Cuaderno II: Construcción de los intervalos modales

Construcción de los intervalos
modales
SIGLA/X Group1
Resumen
The ground idea of interval mathematics is that ordinary set-theoretical
intervals are the consistent context for numerical computing. However, this
interval context presents basic structural and semantical rigidities arising from
its set-theoretical foundation.To correct this situation, modal interval analysis
defines intervals starting from the identification of real numbers with the sets
of predicates they accept (or reject). This report gives an account of te ground
definitions and structures which support the semantically oriented system of
modal intervals.
1.
Introducción
Si a y b son dos números reales, el intervalo clásico [a, b]′ (la marca ′ distinguirá los
intervalos clásicos de los intervalos modales) viene definido de modo conjuntista por
[a, b]′ := {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
que extiende la interpretación de un numero real x al conjunto unitario {x}. Dado
que en la matemática aplicada un valor real x no tiene interés por sı́ mismo sino
por los predicados que satisface, parece natural sustituir la identificación anterior
x ↔ {x}, que subyace en la teorı́a intervalar clásica, por la que identifica a un
número real con el conjunto de propiedades que verifica.
En una operación de cálculo con información digital numérica, un resultado intervalar X ′ señala y acota algún número real x (o números) que verifica un determinado
predicado P(x) y este hecho de señalar requiere necesariamente una elección entre
los cuantificadores existencial y universal para construir una de las dos expresiones
lógicas:
(∃x ∈ X ′ ) P (x) : existe un elemento x de X ′ que verifica P (x)
(∀x ∈ X ′ ) P (x) : todo elemento x del conjunto X ′ verifica P (x)
1
SIGLA/X membership: Calm R., Estela M.R., Gardeñes E., Jorba L., Mielgo H., Sainz M.A.,
Trepat A.
1
Dentro del contexto de los intervalos clásicos no existe ninguna indicación sobre
cual de estas dos alternativas semánticas corresponde a cada valor intervalar, puesto
que su definición conjuntista agota la información que poseen. El efecto de este
fallo de los intervalos clásicos puede ser ilustrado mediante las siguientes cuatro
proposiciones referidas a la relación a+x = b entre números reales, con a∈[1,2]′ y
b∈[3,7]′ :
1) (∀ ∈ [1, 2]′ ) (∀x ∈ [2, 5]′ ) (∃b ∈ [3, 7]′ ) a+x = b
2) (∀a ∈ [1, 2]′ ) (∀b ∈ [3, 7]′ ) (∃x ∈ [1, 6]′ ) a+x = b
3) (∀x ∈ [1, 6]′ ) (∃a ∈ [1, 2]′ ) (∃b ∈ [3, 7]′ ) a+x = b
4) (∀b ∈ [3, 7]′ ) (∃a ∈ [1, 2]′ ) (∃x ∈ [2, 5]′ ) a+x = b
Tenemos que 1) y 4) son verdaderas para la solución X′ =[2,5]′ de la ecuación intervalar [1,2]′ +X′ = [3,7]′ , mientras que 2) y 3), a pesar de que son correctas, están
fuera del alcance de esta ecuación. Por otra parte, cuando la suma hay que hacerla
de forma digital el único redondeo posible para los intervalos clásicos es el redondeo
externo y la ecuación debe ser, por ejemplo, [1,2]′ +X′ ⊆ [2.9,7.1]′ ; en este caso 1)
pasarı́a a ser
1’) (∀a ∈ [1, 2]′ ) (∀x ∈ [2, 5]′ ) (∃b ∈ [2,9, 7,1]′ ) a+x = b
pero 4) dejarı́a de ser cierta, ya que el redondeo externo de [3,7]′ serı́a incompatible
con el cuantificador universal ∀. Más aún, en el caso de la proposición 1), su solución
no puede obtenerse mediante las operaciones propias de la teorı́a de los intervalos
clásicos.
2.
Construcción de los intervalos modales
Para reducir las deficiencias provenientes de la ambigüedad semántica y la falta de
completitud estructural de los intervalos conjuntistas clásicos, los intervalos modales
van a ser definidos como pares formados por un intervalo conjuntista junto con un
cuantificador, universal o existencial, que proporcionará un modo de selección.
Consideremos el contexto formado por:
a) el conjunto R de los números reales
b) el conjunto I(R) de los intervalos clásicos en R
I(R) = {[a, b]′ | a, b ∈ R, a ≤ b}
cuyos elementos representaremos por A′ , X′ ,..., etc.
2
c) el conjunto Pred(R) de las funciones proposicionales en una variable sobre el
referencial R:
Pred(R) = {P (.) | P (.) : R → {0, 1}}
d) los cuantificadores, universal y existencial.
Los cuantificadores existencial y universal se representarán por U y E usando una
notación más natural que la representación clásica mediante ∀ y ∃. Como los cuantificadores son operadores que transforman predicados reales en predicados intervalares
al igual que actúa, por ejemplo, el operador integral
Z
f (x) = F (A′ )
(x,A′ )
escribiremos
E(x, A′ ) P (x)
U(x, A′ ) P (x)
indicando ambos argumentos, el ı́ndice real x y el argumento intervalar A′ .
Definimos un intervalo modal A como un elemento del producto cartesiano (I(R),
{E,U})
A := (A′ , QA)
donde QA es uno de los cuantificadores E o U. Ası́ un intervalo modal es un par
formado por un intervalo conjuntista clásico y un cuantificador. Al intervalo cerrado
A′ le llamamos extensión y al cuantificador QA modalidad
ext(A′ ,QA) := A′
mod(A′ ,QA) := QA
Los conjuntos básicos de intervalos modales son:
I ∗ (R) := {(A′ , QA) | A′ ∈ I(R), QA ∈ {U, E}}
Ie (R) := {(A′ , E) | A′ ∈ I(R)}
Iu (R) := {(A′ , U) | A′ ∈ I(R)}
Ip (R) := {(A′ , QA) ∈ I ∗ (R) | E(x, R) (A′ = [x, x]′ )}
que verifican I ∗ (R) = Ie (R) ∪ Iu (R). Y ası́, los intervalos modales constituyen otra
extensión de la recta real, distinta de la extensión que representan los intervalos
clásicos.
Definimos como coordenadas de un intervalo modal A = (A′ ,QA)
(
(
máx(A′ ) si QA =E
mı́n(A′ ) si QA =E
Sup(A)
:=
Inf(A) :=
mı́n(A′ ) si QA =U
máx(A′ ) si QA =U
3
Introducimos la siguiente notación canónica para los intervalos modales:
(
([a, b]′ , E) si a ≤ b
[a, b] :=
([b, a]′ , U) si a ≥ b
De aquı́ en adelante la notación [a,b], incluso cuando a ≤ b, no indicará un intervalo
cerrado clásico, es decir, un conjunto de puntos, sino un intervalo modal. Ası́ [1,3]
no es el conjunto de valores reales entre 1 y 3, que representaremos por [1,3]′ , sino
el intervalo modal, es decir, el par ([1,3]′ ,E); asimismo [3,1] es el par ([1,3]′ ,U).
Se verifican las propiedades siguientes
1. Inf([a,b]) = a y Sup([a,b]) = b
2. ext([a,b]) = [mı́n{a, b}, máx{a, b}]′ y mod([a, b]) =
(
E si a ≤ b
U si a ≥ b
En efecto,
1. Inf([a, b]) =
(
Sup([a, b]) =
(
mı́n([a, b]′ ) = a
si a ≤ b
máx([b, a]′ ) = a si a ≥ b
máx([a, b]′ ) = b si a ≤ b
mı́n([b, a]′ ) = b
si a ≥ b
2. Por definición del intervalo [a,b].
Por estas propiedades anteriores podemos escribir
I ∗ (R) = {[a, b] | a, b ∈ R}
Ie (R) = {[a, b] | a, b ∈ R, a ≤ b}
Iu (R) = {[a, b] | a, b ∈ R, a ≥ b}
Ip (R) = {[a, a] | a ∈ R}
Un intervalo [a,b]∈Ie (R) se le denomina intervalo propio y, si es el resultado de
un cálculo, señala ciertos valores desconocidos x situados entre a y b; un intervalo
[a,b]∈Iu (R) se denomina intervalo impropio y, si es el resultado de un cálculo, señala
cualquier valor real entre a y b. En particular, un intervalo como [a,a] se denomina
intervalo puntual; su extensión es el conjunto unitario {a} y su modalidad es E o U
pudiendo ser considerado indistintamente como intervalo propio o como impropio.
En el diagrama de Moore tenemos el gráfico correspondiente a la Figura 1.
4
A 2 propio
b2
A 1 impropio
b1
a3
a2
a1
A 3 puntual
b3
Figura 1: Diagrama de Moore
El cuantificador modal Q, que va a ser la principal herramienta del análisis intervalar
modal, asocia a cada predicado real un predicado intervalar según la definición
siguiente: para una variable x ∈ R, un predicado P (.) ∈ Pred(R) y un intervalo
modal (A′ , QA) ∈ I ∗ (R)
(
E(x, A′ )P (x) si mod(A)=E
′
Q(x, (A , QA))P (x) :=
U(x, A′ )P (x) si mod(A)=U
Por ejemplo,
Q(x, ([−3, 1]′ , E)) x ≥ 0 := E(x, [−3, 1]′ ) x ≥ 0
Q(x, ([1, 2]′ , U)) x ≥ 0 := U(x, [1, 2]′ ) x ≥ 0
Se verifica que Q(x, [a, b]) =
(
E(x, [a, b]′ ) si a ≤ b
U(x, [b, a]′ ) si a ≥ b
como se deduce de la definición
de cuantificador modal.
3.
Igualdad e inclusión
Ası́ como un intervalo clásico es identificable con un predicado: X ′ ↔ x ∈ X ′ , vamos
a establecer la identificación de un intervalo modal con un conjunto de predicados:
A = (A′ , QA) ↔ Pred(A), lo que permite extender las relaciones de igualdad e
inclusión de los intervalos clásicos a los intervalos modales.
Dado un intervalo modal A = (A′ ,QA) denominamos conjunto de predicados de A
al conjunto de las funciones proposicionales aceptadas por A, es decir
Pred(A) := {P (.) ∈ Pred(R) | Q(x, A) P (x)}
de modo que un intervalo modal es un “aceptador” de predicados, a diferencia del
intervalo clásico que es en sı́ un predicado.
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Se verifican las propiedades
1. Si A = (A′ ,E), entonces Pred(A) = ∪(x, A′ ){P (.) ∈ Pred(R) | P (x) = 1}
2. Si A = (A′ ,U), entonces Pred(A) = ∩(x, A′ ){P (.) ∈ Pred(R) | P (x) = 1}
donde ∪(x, X ′ ) es el operador unión de una familia de conjuntos indexada por x
perteneciente al conjunto X ′ y ∩(x, X ′ ) el correspondiente operador intersección.
En efecto,
1. P(.)∈Pred(A) ⇔ E(x,A′ ) P(x) ⇔ E(x,A′ ) (P(.)∈{P(.)∈Pred(R) | P(x)=1 })
⇔ P (.) ∈ ∪(x, A′ ){P (.) ∈ Pred(R) | P (x) = 1}
2. P(.)∈Pred(A) ⇔ U(x,A′ ) P(x) ⇔ U(x,A′ ) (P(.)∈{P(.)∈Pred(R) | P(x)=1 }
⇔ P (.) ∈ ∩(x, A′ ){P (.) ∈ Pred(R) | P (x) = 1}
Para cualquier intervalo modal A = (A′ ,QA) podemos también considerar el conjunto de las funciones proposicionales rechazadas por A
Copred(A) := {P (.) ∈ Pred(R) | ¬Q(x, A)P (x)}
y diremos que P (.) es “covalidado” o “rechazado” por A.
Por ejemplo, (. ≥ 0)∈Copred([7, −1]) es equivalente a
¬Q(x, [7, −1]) x ≥ 0 ⇔ ¬U(x, [−1, 7]′ ) x ≥ 0 ⇔ E(x, [−1, 7]′ )x < 0
Se verifican las propiedades
1. Copred(A) = Pred(R)−Pred(A)
2. Copred(A) 6= ∅
En efecto,
1. P(.)∈Copred(A) ⇔ ¬Q(x,A) P(x) ⇔ P(.)∈Pred(A)
/
2. Si A = (A′ , QA), como . < mı́n(A′ ) ∈
/ Pred(A) es Pred(A) 6= Pred(R) ⇔
⇔ Copred(A) 6= ∅
Definimos
6
Igualdad : A = B si y sólo si Pred(A) = Pred(B)
Inclusión : A ⊆ B si y sólo si Pred(A) ⊆ Pred(B)
Estas definiciones de ⊆ e = entre intervalos modales mediante ⊆ e = conjuntistas
permiten identificar los intervalos modales con el conjunto de predicados reales que
aceptan y constituyen el fundamento estructural semántico de la teorı́a de intervalos
modales. Todo lo que se diga a partir de ahora es deductivo.
Obviamente A = B equivale a A ⊆ B y B ⊆ A.
La igualdad y la inclusión pueden caracterizarse mediante el conjunto de copredicados según los resultados:
1. A ⊆ B equivale a Copred(A) ⊇ Copred(B)
2. A = B equivale a Copred(A) = Copred(B)
En efecto,
1. A ⊆ B ⇔ Pred(A) ⊆ Pred(B) ⇔ Pred(R)− Pred(A) ⊇ Pred(R)−Pred(B) ⇔
⇔ Copred(A) ⊇ Copred(B)
2. A = B ⇔ (A ⊆ B , B ⊆ A) ⇔
⇔ Copred(A) ⊇ Copred(B) , Copred(B) ⊇ Copred(A) ⇔
⇔ Copred(A) = Copred(B)
Las principales propiedades de la igualdad y la inclusión son las siguientes
1. A ⊆ B equivale a
a) ext(A) ⊆ ext(B) si mod(A) = mod(B) = E
b) ext(A) ⊇ ext(B) si mod(A) = mod(B) = U
c) ext(A) ∩ ext(B) 6= ∅ si mod(A) = U y mod(B) = E
d ) ext(A) = ext(B) = [a,a] si mod(A) = E y mod(B) = U
2. [a1 , a2 ] ⊆ [b1 , b2 ] equivale a (a1 ≥ b1 , a2 ≤ b2 )
3. [a1 , a2 ] = [b1 , b2 ] equivale a (a1 = b1 , a2 = b2 )
En efecto,
1. Sean A = (A′ , QA) y B = (B ′ , QB). Como A ⊆ B equivale a Pred(A′ ,QA) ⊆
Pred(B ′ ,QB) según las modalidades de A y B tendremos los siguientes casos:
7
a) Pred(A′ ,E) ⊆ Pred(B ′ ,E) equivale a A′ ⊆ B ′ pues
Directo: A′ 6⊂ B ′ ⇒ E(a, A′ ) a ∈
/ B′ ⇒
⇒ ((. = a) ∈ Pred(A′ , E), (. = a) ∈
/ Pred(B ′ , E)) ⇒
′
′
⇒ Pred(A , E) 6⊂ Pred(B , E)
Recı́proco: Si A′ ⊆ B ′ , P(.)∈Pred(A′ ,E) ⇔ E(x,A′ ) P(x) ⇒
⇒ E(x,B ′ ) P(x) ⇔ P(.)∈Pred(B ′ ,E)
b) Pred(A′ ,U) ⊆ Pred(B ′ ,U) equivale a B ′ ⊆ A′ pues
Directo: B ′ 6⊂ A′ ⇒ E(b,B ′ ) b ∈
/ A′ ⇒
′
′
′
⇒ ((. ∈ A ) ∈Pred(A ,U) , (. ∈ A′ ) ∈Pred(B
/
,U)) ⇒
′
′
⇒ Pred(A ,U) 6⊂ Pred(B ,U)
Recı́proco: Si B ′ ⊆ A′ , P(.)∈Pred(A′ ,U) ⇒ U(x,A′ ) P(x) ⇒
⇒ U(x,B ′ ) P(x) ⇒ P(.)∈Pred(B ′ ,U)
c) Pred(A′ ,U) ⊆ Pred(B ′ ,E) equivale a A′ ∩ B ′ 6= ∅ pues
′
Directo: A′ ∩ B ′ = ∅ ⇒ ((. ∈ A′ ) ∈Pred(A′ ,U) , (. ∈ A′ ) ∈Pred(B
/
,E)) ⇒
⇒ Pred(A′ ,U) 6⊂ Pred(B ′ ,E)
Recı́proco: Si A′ ∩ B ′ 6= ∅ , P(.)∈Pred(A′ ,U) ⇒ U(x,A′ ) P(x) ⇒
⇒ E(x,B ′ ) P(x) ⇒ P(.)∈Pred(B ′ ,E)
d ) Pred(A′ ,E) ⊆ Pred(B ′ ,U) equivale a A′ = B ′ = {a} pues
Directo: a ∈ A′ ⇒ (. = a)∈Pred(A′ ,E) ⇒ (. = a)∈Pred(B ′ ,U) ⇒ B ′ = {a}
y si existiera otro b∈ A′ , entonces
((. = b) ∈Pred(A′ ,E), (. = a)∈Pred(B ′ ,U)) ⇒ Pred(A′ ,E) 6⊂ Pred(B ′ ,U)
Recı́proco: Si A′ = B ′ = {a}, P(.)∈Pred(A’,E) ⇔ P(a) ⇔ U(x,B’)P(x) ⇒
⇒ P (.) ∈Pred(B ′ ,U)
2. Si [a1 , a2 ] ⊆ [b1 , b2 ] equivale a
si a1 ≤ a2 y b1 ≤ b2 , entonces mod([a1 ,a2 ]) = E , mod([b1 ,b2 ]) = E por lo
que
[a1 , a2 ]′ = ext([a1 , a2 ]) ⊆ ext([b1 , b2 ]) = [b1 , b2 ]′ ⇔
a1 = mı́n(a1 , a2 ) ≥ mı́n(b1 , b2 ) = b1 , a2 = máx(a1 , a2 ) ≤ máx(b1 , b2 ) = b2
si a1 ≥ a2 y b1 ≥ b2 , entonces mod([a1 ,a2 ]) = U , mod([b1 ,b2 ]) = U por lo
que
[a2 , a1 ]′ = ext([a1 , a2 ]) ⊇ ext([b1 , b2 ]) = [b2 , b1 ]′ ⇔
a1 = máx(a1 , a2 ) ≥ máx(b1 , b2 ) = b1 , a2 = mı́n(a1 , a2 ) ≤ mı́n(b1 , b2 ) = b2
si a1 ≥ a2 y b1 ≤ b2 , entonces mod([a1 ,a2 ]) = U , mod([b1 ,b2 ]) = E por
lo que
[a2 , a1 ]′ ∩ [b1 , b2 ]′ 6= ∅ ⇔
a1 = max(a1 ,a2 ) ≥ min(b1 ,b2 ) = b1 , a2 = min(a1 ,a2 ) ≤ max(b1 ,b2 ) = b2
8
si a1 ≤ a2 y b1 ≥ b2 , entonces mod([a1 ,a2 ]) = E , mod([b1 ,b2 ]) = U por
lo que
[a1 , a2 ]′ = [b2 , b1 ]′ = {a} ⇔
a1 = min(a1 ,a2 ) ≥ max(b1 ,b2 ) = b1 , a2 = max(a1 ,a2 ) ≤ min(b1 ,b2 ) = b2
3. [a1 , a2 ] = [b1 , b2 ] ⇔ ([a1 , a2 ] ⊆ [b1 , b2 ], [b1 , b2 ] ⊆ [a1 , a2 ]) ⇔
⇔ (a1 ≥ b1 , a2 ≤ b2 ), (b1 ≥ a1 , b2 ≤ a2 )) ⇔ (a1 = b1 , a2 = b2 )
Es interesante notar la identidad formal de las relaciones de igualdad e inclusión en I ∗ (R) e I(R).
Ejemplo 3.1
Para A = [2, 4] y B = [1, 5] tenemos que
mod(A) = mod(B) = E, ext(A) = [2, 4]′ ⊆ [1, 5]′ = ext(B), a1 ≥ b1 , a2 ≤ b2
lo que equivale a que A ⊆ B.
Para A = [5, 1] y B = [4, 2] tenemos que
mod(A) = mod(B) = U, ext(A) = [1, 5]′ ⊇ [2, 4]′ = ext(B), a1 ≥ b1 , a2 ≤ b2
lo que equivale a que A ⊆ B.
Para A = [5, 1] y B = [2, 6] tenemos que
mod(A) = U mod(B) = E, ext(A) ∩ ext(B) = [1, 5]′ ∩ [2, 6]′ 6= ∅, a1 ≥ b1 , a2 ≤ b2
lo que equivale a que A ⊆ B.
Si A = [a1 ,a2 ] y B = [b1 ,b2 ] son tales que a1 ≤ b1 y a2 ≤ b2 diremos que A es menor
o igual que B, denotándose por A ≤ B.
En el plano de Moore un diagrama para la inclusión y la relación menor o igual es
C⊇B
B
D≤B
B≤ E
B⊇A
Figura 2: Inclusión y menor o igual
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Fácilmente se observa que en I ∗ (R) las relaciones ≤ y ⊆ son de orden parcial y entre
dos intervalos A y B se verifica una de las siguientes situaciones (no excluyentes)
A⊆BoB⊆AoA≤BoB≤A
lo que hace que los algoritmos intervalares sean esencialmente más complejos que
los algoritmos numéricos ya que entre números la alternativa es simplemente a ≤ b
ob≤a
4.
Operadores intervalares
Introducimos los operadores que denominaremos dualidad, propio e impropio
dualidad:
propio:
impropio:
Dual(A′ , QA) := (A′ , Dual(QA))
Prop(A′ , QA) := (A′ , E)
Impr(A′ , QA) := (A′ , U)
que, en función de los extremos, son
Dual([a, b]) = [b, a]
Prop([a, b]) = [mı́n{a, b}, máx{a, b}] ∈ Ie (R)
Impr([a, b]) = [máx{a, b}, mı́n{a, b}] ∈ Iu (R)
y verifican los siguientes resultados
1. ¬Q(x,A) P(x) equivale a Q(x,Dual(A)) ¬P(x)
2. P(.)∈Copred(A) equivale a ¬P(.)∈Pred(Dual(A))
3. P(.)∈Pred(Prop(A)) equivale a ¬P(.)∈Copred(Impr(A))
4. Si P(.)∈Pred(Impr(A)), entonces
P(.)∈Pred(Prop(A)) , ¬P(.)∈Copred(Prop(A)) , ¬P(.)∈Copred(Impr(A))
5. A ⊆ B equivale a Dual(A) ⊇ Dual(B)
6. Impr(A) ⊆ Prop(A)
En efecto,
1.
a) Si A = (A′ , E)
¬Q(x, A)P (x) = ¬E(x, A′ )P (x) ⇔ U(x, A′ )¬P (x) ⇔ Q(x, Dual(A))¬P (x)
10
b) Si A = (A′ , U)
¬Q(x, A)P (x) = ¬U(x, A′ )P (x) ⇔ E(x, A′ )¬P (x) ⇔ Q(x, Dual(A))¬P (x)
2. P (.) ∈ Copred(A) ⇔ ¬Q(x, A)P (x) ⇔ Q(x, Dual(A))¬P (x) ⇔
⇔ ¬P (x) ∈ Pred(Dual(A))
3. Por la propiedad 2).
4. Por la propiedad 2) y 3) y porque
P(.)∈Pred(Impr(A)) ⇔ U(x,A′ )P(x) ⇒ E(x,A′ ) P(x) ⇔ P(.)∈Pred(Prop(A))
5. Si A = [a1 ,a2 ] y B = [b1 ,b2 ], entonces
A ⊆ B ⇔ (a1 ≥ b1 , a2 ≤ b2 ) ⇔ [b2 ,b1 ] ⊆ [a2 ,a1 ] ⇔ Dual(A) ⊇ Dual(B)
6. Impr(A) ⊆ Prop(A) ya que min{a,b} ≤ max{a,b}
5.
El retı́culo de los intervalos modales
Introduciremos ahora las operaciones ı́nfimo y supremo para los retı́culos definidos
por las relaciones de orden parcial ⊆ y ≤ sobre I ∗ (R).
Definimos en I ∗ (R) dos operaciones reticulares sobre una familia de intervalos definida por {A(i) | i∈I, A(i)∈ I ∗ (R)}, con la relación de orden ⊆, denominadas meet
y join
meet : ∧(i, I)A(i) = A ∈ I ∗ (R) tal que U(i, I)(X ⊆ A(i)) ⇔ X ⊆ A
join : ∨(i, I)A(i) = B ∈ I ∗ (R) tal que U(i, I)(X ⊇ A(i)) ⇔ X ⊇ B
hacen que (I ∗ (R), ⊆) sea un retı́culo.
Otras dos operaciones reticulares, que llamaremos “Bottom” y “Top” vienen definidas por la relación ≤ sobre I ∗ (R):
B(i, I)A(i) = C ∈ I ∗ (R) tal que U(i, I)(X ≤ A(i)) ⇔ X ≤ C
T(i, I)A(i) = D ∈ I ∗ (R) tal que U(i, I)(X ≥ A(i)) ⇔ X ≥ D
hacen que (I ∗ (R), ≤) sea un retı́culo.
El cálculo es fácil pues se obtienen en función de los extremos. Si A(i) = [a1 (i), a2 (i)]
∨(i, I)A(i) = [mı́n(i, I)a1 (i), máx(i, I)a2 (i)]
∧(i, I)A(i) = [máx(i, I)a1 (i), mı́n(i, I)a2 (i)]
B(i, I)A(i) = [mı́n(i, I)a1 (i), mı́n(i, I)a2 (i)]
T(i, I)A(i) = [máx(i, I)a1 (i), máx(i, I)a2 (i)]
11
Estas operaciones vienen representadas en un diagrama de Moore tal como indica
la figura
B = ∨ A(i)
A(4)
D = T A(i)
A(1)
A(2)
A(6)
A(5)
C = B A(i)
A(3)
A=
∧ A(i)
Figura 3: Join, Meet, Top y Bottom
Se comprueba de forma inmediata que también
Dual(∨(i, I)A(i)) = ∧(i, I)Dual(A(i))
Dual(∧(i, I)A(i)) = ∨(i, I)Dual(A(i))
Ejemplo 5.1
Para los intervalos A(1) = [1, 2] , A(2) = [3, −1] , A(3) = [4, 2], A(4) = [1, −1] y
A(5) = [2, 1] tenemos
∧(i, I)A(i) = [máx{1, 3, 4, 1}, mı́n{2, −1, 2, −1, 2}] = [4, −1]
∨(i, I)A(i) = [mı́n{1, 3, 4, 1}, máx{2, −1, 2, −1, 1}] = [1, 2]
Estos operadores permiten dar una caracterización de los intervalos de I ∗ (R), ya
que si A ∈ I ∗ (R), entonces
(
∨(a, A′ )[a, a] si A es propio
A=
∧(a, A′ )[a, a] si A es impropio
como fácilmente se obtiene del cálculo anterior. Si definimos el operador join-meet
(
∨(a, A′ ) si A es propio
Ω(a, A) :=
∧(a, A′ ) si A es impropio
podemos interpretar un intervalo A∈ I ∗ (R) mediante
A = Ω(a, A)[a, a]
12
6.
Predicados intervalares
Una clase especialmente simple e interesante de predicados está constituida por
predicados del tipo P1 (x) =”x ∈ [1, 2]′ ” o bien P2 (x) = “x ∈
/ [1, 2]′ ”, tales que los
puntos de R están en un intervalo clásico ([1, 2]′ para P1 (x)) o fuera de él ([1, 2]′
para P2 (x)). Consideremos el conjunto de funciones proposicionales del tipo x ∈ X ′
yx∈
/ X′
Pred∗ (R) := {P (.) | E(X ′ , I(R)) P (.) = (. ∈ X ′ )}
Copred∗ (R) := {P (.) | E(X ′ , I(R)) P (.) = (. ∈
/ X ′ )}
Para cualquier intervalo A = (A′ , QA) podemos definir los siguientes subconjuntos
de Pred(A) y Copred(A)
Pred∗ (A) := {(. ∈ X ′ ) ∈ Pred∗ (R) | Q(x, A)x ∈ X ′ }
Copred∗ (A) := {(. ∈
/ X ′ ) ∈ Copred∗ (R) | ¬Q(x, A)x ∈
/ X ′}
Los elementos de Pred∗ (R) y Copred∗ (R) se denominan predicados y copredicados
intervalares, respectivamente, por lo que Pred∗ (A) es el conjunto de los predicados
intervalares aceptados por A y Copred∗ (A) es el conjunto de los copredicados intervalares rechazados por A. Las principales propiedades que verifican son las siguientes
1. (. ∈X
/ ′ )∈Copred∗ (A) equivale a (. ∈X′ )∈Pred∗ (Dual(A))
2. (. ∈X′ )∈Pred∗ (A) equivale a Impr(X′ )⊆ A
3. (. ∈X
/ ′ )∈Copred∗ (A) equivale a A ⊆ Prop(X′ )
En efecto,
1. Sale directamente de la propiedad 2) de la sección 4.
2. Si A = (A′ , E) es
(. ∈X′ )∈Pred∗ (A) ⇔ E(x,A′ ) x∈X′ ⇔ X ′ ∩ A′ 6= ∅ ⇔ Impr(X′ ) ⊆ A
Si A = (A′ ,U) es
(. ∈X′ )∈Pred∗ (A) ⇔ U(x,A′ ) x∈X′ ⇔ A′ ⊆ X′ ⇔ Impr(X′ ) ⊆ A
3. (. ∈
/ X ′ ) ∈ Copred∗ (A) ⇔ (. ∈X′ )∈Pred∗ (Dual(A)) ⇔ Impr(X′ ) ⊆ Dual(A) ⇔
⇔ A ⊆ Prop(X′ ) = X′
Las equivalencias 2) y 3) permiten las identificaciones
Pred∗ (A) ↔ {Impr(X′ ) | Impr(X′ ) ⊆ A}
Copred∗ (A) ↔ {Prop(X′ ) | Prop(X′ ) ⊇ A}
13
Serı́a deseable que Pred(A∧B) fuera igual a Pred(A) ∩ Pred(B) y que Pred(A∨B)
fuera igual a Pred(A) ∪ Pred(B) lo que no es cierto. Por ejemplo,
Pred([1, 2] ∧ [3, 4]) = Pred([3, 2])
pero el predicado x∈{1.5,3.5} pertenece a Pred([1,2]) y a Pred([3,4]) y, por lo tanto,
a la intersección de ambos pero no a Pred([3,2]). Ası́mismo, el predicado x = 2.5
pertenece a Pred([1,4]), que es igual a Pred([1,2]∨[3,4]), pero no Pred([1,2]) ni a
Pred([3,4]). Sin embargo esto no va a impedir una buena estructura semántica para
el retı́culo de los intervalos modales.
Las relaciones entre las operaciones reticulares ∨ y ∧ entre intervalos modales y
la unión e intersección de sus predicados intervalares vienen establecidas por las
siguientes propiedades
1. Pred(A∧B) ⊆ Pred(A) ∩ Pred(B)
2. Pred(A∨B) ⊇ Pred(A) ∪ Pred(B)
3. Copred(A∧B) ⊇ Copred(A) ∪ Copred(B)
4. Copred(A∨B) ⊆ Copred(A) ∩ Copred(B)
5. Pred∗ (A∧B) = Pred∗ (A) ∩ Pred∗ (B)
6. Pred∗ (A∨B) ⊇ Pred∗ (A) ∪ Pred∗ (B)
7. Copred∗ (A∧B) ⊇ Copred∗ (A) ∪ Copred∗ (B)
8. Copred∗ (A∨B) = Copred∗ (A) ∩ Copred∗ (B)
En efecto,
1. Como
A∧B ⊆A
y
A∧B ⊆B
2. Como
A∨B ⊇A
y
A∨B ⊇B
⇔
Pred(A ∧ B) ⊆ Pred(A)
y
Pred(A ∧ B) ⊆ Pred(B)
⇔ Pred(A∧B) ⊆ Pred(A)∩Pred(B)
⇔
Pred(A ∨ B) ⊇ Pred(A)
y
Pred(A ∨ B) ⊇ Pred(B)
⇔ Pred(A∨B) ⊇ Pred(A)∪Pred(B)
3. La demostración es análoga a la 1)
14
4. La demostración es análoga a la 2)
Desde un punto de vista estructural, el fracaso que representa el hecho de que en 1)
y 2) no se verifique la igualdad viene del hecho de que el sistema (I ∗ (R), ⊆ ) es un
subretı́culo del (Pred(R), ⊆ ) y las operaciones reticulares ∨ y ∧ corresponden al
subsistema más restringido (Pred(I ∗ (R)), ⊆ ) ≡ (I ∗ (R), ⊆ ) e impide la existencia de
una asociación más fuerte entre el retı́culo de intervalos y el retı́culo de los intervalos
como conjuntos de predicados.
Consideremos en lugar del conjunto de predicados Pred(X) el conjunto más restringido Pred∗ (X) que va a permitir obtener algunas relaciones de igualdad, no todas,
expresadas en las demás propiedades.
5.
(. ∈ X ′ ) ∈ Pred∗ (A ∧ B) ⇔ Impr(X ′ ) ⊆ A ∧ B ⇔
⇔
(. ∈ X ′ ) ∈ Pred∗ (A)
y
′
(. ∈ X ) ∈ Pred∗ (B)
6.
⇔
7.
⇔
(. ∈ X ′ ) ∈ Pred∗ (A)
o
(. ∈ X ′ ) ∈ Pred∗ (B)
⇔
⇒ Impr(X ′ ) ⊆ A ∨ B ⇒ (. ∈ X ′ ) ∈ Pred∗ (A ∨ B)
(. ∈
/ X ′ ) ∈ Copred∗ (A) ∪ Copred∗ (B) ⇔
Prop(X ′ ) ⊇ A
o
Prop(X ′ ) ⊇ B
⇔
⇔ (. ∈ X ′ ) ∈ Pred∗ (A) ∩ Pred∗ (B)
(. ∈ X ′ ) ∈ Pred∗ (A) ∪ Pred∗ (B) ⇔
Impr(X ′ ) ⊆ A
o
Impr(X ′ ) ⊆ B
Impr(X ′ ) ⊆ A
y
Impr(X ′ ) ⊆ B
(. ∈
/ X ′ ) ∈ Copred∗ (A)
o
(. ∈
/ X ′ ) ∈ Copred∗ (B)
⇔
⇒ Prop(X ′ ) ⊇ A ∧ B ⇒ (. ∈
/ X ′ ) ∈ Copred∗ (A ∧ B)
8. (. ∈X
/ ′ )∈Copred∗ (A∨B) ⇔ (. ∈X′ )∈Pred∗ (Dual(A)∧Dual(B))
⇔ (. ∈X′ )∈(Pred∗ (Dual(A))∩Pred∗ (Dual(B))) ⇔
⇔ ((. ∈ X ′ )∈Pred∗ (Dual(A)), (. ∈ X ′ )∈Pred∗ (Dual(B))) ⇔
⇔ ((. ∈
/ X ′ )∈Copred∗ (A),(. ∈
/ X ′ )∈Copred∗ (B)) ⇔
⇔ (. ∈
/ X ′ ) ∈(Copred∗ (A)∩ Copred∗ (B))
15
La inclusión e igualdad en el conjunto de los intervalos modales son conceptos de
naturaleza intervalar puesto que ligan los intervalos modales a los conjuntos de
predicados que aceptan o rechazan. Pero sus propiedades demuestran que la estructura intrı́nseca del conjunto de intervalos modales con sus operaciones ⊆-meet y
⊆-join no permite una total asociación ni con el conjunto total de los predicados
que aceptan o rechazan ni con los conjuntos más especializados de predicados o
copredicados intervalares. Los intervalos modales son intrı́nsecamente unilaterales,
desde el punto de vista de su asociación con conjuntos de predicados, puesto que
pueden identificarse con el conjunto de predicados del intervalo que validan, A ↔
Pred∗ (A), únicamente cuando se consideran los predicados intervalares comunes a
alguna familia de intervalos modales {A(i) | i∈I}, en cuyo caso ∩{Pred∗ (A(i)) | i∈I}
es igual a Pred∗ (∧{A(i) | i∈I}). Ası́mismo pueden ser identificados con el conjunto
de copredicados que rechazan A ↔ Copred∗ (A) únicamente cuando se consideran
los copredicados intervalares comunes a una familia de intervalos modales {A(i) |
i∈I}, en cuyo caso ∩{Copred∗ (A(i)) | i∈I} es igual a Pred∗ (∨{ A(i) | i∈I}). Por otra
parte es interesante notar que todas las inclusiones de las propiedades anteriores se
convierten en igualdades cuando entre A y B existe la relación A ⊆ B.
Definimos la implicación de predicados para presentar los conjuntos mı́nimos de
predicados que determinan Pred(A) y Pred∗ (A). Para R(.), S(.)∈Pred(R)
(R(.) ⇒ S(.)) := U(x, R) (R(x) ⇒ S(x))
Definimos ahora el conjunto mı́nimo de predicados de un intervalo modal A ∈ I ∗ (R)
como
(
{(. = x0 ) | x0 ∈ A′ } si A es propio
∗∗
Pred (A) :=
{(. ∈ A′ )}
si A es impropio
de forma que Pred(A) es el subconjunto de predicados de Pred(R) que son extensión
de los elementos de Pred∗∗ (A) y Pred∗ (A) es el subconjunto de Pred(A) formado
por los elementos del tipo (.∈ X ′ ), para X ′ ∈I(R).
Se define el conjunto mı́nimo de copredicados de un intervalo modal A∈ I ∗ (R) como
(
{¬(. ∈ A′ )}
si A es propio
Copred∗∗ (A) :=
{¬(. = x0 ) | x0 ∈ A′ } si A es propio
de forma que Copred(A) es el subconjunto de predicados de Pred(R) que son restricción de los elementos de Copred∗∗ (A) y Copred∗ (A) es el subconjunto de Copred(A)
formado por los elementos del tipo ¬ (.∈ X ′ ), para X ′ ∈I(R)
7.
Caso n-dimensional
La teorı́a completa n-dimensional conducirı́a a un desarrollo demasiado largo antes
de entrar en la teorı́a de las extensiones modales intervalares de funciones que es el
16
principal objetivo del curso. Por ello introduciremos solamente algunas definiciones
básicas y resultados, de la extensión n-dimensional.
Definimos el conjunto de intervalos modales n-dimensionales I ∗ (Rn ) como una generalización natural de I ∗ (R)
I ∗ (Rn ) := (I ∗ (R))n = {A = (A1 ,...,An ) | A1 ∈ I ∗ (R),..., An ∈ I ∗ (R)}
A veces es útil separar los intervalos componentes de A en propios e impropios y
expresar
A := (Ap , Ai ) con Ap ∈ Ie (Rnp ), Ai ∈ Iu (Rni ), np + ni = n
Si A = (A1 ,...,An ) y B = (B1 ,...,Bn ) son intervalos modales n-dimensionales se define,
A = B si y sólo si (A1 = B1 , ..., An = Bn )
A ⊆ B si y sólo si (A1 ⊆ B1 , ..., An ⊆ Bn )
Para A = (A1 ,...,An )∈ I ∗ (Rn ), X′ = (X′ 1 ,...,X′ n )∈I(Rn ) y x = (x1 ,...,xn )∈ Rn se
definen
x∈X′ si y sólo si (x1 ∈X′ 1 , ..., xn ∈X′ n )
Pred∗ (A) := {(. ∈X′ ) | (. ∈X′ 1 )∈Pred∗ (A1 ), ..., (. ∈X′ n )∈Pred∗ (An )} =
= {(. ∈X′ ) | Q(x1 ,A1 )...Q(xn ,An ) (x1 ∈X′ 1 , ..., xn ∈X′ n )}
(obsérvese la conmutatividad de Q(x1 ,A1 )...Q(xn ,An ) (x1 ∈X′ 1 ,..., xn ∈X′ n ) por constar de componentes de variables resueltas)
Copred∗ (A) := {(. ∈X
/ ′ ) | (. ∈X
/ ′ 1 )∈Copred∗ (A1 ),..., (. ∈X
/ ′ n )∈Copred∗ (An )} =
/ ′ n ))}
= {(. ∈X
/ ′ ) | ¬(Q(x1 ,A1 )...Q(xn ,An ) (x1 ∈X
/ ′ 1 or...or xn ∈X
Si X = (X1 ,...,Xn )∈ I ∗ (Rn ) y X′ = (X′ 1 ,...,X′ n )∈I(Rn ) se definen
Dual(X)=(Dual(X1 ), · · · , Dual(Xn ))
Prop(X) = Prop(X′ ) := ((X′ 1 ,E),...,(X′ n ,E))
Impr(X) = Impr(X′ ) := ((X′ 1 ,U),...,(X′ n ,U))
y, analogamente al caso 1-dimensional, se verifica que
(. ∈ X ′ ) ∈ Pred∗ (A) equivale a Impr(X ′ ) ⊆ A
(. ∈
/ X ′ ) ∈ Copred∗ (A) equivale a Prop(X ′ ) ⊇ A
17
Se definen las operaciones reticulares join y meet para familias indexadas de intervalos con n componentes {A(i) | i∈I, A(i)∈ I ∗ (Rn )} del siguiente modo: si
A(i) = (A1 (i), . . . , An (i)), entonces
∧(i, I)A(i) := (∧(i, I)A1 (i), . . . , ∧(i, I)An (i))
∨(i, I)A(i) := (∨(i, I)A1 (i), . . . , ∨(i, I)An (i))
8.
Norma semántica para el cálculo digital
Veamos ahora una aplicación de la teorı́a previa a la interpretación de resultados
intervalares con redondeo, desde el punto de vista de la información que contienen.
Si DI ⊆ R es una escala digital para los números reales. Sea el conjunto de los
intervalos modales digitales
I ∗ (DI) := {[a, b] ∈ I ∗ (R) | a ∈ DI, b ∈ DI}
Se definen los redondeos externo e interno de un intervalo A = [a, b] ∈ I ∗ (R) como
los intervalos de I ∗ (DI) definidos por
Ex([a, b]) := [l(a), r(b)]
In([a, b]) := [r(a), l(b)]
Se verifica que In(A) = Dual(Ex(Dual(A))) ya que
In(A) = [r(a), l(b)] = Dual([l(b), r(a)]) = Dual(Ex([b, a])) = Dual(Ex(Dual(A)))
De los resultados de la identificación de intervalos modales con los conjuntos de
predicados que aceptan o rechazan, concluimos que Ex(F ) ⊇ F para el cálculo del
redondeo exterior de un intervalo exacto F , In(F ) ⊆ F para el cálculo de su redondeo
interno y que
In(F ) ⊆ F ⊆ Ex(F )
lo cual es equivalente a la relación
Pred(In(F )) ⊆ Pred(F ) ⊆ Pred(Ex(F ))
y a la
Copred(In(F )) ⊇ Copred(F ) ⊇ Copred(Ex(F )).
Este resultado significa que la información positiva “a priori” (predicados que son
analı́ticamente aceptados por el cálculo desconocido de F ) se induce de F a Ex(F ),
y la información negativa “a priori” (predicados reales que por razones analı́ticas
son rechazados por F ) se induce del mismo modo a In(F ). Contrariamente, la información “a posteriori”, aceptada o rechazada por los intervalos calculados Ex(F ) e
In(F ), se induce de Ex(F ) a F (los predicados negativos “a posteriori”), y de In(F )
18
a F (los predicados positivos “a posteriori”). Los predicados que no son ni aceptados
por In(F ) ni rechazados por Ex(F ) no se pueden decidir “a posteriori” para F .
En particular, en el caso de intervalos clásicos, con el redondeo externo, si A′1 ⊆ A′2 ,
solamente están disponibles la información a priori Pred(A1 )
E(x, A′1 )P (x) ⇒ E(x, A′2 )P (x)
y la información a posteriori Copred(A2 )
U(x, A′2 )¬P (x) ⇒ U(x, A′1 )¬P (x)
19
Referencias
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Ser. Sci Math. Astr. Phys, (9):241–245, 1961.
20
9.
Problemas
1. A partir de la igualdad ax = b, averiguar cuales de las siguientes proposiciones
son ciertas
a) (∀a ∈ [3, 8]′ ) (∀x ∈ [−1, 2]′ ) (∀b ∈ [−8, 16]′ ) ax = b
b) (∀a ∈ [3, 8]′ ) (∀x ∈ [−1, 2]′ ) (∃b ∈ [−8, 16]′ ) ax = b
c) (∀a ∈ [3, 8]′ ) (∃x ∈ [−1, 2]′ ) (∃b ∈ [−8, 16]′ ) ax = b
d ) (∀b ∈ [−8, 16]′ ) (∃x ∈ [−1, 2]′ ) (∃a ∈ [3, 8]′ ) ax = b
e) (∀b ∈ [−8, 16]′ ) (∀x ∈ [−1, 2]′ ) (∃a ∈ [3, 8]′ ) ax = b
2. Para los intervalos modales ([3, 4]′ , E), ([−5, 0]′ , U), ([3, 3]′ , E) y ([3, 3]′ , U), hallar extensión, modalidad, ı́nfimo, supremo y expresarlos en notación canónica.
3. Para los intervalos modales [3, −1], [4, 6], [−5, −10] y [4, 4], expresarlos como
pares (conjunto, cuantificador) y hallar ı́nfimo, supremo, extensión y modalidad.
4. Representar gráficamente los intervalos modales ([−3, −3]′ , U), ([−1, 2]′ , U) y
([3, 4]′ , E).
5. Averiguar si son ciertas o no las proposiciones
a) Q(x, ([3, 4]′ , E)) x < 0
b) Q(x, ([−1, 2]′ , U)) x + 16 < 4
c) Q(x, [1, 3]) x2 + x + 1 < 2
d ) Q(x, [4, −2]) |x + 3| < |x + 1|
6. Decidir si
a) (1 + x2 ≤ 0) ∈ Pred([4, 1])
b) (1 + x2 < 3) ∈ Pred([−4, 2])
c) (x + 5 ∈ [4, 5]′ ) ∈ Pred([−1, −3])
d ) (3x − 4 > x2 ) ∈ Copred([0, 3])
e) (x < 7) ∈ Copred([2, 2])
f ) (x + 5 ∈ [4, 5]′ ) ∈ Copred([−1, −3])
7. Comprobar que
a) Pred([3, 5]) = ∪(x, [3, 5]′ ){P (.) | P (x)}
b) Pred([−1, −4]) = ∩(x, [−4, −1]′ ){P (.) | P (x)}
8. Averiguar si son ciertas las siguientes inclusiones
21
a)
b)
c)
d)
e)
[4, 5] ⊆ [−1, −3]
[6, 1] ⊆ [4, 15]
([3, 4]′ , U) ⊆ ([−1, 10]′ , U)
([0, 0]′ , E) ⊆ ([−5, 6]′ , U)
([1, 2]′ , E) ⊆ [1, 1]
9. Comprobar que [4, 1] ⊆ [2, 3] y que
Pred([4, 1]) ⊆ Pred([2, 3])
Copred([4, 1]) ⊇ Copred([2, 3])
10. Averiguar si [6, 2] ≤ [1, 10] y ([4, 5]′ , E) ≤ ([6, 8]′ , U).
11. Comprobar si
a)
b)
c)
d)
Dual([3, 6]) ⊆ Prop([4, 5])
Impr([4, 8]) ≤ Dual([3, 4]′ , U)
¬Q(x, [3, 1])P (x) ⇔ Q(x, [1, 3])¬P (x)
P (.) ∈ Copred([3, 1]) ⇔ ¬P (.) ∈ Pred([1, 3])
12. Calcular
a)
b)
c)
d)
e)
[3, −1] ∨ [4, 5]
∨([3, 2], [5, 6], [−1, −3])
∧([8, 6], [1, 2], [−1, 5], [0, 3], [2, 2])
(∨([3, −4], [−1, 3], [5, −8])) ∧ (∧(i, [1, 6]′ )[i, i + 3])
(B(i, {1, 6, 8})[i − 1, i − 5]) ∨ (T(i, [1, 2]′ )[i2 + 1, 1])
13. Verificar si
a)
b)
c)
d)
(. ∈ [1, 4]′ ) ∈ Pred∗ ([1, 2]′ , U)
(. ∈ [−3, −1]′ ) ∈ Pred∗ ([−7, 0])
(. ∈
/ [0, 0]′ ) ∈ Copred∗ ([−1, 1]′ , E)
(. ∈
/ [1, 3]′ ) ∈ Copred∗ ([4, −3])
14. Para los intervalos A = [3, 2] y B = [−1, 6] comprobar que
Pred(A ∧ B) ⊆ Pred(A) ∩ Pred(B)
Pred∗ (A ∨ B) ⊇ Pred∗ (A) ∪ Pred∗ (B)
y averiguar si
Pred(A ∨ B) ⊆ Pred(A) ∪ Pred(B)
15. Comprobar si
([3, 4], [2, −1], [1, 2]) ⊆ ([1, 8], [−3, −5], [0, 3]) y
Prop([3, −4], [2, 2]) ⊇ Impr([3, 2], [−1, 6])
22