8.4. criterio de estabilidad por el metodo directo de liapunov

8.4. CRITERIO DE ESTAB.: METODO DE LIAPUNOV 309
8.4.
CRITERIO DE ESTABILIDAD POR EL
METODO DIRECTO DE LIAPUNOV
Consideremos el sistema autónomo
dx
= F (x, y)
dt
dy
= G(x, y),
dt
(8.32)
y supongamos que tiene un punto crı́tico aislado; sea (0, 0) dicho punto crı́tico
(un punto crı́tico (x0 , y0 ) se puede llevar al orı́gen mediante la traslación de
coordenadas x = u − x0 , y = v − y0 ).
Sea Γ(x(t), y(t)) una trayectoria de (8.32) y consideremos la función
E(x, y) continua y con primeras derivadas parciales continuas en una región que contiene a la trayectoria. Si un punto (x, y) se mueve a lo largo de
las trayectorias de acuerdo a las ecuaciones x = x(t) y y = y(t), entonces
E(x, y) = E(x(t), y(t)) = E(t)
es una función de t sobre Γ , su razón de cambio es
E 0 (x, y) =
dE
∂E dx ∂E dy
∂E
∂E
=
+
=
F+
G
dt
∂x dt
∂y dt
∂x
∂y
(8.33)
Esta fórmula es la idea principal de Liapunov.
Definición 8.5. Supongamos que E(x, y) es continua y tiene primeras derivadas
parciales continuas en una región que contiene al origen.
Si E(0, 0) = 0 y
i. Si E(x, y) > 0 para todo (x, y) 6= (0, 0), decimos que E es definida
positiva.
ii. Si E(x, y) < 0 para todo (x, y) 6= (0, 0), decimos que E es definida
negativa.
iii. Si E(x, y) ≥ 0 para todo (x, y) 6= (0, 0), decimos que E es semidefinida
positiva.
310
CAPÍTULO 8. INTROD. A LA TEORIA DE ESTABIL.
iv. Si E(x, y) ≤ 0 para todo (x, y) 6= (0, 0), decimos que E es semidefinida
negativa.
Nota:
E(x, y) = ax2m + by 2n con a > 0, b > 0 y m, n enteros positivos, es
definida positiva.
E(x, y) es definida negativa si y solo si −E(x, y) es definida positiva.
E(x, y) = ax2m + by 2n con a < 0 y b < 0 y m, n enteros positivos, es
definida negativa.
x2m es semidefinida positiva, ya que x2m = 0 para todo (0, y) y x2m > 0
para todo (x, y) 6= (0, 0).
Similarmente se demuestra que y 2n , (x − y)2m son semidefinidas positivas.
Si E(x, y) es definida positiva, entonces z = E(x, y) es la ecuación
de una superficie que podrı́a parecerse a un paraboloı́de abierto hacia
arriba y tangente al plano XY en el orı́gen (ver figura 8.18).
Definición 8.6 (función de Liapunov). Decimos que E(x, y) es una función de Liapunov para el sistema (8.32), si
E(x, y) es continua, con primeras derivadas parciales continuas en una
región que contiene al orı́gen.
E(x, y) es definida positiva.
Existe la derivada de E a lo largo de las trayectorias u órbitas del
sistema (8.32) y sea menor o igual que cero sobre la trayectoria, es
decir, que exista la siguiente derivada,
∂E
∂E
dE
dE
=
F+
G=
(x, y) = E 0 (x(t), y(t)) ≤ 0
dt
∂x
∂y
dt
(8.34)
= ∂E
F + ∂E
G = dE
(x, y) = E 0 (x(t), y(t)) < 0, decimos que
cuando dE
dt
∂x
∂y
dt
E(x, y) es una función de Liapunov estricta.
8.4. CRITERIO DE ESTAB.: METODO DE LIAPUNOV 311
z
y
x
Figura 8.18
Nota:
Si (8.34) fuera semidefinida negativa implı́ca que
E 0 (x, y) =
∂E
∂E
dE
=
F+
G≤0
dt
∂x
∂y
y esto implı́ca que E es no creciente a lo largo de las trayectorias de
(8.32) próximas al orı́gen.
Por lo anterior las funciones E generalizan el concepto de energı́a total
de un sistema fı́sico.
312
CAPÍTULO 8. INTROD. A LA TEORIA DE ESTABIL.
Teorema 8.4 ( Criterio de Liapunov).
a. Si existe una función de Liapunov para el sistema (8.32) entonces el
punto crı́tico (0, 0) es estable.
b. Si existe una función de Liapunov estricta para el sistema (8.32) entonces el punto crı́tico (0, 0) es asintóticamente estable.
c. Si E 0 (x, y) es definida positiva entonces (0, 0) es un punto crı́tico inestable.
Demostración: sea C1 un circunferencia de radio R > 0 centrado en el
orı́gen de tal manera que C1 se halla dentro del dominio de definición de la
función E. Como E(x, y) es continua y definida positiva, tiene un mı́nimo
positivo m en C1 . Además, E(x, y) es continua en el orı́gen y se anula en él,
luego podemos hallar un número positivo r < R tal que 0 ≤ E(x, y) < m si
(x, y) está dentro de la circunferencia C2 de radio r (Ver figura 8.19).
Sea Γ(x(t), y(t)) cualquier trayectoria que esté dentro de C2 para t = t0 ,
entonces E(t0 ) < m y como (8.34) es semidefinida negativa, entonces dE
=
dt
∂E
∂E
F
+
G
≤
0
lo
cual
implı́ca
que
E(t)
≤
E(t
)
<
m
para
todo
t
>
t
0
0,
∂x
∂y
luego la trayectoria Γ nunca puede alcanzar la cirdunferencia C1 en un t > t0
lo cual implı́ca que hay estabilidad.
Probemos la segunda parte del teorema.
Probemos que, bajo la hipótesis adicional ( dE
< 0), E(t) → 0, porque al ser
dt
E(x, y) definida positiva, implı́ca que Γ se aproxima al punto crı́tico (0, 0).
Como dE
< 0, entonces E(t) es decreciente y como E(t) está acotada
dt
inferiormente por 0, entonces E(t) tiene un lı́mite L ≥ 0 cuando t → ∞.
Supongamos que L > 0. Sea r < r (ver figura 8.19) tal que E(x, y) <
L para (x, y) dentro de la circunferencia C3 de radio r, como la función
(8.34) es continua y definida negativa, tiene un máximo negativo −k en el
anillo limitado por las circunferencias C1 y C3 . Este anillo contiene a toda
trayectoria Γ para t ≥ t0 , luego de la ecuación
E(t) = E(t0 ) +
Z
t
t0
dE
dt y
dt
dE
≤ −k
dt
8.4. CRITERIO DE ESTAB.: METODO DE LIAPUNOV 313
y
c1
c2
t = t0
•
r
r•
•R
x
c3
Γ
Figura 8.19
se obtiene la desigualdad:
E(t) ≤ E(t0 ) − k(t − t0 ) ∀t ≥ t0
Pero el lado derecho de la desigualdad tiende a −∞ cuando t → ∞, es decir,
lı́m E(t) = −∞, pero E(x, y) ≥ 0 (Absurdo!), luego L = 0.
¥
t→∞
Ejemplo 4. La E.D. de una masa m sujeta a un resorte de constante k,
en un medio que ofrece un amortiguamiento de coeficiente C es
m
dx
d2 x
+ kx = 0
+C
2
dt
dt
donde C ≥ 0, k > 0. Analizar la estabilidad de su punto crı́tico.
Solución:
El sistema autónomo equivalente es:
dx
= y;
dt
dy
k
C
=− x− y
dt
m
m
2
my
Su único punto crı́tico es (0, 0). La energı́a cinética
energı́a poR x es 2 1 y la
2
tencial (o energı́a almacenada en el muelle) es 0 kx dx = 2 kx
314
CAPÍTULO 8. INTROD. A LA TEORIA DE ESTABIL.
Luego la energı́a total: E(x, y) =
como
1
2
my 2 + 12 kx2 la cual es definida positiva,
µ
¶
∂E
k
C
∂E
F+
G = kxy + my − x − y = −Cy 2 ≤ 0
∂x
∂y
m
m
Luego, E(x, y) es una función Liapunov para el sistema y por tanto (0, 0) es
estable.
Se sabe que si C > 0 el punto crı́tico (0, 0) es asintóticamente estable, pero
la función Liapunov no detecta este hecho.
Ejemplo 5. (Resorte no lineal). Este es un ejemplo de una masa m = 1
sujeta a un resorte no lineal, en el cual la fuerza restauradora es una función
de la distancia de la masa al origen, sea −f (x) una función no lineal que
representa la fuerza restauradora tal que f (0) = 0 y xf (x) > 0 si x 6= 0; no
hay fricción. La E.D. de su movimiento es
d2 x
+ f (x) = 0
dt2
Analizar la estabilidad de su punto crı́tico.
Solución: el sistema autónomo equivalente es
x0 = y
y 0 = −f (x)
Su único punto crı́tico es (0, 0). La energı́a cinética es 21 x02 = 12 y 2 y la energı́a
potencial es
Z
x
f (x) dx
F (x) =
0
y la energı́a total es
y2
2
Como x, f (x) tienen el mismo signo entonces F (x) ≥ 0 y por tanto E(x, y)
es definida positiva. Además
E(x, y) = F (x) +
E 0 (x, y) = F 0 (x)x0 + yy 0 = f (x)y + y(−f (x)) = 0
es decir, es semidefinida negativa y por el teorema el punto crı́tico (0, 0) es
estable. Igual que sucede con un resorte lineal, se puede demostrar que este
8.4. CRITERIO DE ESTAB.: METODO DE LIAPUNOV 315
punto crı́tico es un centro.
Ejemplo 6. Analicemos la estabilidad del punto crı́tico del siguiente
sistema
x3
− x sen y,
3
y3
0
y = −y −
3
x0 = −x −
Solución:
(0, 0) es el único punto crt́ico. Sea E(x, y) = 12 (x2 + y 2 ), luego
E 0 (x, y) = x(−x −
y3
x4
y4
x3
− x sen y) + y(−y − ) = −x2 − − y 2 − − x2 sen y
3
3
3
3
pero |x2 sen y| ≤ x2 y por tanto x2 + x2 sen y ≥ 0. Entonces
E 0 (x, y) = −
x4
y4
x4
y4
− y2 −
− (x2 + x2 sen y) ≤ − − y 2 −
<0
3
3
3
3
para (x, y) 6= (0, 0), es decir E 0 es definida negativa y por el teorema anterior,
parte b., (0, 0) es asintóticamente estable.
Ejemplo 7. Analizar la estabilidad del punto crı́tico del siguiente sistema
dx
= −2xy;
dt
dy
= x2 − y 3
dt
Solución:
(0, 0) es punto crı́tico aislado
E(x, y) = ax2m + by 2n
∂E
∂E
F+
G = 2max2m−1 (−2xy) + 2nby 2n−1 (x2 − y 3 )
∂x
∂y
∂E
∂E
F+
G = (−4max2m y + 2nbx2 y 2n−1 ) − 2nby 2n+2
∂x
∂y
Para que el paréntesis se anule, necesitamos que m = 1, n = 1, a = 1,
b = 2, ⇒ E(x, y) = x2 + 2y 2 la cual es definida positiva y
∂E
∂E
F+
G = −4y 4
∂x
∂y
316
CAPÍTULO 8. INTROD. A LA TEORIA DE ESTABIL.
que es semidefinida negativa, luego (0, 0) es estable.
Teorema 8.5.
La función E(x, y) = ax2 + bxy + cy 2 es:
Definida positiva si y solo si a > 0 y b2 − 4ac < 0.
Semidefinida positiva si y solo si a > 0 y b2 − 4ac ≤ 0
Definida negativa si y solo si a < 0 y b2 − 4ac < 0
Semidefinida negativa si y solo si a < 0 y b2 − 4ac ≤ 0
Demostración. Veamos la primera parte.
Si y = 0 entonces E(x, 0) = ax2 > 0 si x 6= 0 y a > 0
Si
" µ ¶
#
µ ¶
2
x
x
y 6= 0 : E(x, y) = y 2 a
+c
+b
y
y
y si a > 0, el polinomio cuadrático en
⇔ b2 − 4ac < 0.
x
y
es positivo para todo
x
y
¥
Ejercicio 1. Determinar si cada una de las siguientes funciones estan
definidas positivas, negativas o semidefinidas positivas o negativas o ninguna
de las anteriores.
a) x2 − xy − y 2 , b) 2x2 − 3xy + 3y 2 , c)−2x2 + 3xy − y 2 , d) −x2 − 4xy − 5y 2 .
(Rta.: a) Ninguna de las anteriores, b) Definida positiva, c) Ninguna de las
anteriores, d) Definida negativa)
3
3
2
= xy 2 − x2 , dy
= − y2 + yx5
Ejercicio 2.Dado el sistema dx
dt
dt
Mostrar que (0, 0) es asintóticamente estable (Ayuda: tomar V (x, y) = ax2 +
by 2 ).
Ejercicio 3. Dado el sistema
Mostrar que (0, 0) es estable.
dx
dt
= −6x2 y,
Ejercicio 4. Dado el sistema dx
= −3x3 − y,
dt
Mostrar que (0, 0) es asintóticamente estable.
dy
dt
= −3y 3 + 6x3
dy
dt
= x5 − 2y 3
8.4. CRITERIO DE ESTAB.: METODO DE LIAPUNOV 317
Ejercicio 5. Dado el sistema dx
= −2x + xy 3 ,
dt
Mostrar que (0, 0) es asintóticamente estable.
dy
dt
= −x2 y 2 − y 3
Ejercicio 6. Mostrar que (0, 0) es un punto crı́tico inestable del sistema
x = F (x, y), y 0 = G(x, y), si existe una función E(x, y) con las siguientes
propiedades:
a) E(x, y) es continua, con primeras derivadas parciales continuas en una
región del plano que contiene al origen.
b) E(0, 0) = 0.
c) Todo cı́rculo centrado en el origen, contiene al menos un punto para el
cual E(x, y) es positiva.
d) ( ∂E
)F + ( ∂E
G) es definida positiva.
∂x
∂y
0
Ejercicio 7. Utilizando el ejercicio anterior mostrar que (0, 0) es inestable
= 2xy + x3 , dy
= −x2 + y 5
para el sistema dx
dt
dt
Ejercicio 8. Sea f (x) una función tal que f (0) = 0 y xf (x) > 0 para
x 6= 0 (es decir, f (x) > 0 si x > 0R y f (x) < 0 si x < 0)
0
a) Mostrar que E(x, y) = 12 y 2 + x f (x) dx esta definida positiva.
2
b) Mostrar que (0, 0) es un punto crı́tico estable del la E.D. ddt2x + f (x) = 0
c) Si g(x) ≥ 0 en un cı́rculo alrededor del origen, mostrar que (0, 0) es un
punto crı́tico estable del sistema
d2 x
dx
+ g(x) + f (x) = 0
2
dt
dt
Ejercicio: 9. Dado el sistema x0 = y−xf (x, y), y 0 = −x−yf (x, y), donde
f (0, 0) = 0 y f (x, y) tiene un desarrollo en serie de potencias convergente en
una región R alrededor del origen. Demostrar que el punto crı́tico (0, 0) es
estable si f (x, y) ≥ 0 en alguna región alrededor de (0, 0).
asintóticamente estable si f (x, y) es definida positiva en alguna región
alrededor de (0, 0).
inestable si en toda región alrededor de (0, 0) hay puntos (x, y) tales
que f (x, y) < 0.
Ejercicio: 10. Mediante el ejercicio anterior determinar la estabilidad de
los siguientes sistemas
a) x0 = y − x(y 3 sen 2 x), y 0 = −x − y(y 3 sen 2 x).
318
CAPÍTULO 8. INTROD. A LA TEORIA DE ESTABIL.
b) x0 = y − x(x4 + y 6 ), y 0 = −x − y(x4 + y 6 ).
a) x0 = y − x( sen 2 y), y 0 = −x − y( sen 2 y).
(Rta.: a) Inestable, b) Asintóticamente estable, c) Estable.)
Ejercicio: 11. Considere la ecuación
x00 + f (x, x0 ) + g(x) = 0
y suponga que f y g tienen primeras derivadas continuas y f (0, 0) = g(0) = 0
y yf (x, y) > 0 cuando y 6= 0 y xg(x) > 0 cuando x 6= 0. Trasforme la anterior E.D. en un sistema y luego demuestre que el punto crı́tico (0, 0) es estable.
Ejercicio: 12. Con el resultado del anterior ejercicio, demostrar la estabilidad de la E.D.
x00 + (x0 )3 + x5 = 0