Optimización y Programación Lineal Problemas Resueltos sobre Análisis de Sensibilidad euresti@itesm.mx 17 de junio de 2014 Matrı́cula Nombre 1. El granjero Leary cultiva trigo y maı́z en su granja con un terrero cultivable de 45 acres. Él puede vender a lo más 140 bushels de trigo y 120 bushels de maı́z. Cada acre que el planta con trigo produce 5 bushels mientras que cada acre plantado con maı́z produce 4 bushels. El trigo se vende a 30 dólares el bushel mientras que el maı́z a 50 dólares el bushel. Para cosechar un acre de trigo requiere 6 horas de labor; cosechar un acre de maı́z requiere 10 horas. Se pueden contratar hasta 350 horas de labor a 10 dólares la hora. Sea A1 el número de acres plantados con trigo, A2 el número acres plantados con maı́z; y L las horas de labor contratadas. Para maximizar las ganancias, el granjero formuló y resolvió un modelo lineal cuyo reporte aparece en la figura 1. Usándolo, conteste las siguiente preguntas. Si sólamente quisiera plantar 40 acres, ¿cuál serı́a el valor del óptimo?$3,875 Solución La variación 40 − 45 = −5 es un decremento de 5 unidades ocurre en una restricción obligada cuyo máximo decremento de permanencia de base es 6.666. Ası́ el decremento no se excede y la base sigue siendo óptima. Como la modificación ocurre en los lados derechos de restricciones obligadas lo más seguro es que las variables básicas cambien de valor; los nuevos valores no los conocemos pero podemos calcular el valor del óptimo usando el precio sombra de la restricción 2 (ROW 2) Dual Prices: 75) que es la asociada a la cantidad de acres disponibles: Nuevo valor z = 4250 + −5 · 75 = 3875 Si el precio del trigo cayera a 26 dólares el bushel, ¿cuál serı́a el valor del óptimo del granjero? $3,750 Solución En este caso el coeficiente de A1 pasarı́a de ser 150 = 30 · 5 a ser 130 = 26 · 5. Es decir, que el coeficiente de A1 tendrı́a una variación de −20 como el máximo decrecimiento permitido es 30, entonces la base sigue siendo óptima. Como el cambio ocurre en los coeficientes de la función objetivo y no en los lados derechos de las restricciones, la región factible es la misma y por tanto la esquina óptima es la misma y por tanto, los valores de las variables básicas siguien sin cambios A1=25, A2 =20 y L=350. Podemos determinar el valor del óptimo usando el decremento en el coeficiente y el valor de A1: Nuevo valor z = 4250 + −20 · 25 = 3750 Si sólo 130 bushels de trigo pudieran ser vendidos, ¿cambiarı́a la respuesta al problema referente a la forma de plantar el terreno y maximizar las ganancias?No hay cambios Solución Por un lado vemos que el nuevo valor 130 está en el intervalo permitido para mantener la base actual. Al observar la salida de lindo vemos que la restricción marcada como 5 tiene una valor de holgura de 15. Es decir, que esos 10 valores no afectarán los valores de la variables básicas. Por tanto, tanto el valor del óptimo como los valores de las variables de decisión siguen aplicando. 2. Suponga que tiene una empresa que produce tres tipos de productos (P i) que vende a granel. Estos productos están basados en 4 tipos de materias primas (M P j). El personal de operación ha planteado el modelo para maximizar la utilidad neta y lo ha resuelto; se tiene el reporte de LINDO, el cual se muestra a continuación. En los incisos a), b), d) y e) cruce la respuesta y, si ası́ lo requiere, complemente su respuesta llenando el espacio marcado. 1 2 Figura 1: Reporte de LINDO para el granjero Leary LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 1) OBJECTIVE FUNCTION VALUE 280.0000 VARIABLE P1 P2 P3 ROW MP1) MP2) MP3) MP4) VALUE REDUCED COST 2.000000 0.000000 0.000000 7.000000 8.000000 0.000000 SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 21.000000 0.000000 0.000000 10.000000 0.000000 8.000000 4.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE P1 60.000000 20.00000 5.600000 P2 28.000000 7.000000 INFINITY P3 20.000000 2.500000 5.000000 ROW MP1 MP2 MP3 MP4 RIGHTHAND SIDE RANGES CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 45.000000 INFINITY 21.000000 20.000000 4.000000 8.000000 15.000000 5.000000 7.000000 15.000000 INFINITY 6.000000 a) Suponga que la utilidad del producto 2 aumenta 8 unidades. ¿Es posible estimar el cambio en el óptimo? NO vs SI y el valor del óptimo será: Solución Como el incremento (8) en el coeficiente es mayor que el máximo permitido(7), NO es posible estimar el cambio en el óptimo. b) Suponga que la utilidad del producto 1 aumenta 12 %, la utilidad del producto 2 aumenta en 1.2 unidades de capital y que la utilidad del producto 3 disminuye 2 unidad de capital; ¿Es posible estimar el cambio en el óptimo? NO vs SI : El valor del óptimo será: Solución 3 Para aplicar la regla del 100 %, determinamos el porcentaje de aumento total: 1.2 −2 = 0.12 + 0.1714 + 0.4 = 0.6914 < 1 0.12 + + 7 5 Por tanto, SÍ es posible calcular el cambio en el óptimo: ∆z = (2) × ((0.12) × 60) + (0) × (1.2) + (8) × (−2) = −1.6 con estos cambios el valor del óptimo será 280 − 1.6 = 278.4. c) Determine el rango de variación de la materia prima 3 donde es posible estimar el cambio en el valor del óptimo: [ , ] Solución [15 − 5, 15 + 7] = [10, 22] d ) Suponga que le ofrecen a la empresa un paquete que incluye 2 unidades de la materia prima 1, 2 unidades de la materia prima 2 y 2 unidades de la materia prima 3 a un costo de 25 unidades de capital, ¿le conviene comprar? NO vs SI : Porque el beneficio serı́a de: Solución El cambio total porcentual es: 2 2 2 0 + + + = 0.9 ≤ 1.00 ∞ 4 5 ∞ Por tanto, sı́ es posible estimar el cambio en el óptimo utilizando los precios duales de los lados derechos de las restricciones: (0) × (2) + (10) × (2) + (8) × (2) + 0 × (0) = 36 Teniendo un beneficio de 36 a un costo de 25, SÍ conviene comprar. e) Suponga que desafortunadamente se ha dañado en bodega un lote con dos unidades de cada tipo de materia prima que la ha dejado inservible. Diga usted si acaso puede calcular el impacto sobre la utilidad neta, y de ser posible, diga en cuántas unidades monetarias se estima la pérdida. ¿Es posible estimar el cambio en el óptimo? NO vs SI : El valor del óptimo será: Solución El cambio total porcentual es: −2 −2 −2 −2 + + + 21 8 7 6 = 0.0952 + 0.2500 + 0.2657 + 0.3333 = 0.96 ≤ 1 Por consiguiente, SÍ podemos estimar el impacto en el óptimo utilizando los precios duales de los lados derechos de las restricciones: (0) × (−2) + (10) × (−2) + (8) × (−2) + (0) × (−2) = −36 el nuevo óptimo será de 280 − 34 = 244.