He also found that the just-noticeable difference (jnd) of the change

Sistemas Lógica Uno
La ley de Weber-Fechner
¿Me creerías si te dijera que tu sentido auditivo funciona "usando logaritmos"?
¡Si! La naturaleza te diseñó usando matemáticas, mira...
Bueno, antes que nada te preguntarás – "¿Qué diablos es un logaritmo?"
Te diré: es una forma de expresar cualquier número como el EXPONENTE de alguna "base"
seleccionada arbitrariamente. Por ejemplo el número "100" puede ser expresado por medio de su
logaritmo, el cual, usando como base al número 10, es igual a "2" (figura 1).
Figura 1. El concepto de logaritmo.
Siendo más específicos, tu oído discrimina el "tono" (altura) de los sonidos de manera proporcional.
¡Los logaritmos y las proporciones están íntimamente relacionados!
Te cuento la historia de éste asombroso descubrimiento...
Ernst Heinrich Weber (1795–1878), anatomista y fisiólogo, descubrió que la diferencia apenas
perceptible (just-noticeable difference) del cambio en magnitud de un estímulo (por ejemplo pequeños
pesos sostenidos en la mano) es proporcional a la magnitud del estímulo y no tanto a un valor
absoluto.
La diferencia apenas perceptible (jnd)
En psico-física, la diferencia apenas perceptible, abreviada con las letras minúsculas jnd, es la diferencia
más pequeña que se puede detectar entre un nivel inicial y un nivel secundario de un estímulo
sensorial particular. Esta diferencia es también conocida como umbral diferencial.
Para diversas modalidades sensoriales, y enfocándose sobre un amplio intervalo de magnitudes lo
suficientemente alejadas de los límites perceptuales superior e inferior, la jnd es una proporción fija de
un nivel sensorial de referencia, y por lo tanto la razón “jnd/referencia” es aproximadamente constante
(es decir, la jnd es una proporción o porcentaje constante del nivel de referencia). Medido en unidades
físicas se tiene:
∆S
=q
S
(1)
∆S = qS
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en donde S es la intensidad original del estímulo; S es el incremento requerido en el estímulo para
que la diferencia sea apenas perceptible (la jnd); y q es una constante.
La ecuación (1) se conoce como ley de Weber.
Ejemplo,
Si 105 gramos pueden ser apenas distinguidos perceptualmente de un peso de 100 gramos, entonces la
jnd (o umbral diferencial) es de 5 gramos.
5
= 0.05
100
Si se duplica el valor de la masa (200 gramos),
∆S = qS
∆S = 0.05 ⋅ 200 = 10
¡El valor de la jnd también se duplica!
A este incremento fraccional “q” mínimo requerido (de 5/100 del peso original) se le conoce como
“fracción de Weber” (para detectar cambios en el peso, en el presente ejemplo).
Esta regla fue descubierta por Ernst Weber, en experimentos sobre umbrales de percepción de pesos
levantados.
Otras tareas de discriminación, tales como la detección de cambios de brillantez, cambios en la altura
de tonos puros, o cambios en la longitud de una línea mostrada en una pantalla, pueden tener
fracciones de Weber distintas, pero todas obedecen la ley de Weber en el sentido de que los valores
observados necesitan cambiarse por al menos una pequeña pero constante proporción para asegurar
que un observador humano pueda detectar confiablemente dicho cambio.
Más tarde, Gustav Theodor Fechner (1801–1887), fisiólogo, ofreció una interpretación teórica
elaborada de los descubrimientos de Weber. Fechner intentó describir la relación entre las magnitudes
físicas de los estímulos y la intensidad percibida de los mismos.
La ley de Weber-Fechner establece que la sensación subjetiva es proporcional al logaritmo de la
intensidad del estímulo.
Dicha ley se deduce a partir de la siguiente ecuación diferencial:
dp = k
dS
S
(2)
en donde,
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dp – diferencial de cambio en la percepción
dS – diferencial de incremento en el valor del estímulo
S – valor inicial del estímulo
k – constante de proporcionalidad a determinarse de manera experimental
El cambio perceptual es proporcional a la fracción de Weber, es decir, a la relación entre el incremento
diferencial apenas perceptible y el valor del estímulo inicial.
Resolviendo la ecuación diferencial se obtiene,
∫ ∫
dp = k
dS
S
p = k ln S + C
(3)
Si definimos So como el nivel más pequeño del estímulo que apenas causará una sensación, entonces
p=0
Por lo que,
0 = k ln So + C
Y se determina el valor de la constante de integración,
C = −k ln So
Sustituyendo éste valor en (3)
p = k ln S − k ln So
p = k(ln S − ln So )
p = k ln
S
So
(4)
Ley de Weber-Fechner
La sensación perceptual subjetiva es proporcional al logaritmo natural de la razón entre el valor del
estímulo físico y el valor de referencia para dicho estímulo.
La ecuación (4) indica que la respuesta perceptual sigue una ley logarítmica. Dicho de otra manera,
para que la sensación perceptual (p) se incremente en pasos iguales, el estímulo correspondiente (S)
debe ser incrementado en una razón constante, es decir, se debe incrementar conforme a una
progresión geométrica.
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A pesar de que la ley de Weber-Fechner parece aplicarse exitosamente a una gran variedad de
respuestas fisiológicas, su validez universal ha sido motivo de debate. Mientras que los estímulos físicos
son cantidades objetivas que pueden ser medidas con toda precisión, la respuesta humana a dichos
estímulos es una cuestión subjetiva.
Hay, sin embargo, una sensación que puede ser medida con gran precisión: la sensación de tono
musical. El oído humano es un órgano extremadamente sensitivo, que puede ser capaz de detectar un
cambio de tono causado por una variación de frecuencia de tan solo el 0.3 porciento. Los músicos
profesionales son muy conscientes de la más mínima desviación de un tono correcto.
Cuando la ley de Weber-Fechner se aplica a los tonos musicales, ésta dice que los intervalos musicales
iguales (incrementos en tono) corresponden a incrementos fraccionales iguales de frecuencia. Por lo
tanto los intervalos musicales corresponden a razones de frecuencia.
Ejemplos,
••
••
••
Una octava corresponde a la razón de frecuencia 2:1
Una quinta corresponde a la razón de frecuencia 3:2
Una cuarta corresponde a la razón de frecuencia 4:3
Cuando escuchamos una serie de notas separadas por octavas, sus frecuencias en realidad se
incrementan conforme a la progresión geométrica 1, 2, 4, 8, 16, etc. Este concepto se ilustra en la
siguiente figura:
Figura 2. Progresión de la nota Do central (C4 – 261.63 Hz).
La figura 2 muestra un ejemplo de progresión tomando como valor inicial la frecuencia
correspondiente a la nota musical Do central (C4 – 261.63 Hz).
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261.63 Hz x 1 = 261.63 Hz
261.63 Hz x 2 = 523.25 Hz
261.63 Hz x 4 = 1046.52 Hz
261.63 Hz x 8 = 2093.04 Hz
261.63 Hz x 16 = 4186.08 Hz
→
→
→
→
→
ln (1) =
ln (2) =
ln (4) =
ln (8) =
ln (16) =
0
1 x ln(2)
2 x ln(2)
3 x ln(2)
4 x ln(2)
El incremento de los valores de frecuencia sigue una progresión geométrica (en color azul), mientras
que la correspondiente progresión de la nota musical se hace conforme a un incremento aritmético (en
color rojo).
La ley de Weber-Fechner aplicada a los tonos musicales
“Para que la sensación de altura de un tono musical se pueda incrementar en progresión aritmética, el valor del
estímulo físico se debe incrementar en progresión geométrica.”
Como resultado de la ley de Weber-Fechner, el pentagrama o pauta, en donde las notas musicales se
escriben, es en realidad una escala logarítmica en la que la distancia vertical (altura) es proporcional al
logaritmo de la frecuencia.
Figura 3. Valores de frecuencia y escritura de la nota musical Do para 5 octavas. La letra “C” con subíndice corresponde a
la notación científica de altura (scientific pitch notation) para la nota Do (C en el sistema de notación inglés).
Las notas musicales están separadas por intervalos iguales (en el sentido vertical), que corresponden a
frecuencias incrementándose conforme a una progresión geométrica. ®
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