LEY DE AMPERE La ley de Gauss de los campos eléctricos implica el flujo de E a través de una superficie cerrada; establece que este flujo es igual al cociente de la carga total encerrada dentro de la superficie entre la constante ε0. En cambio la ley de Gauss de los campos magnéticos no es una relación entre campos magnéticos y distribuciones de corriente; establece que el flujo de B a través de cualquier superficie cerrada es siempre 0. Por tanto la ley de Gauss de B no sirve para hallar el campo magnético generado por una distribución de corriente. La ley de Ampere no se formula en términos de flujo magnético, sino más bien en términos de la integral de línea de B alrededor de un trayecto cerrado: r r ∫ B ⋅ dl (Bdlcosθ Producto escalar) A fin de presentar la idea básica de la ley de Ampere, considérese el campo magnético generado por un conductor recto y largo que transporta una corriente I: µ0 I B= 2πr Líneas de campo magnético: círculos centrados en el conductor. Obtengamos la integral de línea de B alrededor de uno de estos círculos de radio r: B En todos los puntos del círculo B y dl son paralelos, por tanto: dl B dl dl I dl B r r B ⋅ dl = Bdl Puesto que r es constante alrededor del círculo, B también es constante, entonces: B r r −µ I µ0 I µ0 I ∫ B ⋅ dl = ∫ Bdl = B ∫ dl = 2πr ∫ dl = 2πr (2πr ) = µ0 I 0 B dl B Si el trayecto de integración está en sentido opuesto, B y dl son antiparalelos y: dl I dl B dl B r r B ⋅ dl = Bdl cos(180) = − Bdl r r ∫ B ⋅ dl = −µ0 I La integral de línea de B es igual a µ0 multiplicado por la corriente que pasa a través del área limitada por el trayecto de integración, con signo positivo o negativo según la dirección de la corriente respecto a la dirección de integración. Regla de la mano derecha: Si los dedos se doblan en la dirección del trayecto de integración, el pulgar indica la dirección de la corriente positiva. Trayectos de integración generales (no círculos): B dl φ r dθ r r B ⋅ dl = Bdl cos ϕ dl cos ϕ = rdθ dθ es es ángulo quesubtiende dl r r µ0 I µ0 I ∫ B ⋅ dl = ∫ 2πr (rdθ ) = 2π ∫ dθ =µ0 I Si la trayectoria no encierra la corriente: B dl φ r dθ r r µ0 I µ0 I ∫ B ⋅ dl = ∫ 2πr (rdθ ) = 2π ∫ dθ =0 Para obtener el enunciado general de la ley de Gauss, supongamos que varios conductores rectos y largos atraviesan la superficie limitada por el trayecto de integración, por ejemplo 3 conductores con corrientes I1, I2 e I3 como en figura. El campo magnético total es la suma vectorial de los campos producidos por los conductores individuales. Por I1 tanto la integral de línea de B es igual a µ0 por la suma algebraica de las corrientes encerradas por el trayecto de integración: X I 2 I3 r r ∫ B ⋅ dl = µ0 ∑ I i = µ0 ( I1 − I 2 + I 3 ) i Si hay otro conductor afuera del trayecto de integración: r r ∫ B ⋅ dl = µ0 ∑ I i = µ0 ( I1 − I 2 + I 3 ) I1 i X I 2 I3 I4 La corriente I4 no contribuye a la integral I X I Si las corrientes encerradas por el trayecto de integración son iguales y en direcciones opuestas, la integral es cero: r r ∫ B ⋅ dl = µ0 ∑ I i = µ0 ( I − I ) = 0 i Si la integral de línea de B es cero, ello NO significa necesariamente que B=0 a todo lo largo del trayecto, sino sólo que la corriente total a través de un área limitada por el trayecto es cero. 28.31 La figura muestra, en sección transversal, varios conductores que transportan corriente a través del plano de la figura. Las magnitudes de las corrientes son I1=4 A, I2=6 A e I3=2 A, con las direcciones que se indican. Se muestran 4 trayectos de integración. ¿Cuál es la integral de línea correspondiente a cada trayecto? (Cada integral implica recorrer el trayecto en sentido contrario a las manecillas del reloj). I1 a) b I3 X b) a I2 c d r r ∫ B ⋅ dl = µ0 0 = 0 a r r ∫ B ⋅ dl = µ0 (− I1 ) = −µ0 I1 b c) r r ∫ B ⋅ dl = µ0 (− I1 + I 2 ) d) r r ∫ B ⋅ dl = µ0 (− I1 + I 2 + I 3 ) c d APLICACIONES DE LA LEY DE AMPERE Campo de un conductor recto y largo que transporta corriente I Como trayecto de integración se toma un círculo de radio r centrado en el conductor en un plano perpendicular al conductor. r r ∫ B ⋅ dl = B ∫ dl = B(2πr ) = µ0 I B= µ0 I 2πr APLICACIONES DE LA LEY DE AMPERE Campo en el interior de un conductor cilíndrico largo r<R R I Un conductor cilíndrico de radio R transporta una corriente I. La corriente se distribuye uniformemente en toda el área de sección transversal del conductor. Halle el campo magnético, en función de la distancia r del eje del conductor, de puntos situados tanto adentro (r < R) como afuera (r > R) del conductor. Para hallar el campo magnético adentro del conductor, se toma como trayecto de integración un círculo de radio r < R. Para hallar el campo magnético afuera del conductor, se toma como trayecto de integración un círculo de radio r > R. r<R r<R R La densidad de corriente J (corriente por unidad de área) en el conductor es: I J= 2 πR r=R I La corriente Ienc encerrada por el trayecto de integración cuando r < R es: I enc 2 I r = J (πr 2 ) = 2 (πr 2 ) = I 2 R πR Por la ley de Ampere: r r r2 ∫ B ⋅ dl = B ∫ dl = B(2πr ) = µ0 I R 2 µ0 I r B= 2π R 2 µ0 I B = Cuando r=R: 2πR r>R R r=R La corriente Ienc encerrada por el trayecto de integración cuando r > R es toda la corriente I que circula en el conductor. I Por la ley de Ampere: r r ∫ B ⋅ dl = B ∫ dl = B(2πr ) = µ0 I B µ0 I B= 2πr r=R r APLICACIONES DE LA LEY DE AMPERE Campo de un solenoide Un solenoide es un alambre enrollado en forma de bobina o un número de espiras con paso acorde a las necesidades donde circula una corriente eléctrica. x x x x x x x Las líneas de campo cercanas al centro del solenoide son aproximadamente paralelas, lo que indica un campo uniforme. Si el solenoide es muy largo en comparación con su diámetro el campo externo es muy debil. c d x x x x x x x b a L b r r ∫ B ⋅ dl = B ∫ dl = BL Para aplicar la ley de Ampere se elige como trayecto de integración el rectángulo abcd. El lado ab, de longitud L, es paralelo al eje del solenoide. Se supone que los lados bc y ad son muy largos, de modo que el lado cd está lejos del solenoide, así que el campo en el lado cd sea tan pequeño que resulta insignificante. b a r r ∫ B ⋅ dl = 0 B constante y paralelo a dl a c B perpendicular a dl b d r r ∫ B ⋅ dl = 0 B=0 r r ∫ B ⋅ dl = 0 B perpendicular a dl c a d c x x x x x x x d b n= número de espiras por unidad de longitud a L r r b r r c r r d r r a r r b r r ∫ B ⋅ dl = ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl = ∫ B ⋅ dl = BL = µ0 I enc a I enc = nLI b c d a El número de espiras en el tramo L es nL BL = µ 0 nLI ⇒ B = µ 0 nI = µ 0 I L n= L N= número total de espiras APLICACIONES DE LA LEY DE AMPERE Campo de un solenoide toroidal Un solenoide toroidal es un solenoide con las espiras enrolladas en forma de rosquilla (toroide). Si el toroide tiene radio R, la longitud del solenoide es L=2πR, entonces: B=0 B=0 µ 0 I B = µ 0 nI = µ 0 I = L 2πR N= número total de espiras El campo magnético afuera del anillo y en la región central del anillo es 0. 28.32 Un conductor sólido de radio a está sostenido por discos aislantes sobre el eje de un tubo conductor de radio interior b y radio exterior c. El conductor central y el tubo transportan corrientes iguales I en sentidos opuestos. Las corrientes se distribuyen uniformemente en las secciones transversales de cada conductor. Deduzca una expresión de la magnitud del campo magnético a) en puntos con distancia del centro a < r < b; b) en puntos con distancia del centro r > c. a) c I b r r ∫ B ⋅ dl = B(2πr ) = µ0 I µ0 I B= 2πr I a b) r r ∫ B ⋅ dl = B(2πr ) = µ0 ( I − I ) B=0 28.34 Un solenoide de 15 cm de largo y 2.5 cm de radio tiene un devanado compacto con 600 espiras de alambre. La corriente en el devanado es de 8 A. Calcule el campo magnético en un punto cercano al centro del solenoide. B = µ0 nI = µ0 600 I = (4π 10 −7 Tm / A) (8 A) = 0.0402T L 0.15m 28.35 Un solenoide ha sido proyectado para crear un campo magnético de 0.27T en su centro. Tiene un radio de 1.4 cm y una longitud de 40 cm, y el alambre puede conducir una corriente máxima de 12 A. a)¿ Cuál es el número mínimo de espiras que debe tener el solenoide? b) ¿Cuál es la longitud total de alambre que se requiere? a ) B = µ0 nI ⇒ n = B 0.270T 7 -1 0 . 00179 10 17900 m = = = µ 0 I (4π 10 −7 Tm / A)(12 A) b) = nL = (17900)(0.4m) = 7160 h = 2πr = 2π (0.014m)(7160) = 629.8m