos establecer la
falsedad de su negación.
IV. El infinito y su escritura entre Pascal y Cantor
Entre Pascal y Cantor, que surge a fines del siglo XIX y principios del
XX, hay una distancia de dos siglos que no hay que olvidar. Hubo
problemas matemáticos que plantearon los griegos y que ni siquiera en el
siglo XVII encontraron solución.
Pero los matemáticos alemanes de la generación de Cantor sí lograron
aportar algunas respuestas. Costaba pasar de los números enteros a los
números reales.
Pascal se sirvió de una definición nominal para justificar la
transferencia del nombre de “número”, de los enteros, a los reales. Se satisfizo
con una noción intuitiva de los reales, por eso se refirió a ellos, como lo
veremos más adelante, como “una nueva raza de números”.
Cantor nos reenvía a un lugar en Pascal: “Como sabemos que es falso
que los números sean finitos, entonces es verdad que hay un infinito en
número”. (En el sentido del número entero). Dice Gardies que acá estamos
obligados a reconocer bajo este “infinito en número”, lo que Cantor
designará por Aleph-0 (
) es decir el número cardinal, o la potencia del
conjunto de los números enteros finitos.
Pascal tiene precursores, y Cantor los cita. San Agustín escribirá en La
ciudad de Dios: “Cada número es finito, pero todos son infinitos”. Si
modernizamos la frase, queda: “Cada número es finito, pero su conjunto es
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infinito”. Con lo que queda casi explícito que: “El conjunto de los números
enteros finitos mismo es infinito”.
Hay algo, sin embargo, en la frase de Pascal: “Como sabemos que es
falso que los números –enteros– “sean finitos, entonces es verdad que hay un
infinito en número”, que no es cantoriano, y que es justamente pascaliano. Es
que el reconocimiento del Aleph-0 (
) no se funda sin un razonamiento
apagógico.
“O bien el número de los enteros es finito o es infinito”, en virtud del
tercero excluido. Ahora bien, no es finito, entonces es infinito. Hay este infinito
en número que es la infinidad de los números finitos. Esto es pascaliano, no
es susceptible de una inferencia directa, sino de una prueba por el
absurdo.
“De esta manera”, agrega Pascal, “podemos conocer la existencia de
algo de lo cual ignoramos su naturaleza. Podemos efectivamente conocer que
hay un Dios, sin saber lo que es”.
Es diferente el encuentro de Cantor con Aleph-0 (
). Cantor no
necesitará fundarlo en un razonamiento por el absurdo. Será el resultado de
inferencias directas.
Cantor primero define al número cardinal o la primera potencia como
esta propiedad característica de los conjuntos que se pueden poner en
correspondencia biunívoca, elemento por elemento y donde es posible que
esta correspondencia sea posible más allá incluso de los conjuntos finitos. Así
la puerta está abierta para una determinación positiva de los números
transfinitos.
Pascal percibe, si no los transfinitos, al menos el primero de los
transfinitos. Par o impar no sobreviven en el pasaje de los números finitos a
otro tipo de números. No es que no haya números infinitos, es que la
distinción par/impar no se aplica a “esta nueva raza de números”. Porque
para Pascal, la definición misma del número - entero - pasaba por el hecho
de que fuera par o impar.
Cantor reconoce aquí un precursor de su propio pensamiento: La
oposición de dos términos no conserva su bella simplicidad más que para los
números finitos. Entonces se propone establecer no solamente que el número
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infinito no es ni par ni impar –única conclusión que se perfilaba en Pascal–
sino que es a la vez par e impar: Lo escribimos a la manera contemporánea.
1)
No es par ni impar. No podemos indicar un número α tal que:
ω = 2xα (par)
2)
ω = 2xα + 1 (impar)
Es a la vez par e impar. Ejemplo con ordinales infinitos:
ω = ωx2 (par)
ω = ωx2 + 1 (impar)
V. El inconsciente y su escritura entre Freud y Lacan
Definir, razonar y escribir son retomados por el psicoanálisis con Freud y
Lacan, para hacer una doble operación discursiva en el Siglo XX. Primero
Freud, a la manera de Pascal. Luego Lacan, a la manera de Cantor.
Retomemos a Pascal: “Lo verdadero es menos aquello de lo cual
podemos captar directamente la verdad que aquello de lo que podemos
establecer la falsedad de su negación”.
Como él, Freud aborda con estilo literario, el problema lógico de la
negación. Pero no como doble negación, una que anula a la otra y la
neutraliza.
No es (¬ ¬ p). Tampoco es (p ᴧ ¬ p).
Es la negación como pivote del pasaje de una dimensión discursiva a
otra, de la dimensión de lo verdadero de la lógica clásica o de la verdad
positiva, a la de la verdad del sujeto. Del sujeto que sueña, que tiene actos
fallidos, que se ríe de un chiste, que hace metáforas. Así, abre una diferencia
entre dos pares: verdadero/falso, y verdad/mentira. Diferencia que da lugar a
esta estructura pulsativa que él llama inconsciente, objeto de estudio del
psicoanálisis.
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Freud nos dice que la negación es la etiqueta, el “Made in Germany” del
inconsciente. Es una negación que pone en acto el habla. La cuestión de una
escritura que le de fundamento es la tarea que se da Lacan, quien encontró,
por ejemplo, nueva escritura para la negación.
En su escrito “La negación”, Freud relata el caso de un paciente que
sueña con una mujer, de quien dice a Freud: “Usted dirá que es mi madre,
pero no es mi madre”. Ejemplo del que no podemos decir que esa mujer
efectivamente sea su madre, pero simultáneamente no podemos decir que no
lo sea, en la medida de que supone que para Freud lo es. El analista sostiene
con su propio cuerpo un término de la negación, y el sujeto el otro.
M: “Es mi madre”
—
M: “Es mi madre”
La barra sobre la M es una negación modificada por Lacan, que
condensa la cópula de dos negaciones diferentes, a la manera cantoriana.
—
M: ~M y ~ ¬ M
Que se lee: Es falso que sea mi madre, pero es falso que no lo sea.
Así como para Pascal había “una nueva raza de números”, para Freud
había “otra raza” de psiquismo, un psiquismo inconsciente, hecho de deseos y
razonamientos inconscientes condensados, cifrados y descifrables.
Así como Cantor introdujo abreviaciones con letras como el Aleph-0,
Lacan introdujo letras como la del objeto a, el $, S1, S2, etc., con las cuales
armó fórmulas como la de la metáfora, la del fantasma, las fórmulas de la
sexuación, entre otras.
También apeló a la topología de grafos, de superficies y nudos en
distintos momentos de su investigación, para dar cuenta de esta estructura del
inconsciente, para inventar la manera de escribir la discontinuidad, o sea un
cambio estructural en la continuidad de la topología. Con lo cual, hizo aportes
a las matemáticas y a la lógica.
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Letras, fórmulas, en lugar de métodos, que van bordeando el agujero
incorporal de la enunciación. La D.I., la recta infinita, el agujero de Dios. (En
francés, homofonía entre La Dei, y D.I.: La Dios).
Referencias bibliográficas:
Freud, Sigmund. “La negación”, en: Obras completas de Sigmund Freud, Vol.
VIII. Biblioteca Nueva, Madrid, 1981.
Gardies, Jean-Louis. Pascal entre Eudoxe et Cantor. Librairie Philosophique J.
Vrin, Paris, 1984.
Lacan, Jacques. Ecrits. Éditions du Seuil, France, 1966.
Lacan, Jacques. El Seminario, Libro 1, Los escritos técnicos de Freud. Paidós,
Buenos Aires, 1995.
Vappereau, Jean-Michel. ¿Es uno o es dos? Ediciones Kliné, Buenos Aires,
1996.
Vappereau, Jean-Michel. Estofa. Ediciones Kliné, Buenos Aires, 1996.
Vappereau, Jean-Michel. Nudo. Ediciones Kliné, Buenos Aires, 2006.
Vappereau, Jean-Michel. Notas inéditas tomadas durante su curso dictado en
Buenos Aires desde 1999 hasta 2012.
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