Graficando Situaciones Físicas de Movimiento

Taller: Análisis gráfico de situaciones dinámicas
Por: Ricardo De la Garza González, MC. Agenda
y Introducción
y La ciencia escolar
y Enfoque epistémico Modelo de Giere
y Breve semblanza histórica del estudio del movimiento de los cuerpos
y Construcción del Modelo Newtoniano
y Principios básicos
y Movimiento uniforme
y Movimiento uniforme acelerado
y Análisis cinemático de situaciones ordinarias (¿cómo?)
y Situaciones de movimiento en el eje “X”
y Situaciones de movimiento en el eje “y” Caida libre y tiro vertical
y Situaciones de movimiento en los ejes “x” y “y”: Tiro parabólico
y Análisis dinámico (¿por qué?)
y Enfoque de fuerzas: Cantidad de movimiento
y Enfoque energético: Energía potencial gravitacional y energía cinética
y Comentarios y discusiones
Introducción
•
La ciencia escolar
y
y
y
y
construcción gradual de significados mediante su participación eficaz en su propio aprendizaje (Sanmartí, 2002)
busca que los alumnos logren dar sentido a lo aprendido e interpreten su realidad desde un nuevo enfoque, el científico
los modelos tienen un importante componente epistémico (Izquierdo, et al. 2007)
el docente ha de ser un agente activo al realizar una transposición didáctica, donde ha de transformar el saber científico en algo apropiado para ser accesible a alumnos de diferentes edades y en diversos contextos, y que puedan construir modelos sin que por ello dejen de ser rigurosos (Izquierdo, et al, 1999). Introducción
•
Enfoque epistémico Modelo de Giere
Introducción
Breve semblanza histórica del estudio del movimiento de los cuerpos
Una de las finalidades de la física es la descripción y explicación acerca de un
amplio rango de fenómenos y procesos naturales, es decir, resolver los
cómos y porqués
Aristóteles
384 ac- 322 ac.
Galileo
1564-1642
Descartes
1596-1650
Newton
1643-1727
Evidencia Observaciónal Y
Evidencia probatoria
Análisis gráfico de situaciones físicas
y Visualización del fenómeno utilizando CBR 2
y Identificación de variables relevantes y construcción de hipótesis teóricas
y Uso del modelo construido en situaciones varias
Actividad 1. y Define el fenómeno de movimiento que vamos a analizar
y 1. Te vas a acercar rápido
y 2. Me voy a alejar despacio
y Tratemos de identificar las variables que nos permiten visualizar el fenómeno ( se hace el experimento)
y 1. Distancia
y 2. Tiempo
y Se construyen las hipótesis teóricas para construir el modelo
y Modelo y 3. Velocidad Hipótesis teóricas
y
y
y
y
y
Acercarse: La recta se dirige hacia abajo
Alejarse: La recta se dirige hacia arriba
Lento: La recta es poco inclinada
Rápido: La recta es muy inclinada Sin movimiento: La recta es horizontal
Construcción del modelo
y Pedir a los alumnos que traten proponer un modelo matemático para cada sección del fenómeno.
y Discutir como es que se relacionan los adjetivos con el fenómeno:
y Lento
y Rápido
y Acercarse y Alejarse
y Conclusiones acerca del modelo.
y Se le pide al alumno realizar una predicción del experimento a partir de sus hipótesis teóricas
Superposición del modelo y fenómeno vía experimento
Construcción del Modelo Newtoniano
•
Principios básicos
y
y
y
•
Marco de referencia
Desplazamiento
Tiempo
Para un movimiento uniforme la velocidad promedio se define como:
d 2 − d1 Δd
v=
=
t 2 − t1
Δt
d = d0 + v ⋅ t
Ejercicios
y Un vehículo que tiene una velocidad de 35 m/s se mueve hacia el este.
y ¿Cuánta distancia ha recorrido después de 3 hrs?
y 3hrs ‐‐‐‐‐ min ‐‐‐‐‐ seg
y 3 hrs ‐‐‐‐‐‐ seg
y Si la posición del camión al inicio parte del origen. ¿Cuánto tiempo transcurre para que se localice en el kilometro 250
Ejercicios
y Un niño sale de su casa y se mueve hacia el este con una velocidad de 2 m/s. Simultáneamente otro niño que vive a 100 m al este del primero, sale de su casa y se dirige al oeste con una velocidad de 3 m/s. y Analiza simultáneamente el movimiento de los niños y determina el punto en donde se encuentran.
Reflexión crítica del modelo
y ¿Todas las situaciones de movimiento corresponderán al modelo que hemos construido?
y Por ejemplo, que sucede si una pelota cae libremente y rebota con el suelo
y Realicemos el experimento y observemos la gráfica d vs t
y Qué podemos decir de las pendientes para esta situación en distintos punto
y Nueva variables aceleración = cambio de velocidad
Revisión del Modelo Teórico
y Graficas de movimiento
y D vs. T. y
y
y
y
La velocidad es la pendiente
y Caso (+)
y Caso (0)
y Caso (‐)
Modelo y=mx + b Æ d = v t + d0
Existen situaciones donde hay muchas pendientes
V vs. T.
y
La aceleración es la pendiente como cambio de velocidad a= v2‐v1 / t2‐ t1
y Modelo lineal y = mx + b ‐Æ v = v t + v0
Revisión al modelo
•
Movimiento acelerado: Analicemos ahora desde el punto de vista matemático que implicaciones tiene el tener un cambio de velocidad constante en el tiempo:
v = v0 + a ⋅ t
v −v
a= 2 1
t 2 − t1
v = v0 + a ⋅ t
dr
= (v0 + a ⋅ t )
dt
dr = (v0 + a ⋅ t ) ⋅ dt
∫ dr = ∫ (v + a ⋅ t ) ⋅ dt
r = ∫ (v + a ⋅ t ) ⋅ dt
0
0
Área del gráfico Velocidad contra tiempo
Ejemplo
y Imaginemos la siguiente situación:
y Un niño parte del reposo y de una posición a 5 m del origen. Después de 2 seg tiene una velocidad 5 m/s.
A partir de aproximaciones identificar el modelo cuadrático para la distancia recorrida
y Se pretende que partiendo de los datos obtenidos del área debajo de la curva de un movimiento con velocidad variable se llegue a identificar el modelo cuadrático d = ½ a t2.
y Se parte de un movimiento con velocidad inicial = 0 y que parte del origen.
y Posteriormente se completa el modelo para una situación en donde el objeto no empieza en el origen y tiene una velocidad inicial (+) y después (‐) y Se puede terminar el análisis realizando una situación en donde exista desaceleración a(‐)
Movimiento acelerado
y ¿Cuándo un objeto tiene aceleración?
y Cuando hay un cambio de velocidad y Si un objeto cambia su velocidad de 0 m/s a 6m/s en un tiempo de 5 segundos.
y ¿Cómo es la gráfica vel contra tiempo?
m
m
v2 − v1 6 s − 0
=
m=
= 1.2 s = 1.2 m 2
s
s
t 2 − t1
5s − 0
1
6
5
0
y = mx + b
v = 1.2 ⋅ t + 0
y Cual es la velocidad en t=1s, t=2s, t=3s, t=5 segundos?
y V(t=1)=1.2(1)=1.2
y Cual es la distancia en 1 s, 2s, 3s, 5s?
y D(t=1)=.6m, D(t=2)=2.4m, D(t=3)=5.4m, D(t=5)=15m
y = mx + b
v = 1.2 ⋅ t + 0
Claves para los gráficos
y D vs. T
y Eje “X” Æ tiempo
y Eje “y” Æ distancia recorrida
y Pendiente (derivada)Æ Velocidad
y Área Æ NO TIENE SIGNIFICADO
y V vs. T
y Eje “X” Æ tiempo
y Eje “y” Æ velocidad instantánea
y Pendiente (derivada)Æ aceleración
y Área (Integral) Æ distancia recorrida
Modelos de movimiento
y Movimiento uniforme
d = d0 + v ⋅ t
y Movimiento acelerado
v = v0 + a ⋅ t
1
2
d = d 0 + vo ⋅ t + a ⋅ t
2
Problema 2.
y Un auto tiene una velocidad inicial de 3 m/s y acelera uniformemente a 1.2 m/s2. Partiendo del origen.
y ¿Qué velocidad alcanza después de 3 seg? V=6.6
y ¿Qué distancia recorre en los primeros 8 seg?
y = mx + b
v = 1.2 ⋅ t + 3
Acerca de vectores y escalares
y Nota es importante distinguir entre distancia recorrida (escalar) y desplazamiento para los gráficos que son seccionados
Para responder la pregunta. ¿cuál es la distancia recorrida para los primeros 8 seg? Tenemos que calcular de 0 a 3 y de 3 a 8 y luego sumar y esto es el desplazamiento ya que tiene signo (además de utilizar los modelos y=mx+b para ambas) y del análisis gráfico podemos pensar en la distancia recorrida
Ejercicios varios
y Una bala sale disparada de la boca de un cañón con una velocidad de 300 m/s. Si el cañón tiene un largo de 2 m.
y ¿Cuánto tiempo le lleva a la bala recorrer el cañón?
Ejercicio 2
y Un avión parte del reposo y el origen y acelera de manera que alcanza una velocidad de 150 km/hr en un tiempo de 4 seg.
y Determina la distancia que recorrió
y ¿Cual fue su aceleración?
Análisis cinemático de situaciones ordinarias (¿cómo?)
Situaciones de movimiento en el eje “X”
• Un automóvil viaja a una velocidad constante de 30 m/s cuando rebasa a una patrulla de policía estacionada. El auto de policía acelera a 7 m/s2. ¿A qué velocidad irá
cuando alcance al auto con exceso de velocidad?
•
y Una bicicleta acelera de 0.0 m/s a 4.0 m/s en 4 s. ¿Qué distancia recorre?
Análisis cinemático de situaciones ordinarias (¿cómo?)
Situaciones de movimiento en el eje “y” Caida libre y tiro vertical
• Un estudiante deja caer un balón desde una ventana situada a 3.5 m por encima de la acera. El balón acelera a 9.8 m/s2(gravedad va hacia abajo). ¿Qué tan rápido iba cuando chocó contra la acera?
•
Ejemplo
y Arrojas un balón hacia abajo desde una ventana a una velocidad de 2.0 m/s. El balón acelera a 9,8 m/s2. ¿Qué tan rápido se está moviendo cuando choca contra la acera 2.5 m más abajo?
y Si ahora arrojas hacia arriba el balón en lugar de hacerlo hacia abajo, ¿qué tan rápido se está moviendo cuando choca contra la acera (2.5 m)? Ejercicios
y Un camión viaja a 18 m/s hacia el norte partiendo del origen. El conductor de un automóvil, 500 m al norte y viajando hacia el sur a 24 m/s, pisa el freno y disminuye su velocidad a 3.5 m/s. ¿Dónde se encuentran?
y Una piedra cae libremente desde el reposo durante 8.0 s.
y Calcula la velocidad de la piedra después de 8. S
y ¿cuál es el desplazamiento de la piedra durante ese tiempo?
y Una bolsa se deja caer desde un helicóptero que sube a una velocidad de 5 m/s.
y Cuando la bolsa ha caído 2.0 s
y
y
¿Cuál es la velocidad de la bolsa?
¿Qué tan lejos ha caído la bolsa?
Análisis cinemático de situaciones ordinarias (¿cómo?)
Situaciones de movimiento en los ejes “x” y “y”: Tiro parabólico
• Ejemplo: Una flecha es disparada con un ángulo de 50° y una velocidad inicial de 20 m/s
•
y
y
y
¿Qué posición tiene la flecha después de 0.5, 1 y 5 segundos?
Si la flecha sale del origen, ¿Cuánto tiempo tarda en regresar al piso?
¿Cuál es la altura máxima que alcanza y cuál es su recorrido máximo?
Historial del Desarrollo con ecuaciones paramétricas como ecuaciones de movimiento
Historial del Desarrollo utilizando dos ecuaciones independientes
Ejemplo
y Una bola fue lanzada con una velocidad inicial de 4.47 m/s con un ángulo de 66° por encima de la horizontal.
y ¿Cuál fue la altura máxima alcanzada por la bola? (La velocidad en “y” en el punto más alto tiene un valor de 0 m/s) ¿La velocidad en “x” será cero en el punto más alto?
y ¿Cuánto tiempo le tomó a la bola retornar a la altura del lanzamiento?
y ¿Cuál fue su rango?
Análisis dinámico enfoque de fuerzas (¿por qué?) y La cantidad de movimiento de un objeto se define como:
p = m⋅v
y El cambio de la cantidad de movimiento en el tiempo nos dice que fuerza neta es la causante de dicho movimiento acelerado
Δp
∑ F = Δt
y Por lo tanto si construimos un gráfico v vs. T si multiplicamos eje de “v” por la masa del cuerpo, la pendiente del gráfico nos indicará que fuerza neta esta siendo ejercida sobre éste
Análisis dinámico por energía (¿por qué?)
y Hay tipos de energía
y Energía potencial gravitacional: Es un tipo de energía que un cuerpo obtiene por U = m⋅ g ⋅ y
estar a un nivel mayo o menor del nivel de referencia o suelo.
y Energía cinética: Es un tipo de energía que se relaciona con la velocidad que lleva un 1
2
cuerpo. Siempre que tenga velocidad tiene K =
m⋅v
energía cinética. Si su velocidad vale 0 m/s 2
entonces su energía cinética = 0 y Energía calorífica: Es un tipo de energía que se da cuando dos superficies entran Q
en contacto y hay fricción
Conservación de la energía
y Punto inicio t=0
y K inicial
y U inicio
y E total inicio = K inicial + U inicial
y Punto final t = tf
y K final
y U final
y E total final = K final + U final Caída libre
y Una piedra de 2.5 kg se deja caer desde 50 m. analice su movimiento utilizando energías.
y A) Calcular la energía potencial antes de que caiga.
y B) calcular la energía potencial y cinética cuando esta a 15 m del suelo y su velocidad
y C) La energía cinética que tiene un instante antes de tocar el suelo y la velocidad con la que toca el suelo.
Análisis energético y dinámico de una piedra en caída libre
Análisis energético de un tiro parabólico
y Un balón de 1 kg se dispara con una velocidad inicial de 40 m/s a un ángulo de 30°. Ejemplos
y Considere una auto compacto de 875 kg que acelera de 22 a 44 m/s en una superficie horizontal
y ¿Cuál es el valor de la energía cinética al inicio y al final?
y Determine el trabajo que se hace al acelerar de 22 a 44 m/s
y ¿Qué cantidad de trabajo se hace al ponerlo en reposo?
y Si el auto tiene una potencia de 85,004.7 Watts. ¿Cuánto tiempo le toma en acelerar 22 a 44 m/s?
Ejemplo 2
y Un proyectil de 50 kg es disparado desde un cañón situado en el suelo, hasta una altura de 425 m. y ¿Cuál es la energía potencial gravitacional del proyectil cuando se encuentra a esta altura?
y ¿Cuál es el valor de la energía potencial cuando el proyectil desciende a una altura de 225m ? ¿Cuál es el valor de su energía cinética en ese punto así como su velocidad?
y ¿Con qué velocidad fue disparada la bala?
B UB= m g y = (50 Kg) (9.8 m/s2) (425m) = 208 250 J
KB= 0 J
425 m
A
Ua=0J
Ka = 208 250 J = (1/2) (m) Va 2
208 250 J =( 1/2) (50 kg) (Va2)
Va= (208 250 * 2 /50 ) ^(1/2)
Va=91.26 m/s
UB= m g y = (50 Kg) (9.8 m/s2) (425m) = 208 250 J
KB= 0 J
B
225 m
c
Uc=(50 kg) (225 m) (9.8 m/s2) Uc= 122 500 J
Kc = 85 750 J = (1/2) (m) Vc 2
85 750 J =( 1/2) (50 kg) (Vc2)
Vc= ( 85 750* 2 /50 ) ^(1/2)
Vc= 58.56 m/s