Estadı́stica Tema 3: Cálculo de Probabilidades Unidad 3: Momentos de Variables Aleatorias Área de Estadı́stica e Investigación Operativa Licesio J. Rodrı́guez-Aragón Noviembre 2010 Contenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Definición de Momentos 3 Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Esperanza Matemática 5 Esperanza Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Varianza y Desviación Varianza . . . . . . . . Desviación Tı́pica . . Propiedades . . . . . . Tı́pica 7 ...................................................... 8 ...................................................... 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Asimetrı́a y Apuntamiento 11 Asimetrı́a y Apuntamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Covarianza y Correlación Lineal 13 Covarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1 Contenidos Definición de Momentos. Esperanza Matemática. Varianza y Desviación Tı́pica. Covarianza y Coeficiente de Correlación Lineal. Podemos construir medidas caracterı́sticas de la distribución de una Variable Aleatoria de forma equivalente a cómo se hizo en la Unidad 2, del Tema 1, para distribuciones de frecuencias. Licesio J. Rodrı́guez-Aragón Tema 3, Unidad 3 – 2 / 15 3 / 15 Definición de Momentos Momentos La definición general de un Momento respecto del punto v y de orden r de la variable aleatoria X: P P r r i (xi − v) f (xi ) = i (xi − v) pi si X es discreta Mr (v) = R∞ r si X es contı́nua −∞ (x − v) f (x)dx Destacar la importancia de ciertos Momentos: Momentos Respecto al Origen, v = 0. Momentos Centrales, v = µ. Licesio J. Rodrı́guez-Aragón Tema 3, Unidad 3 – 4 / 15 2 5 / 15 Esperanza Matemática Esperanza Matemática La Esperanza Matemática, µ, de una variable aleatoria X es el Momento respecto al Origen de orden 1 y se conoce como media o valor esperado de X: X µ = E(X) = xi f (xi ), en el caso discreto. i µ = E(X) = Z ∞ xf (x)dx, en el caso contı́nuo. −∞ Siendo f (x) la función de probabilidad o de densidad, según el caso. Algunas propiedades de la Esperanza: Si a y b son constantes y X una variable aleatoria con media µ y formamos Y = aX + b entonces, E(Y ) = E(aX + b) = aE(X) + b = aµ + b. El valor esperado de la suma o diferencia de dos o más funciones de una variable aleatoria X, es la suma o diferencia de los valores esperados de las funciones: E(g(X) ± h(X)) = E(g(X)) ± E(h(X)) La esperanza del producto de dos variables aleatorias independientes, X e Y , es el producto de las esperanzas: E(XY ) = E(X) · E(Y ). Licesio J. Rodrı́guez-Aragón Tema 3, Unidad 3 – 6 / 15 7 / 15 Varianza y Desviación Tı́pica Varianza La Varianza, σ 2 , de una variable aleatoria X con distribución de probabilidades f (x) y media µ, es el Momento Central de orden 2: X σ 2 = Var(X) = E[(X − µ)2 ] = (xi − µ)2 f (xi ), i en el caso discreto. 2 2 σ = Var(X) = E[(X − µ) ] = Z ∞ −∞ (x − µ)2 f (x)dx, en el caso contı́nuo. Siendo f (x) la función de probabilidad o de densidad. Licesio J. Rodrı́guez-Aragón Tema 3, Unidad 3 – 8 / 15 3 Desviación Tı́pica Se denomina Desviación Tı́pica de X, a la raı́z cuadrada positiva de la varianza, √ p σ = Var(X) = σ 2 . Licesio J. Rodrı́guez-Aragón Tema 3, Unidad 3 – 9 / 15 Propiedades Algunas propiedades de la Varianza: La varianza de una variable aleatoria X puede expresarse Var(X) = σ 2 = E(X 2 ) − E(X)2 = E(X 2 ) − µ2 . Si a y b son constantes y X una variable aleatoria con media µ y formamos Y = aX + b entonces, Var(Y ) = Var(aX + b) = a2 Var(X) = a2 σ 2 . Casos particulares de lo anterior son: Var(b) = 0 Var(X + b) = Var(X) Var(aX) = a2 Var(X) Var(aX + b) = a2 Var(X) Licesio J. Rodrı́guez-Aragón Tema 3, Unidad 3 – 10 / 15 4 11 / 15 Asimetrı́a y Apuntamiento Asimetrı́a y Apuntamiento Asimetrı́a: γ1 = µ3 , σ3 siendo µ3 el momento centrado de orden 3. Apuntamiento: γ2 = µ4 − 3, σ4 siendo µ4 el momento centrado de orden 4. Licesio J. Rodrı́guez-Aragón Tema 3, Unidad 3 – 12 / 15 13 / 15 Covarianza y Correlación Lineal Covarianza Sean X e Y dos variables aleatorias, con distribución de probabilidades conjunta f (x, y), la Covarianza entre X e Y se define del siguiente modo: Cov(X, Y ) = σXY = E[(X − µX )(Y − µY )]. Siendo esta expresión: Cov(XY ) = σXY = XX (xi − µX )(yj − µY )f (xi , yj ), i j en el caso discreto. Cov(XY ) = σXY = Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ (x − µX )(y − µY )f (x, y)dxdy, en el caso contı́nuo. Licesio J. Rodrı́guez-Aragón Tema 3, Unidad 3 – 14 / 15 5 Propiedades Algunas propiedades de la Covarianza: La Covarianza puede expresarse: σXY = E(XY ) − E(X) · E(Y ) = E(XY ) − µX · µY . Si X e Y son independientes, entonces σXY = 0, ya que en ese caso E(XY ) = E(X) · E(Y ). El Coeficiente de Correlación Lineal de Pearson se define como, ρ= Licesio J. Rodrı́guez-Aragón σXY . σX · σY Tema 3, Unidad 3 – 15 / 15 6