operaciones con funciones #1

Operaciones con funciones
Dra. Carmen Ivelisse Santiago
Rivera
Universidad Interamericana
Recinto de Bayamón
Pensamiento
• Nadie te puede dar sabiduría. Tú debes
descubrirla por ti mismo, en un viaje a
través de la vida, que nadie puede dar por
ti. (Libro: Actos de fe.Iyanla Vanzant).
• Lograr el éxito no tiene misterio. ¡Es
sólo mucho trabajo! (Cita de: Oscar de
la Renta)
Operaciones con funciones
• Para toda función ƒ y g:
– Suma (f + g)(x) = f(x) + g(x)
– Diferencia (f - g)(x) = f(x) - g(x)
– Producto (f •g) = f(x)• g(x)
– Cociente
f
g
( x)
f ( x)
g ( x)
;donde g(x) ≠ 0
Suma o diferencia de funciones
• Sea f(x) = 5x2 – 2x + 3 y g(x) = x2 – 2
• Halla f + g
• (5x2 – 2x + 3) + (x2 – 2)
• 6x2 -2x + 1
• Halla f – g
• (5x2 – 2x + 3) - (x2 – 2)
• (5x2 – 2x + 3) + (-x2 + 2)
• 4x2 – 2x + 5
Encuentre lo siguiente:
• Sea f(x) = 5x2 – 2x + 3 y g(x) = x2 – 2
– Halla (f+g)(-3)
•
•
•
•
•
•
(f+g)(-3) = f(-3) + g(-3)
= 5(-3)2 – 2(-3) + 3 + (-3)2 – 2
= 5(9) + 6 + 3 + 9 – 2
= 45 + 18 – 2
= 45 + 16
= 61
Producto y cociente de funciones
• Sea f(x) = 5x2 y
g(x) = 3x – 1
f•g = 5x2 (3x – 1)
15x3 – 5x2
f/g = 5x2 / 3x – 1
donde x ≠ 1/3
Práctica
• Halla f+g y f – g
• f(x) = 5x2 y
g(x) = 3x – 1
» (f + g)(x) = 5x2 + 3x – 1
» (f - g)(x) = 5x2 - 3x + 1
• Halla fg y f/g y establece restricciones.
• f(x) = x2 -1 y
g(x) = x + 1
» (f • g)(x) = (x2 – 1)(x + 1)
» (f • g)(x) = x3 + x2 – x – 1
» (f / g)(x) = (x2 -1)/(x + 1) donde x ≠ -1
» (f / g)(x) = (x+1)(x-1)/(x + 1)
» (f / g)(x) = x -1
Cociente Diferecial
Composición de funciones
• Sea f y g funciones de x. La composición
de f con g, denotado por f g está definida
por f(g(x)). El dominio de y = f(g(x)) es el
conjunto de los valores del dominio de g
cuyo campo de valores es el dominio de f.
• La función f g es llamada la función
compuesta de f con g.
Ejemplo
•
Sea f(x) = x2 – 1
a) Halla f g
(f g)(x) = f(g(x))
f(g(x)) = (3x)2 – 1
f(g(x)) = 9x2 – 1
y
g(x) = 3x
b) Halla g f
g f = g(f(x))
g(f(x)) = 3(x2 – 1)
g(f(x)) = 3x2 – 3
Trata el siguiente: f(x) = -2x2 + 3 y g(x) = -2x
a) Halla f g
b) Halla g f
Función inversa
• El inverso de una relación
– El inverso de una relación de pares
ordenados (x, y) consiste en el conjunto de
todos los pares ordenados (y, x).
• Ej: R1={(1,2),(3,4)}  inverso = {(2,1),(4,3)}
– El dominio del inverso es el campo de valores
de la relación original.
– El campo de valores del inverso es el dominio
de la relación original.
Halla el inverso de una ecuación
• Para hallar el inverso de una ecuación,
intercambia la “x” por la “y” luego despeja
para “y”. La inversa de una función f se
denomina por f -1(x)
– Ejemplo:
•
•
•
•
•
f(x) = 3x – 2: Halla f -1(x) = (x+2)/3
y = 3x – 2 cambia f(x) por “y”.
x = 3y – 2 intercambia las variables x y
x + 2 = 3y despeja para y
y = (x+2)/3 divide entre 3 en ambos lados
Práctica
•
Halla la función inversa de las
siguientes:
1)
2)
3)
4)
f(x) = x + 1
g(x) = 5x – 2
h(x) = (x – 1)/4
k(x) = 3/2(x – 3) + 2
Prueba de la línea horizontal
• El inverso de una función es una función
si y sólo si cada línea horizontal interseca
la gráfica de la función dada una sola vez.
Cortó la gráfica más de una
vez.
Por tanto, la función inversa
de f(x) = x2 no representa
una función.
Usa la preuba de la línea horizontal
para determinar si la inversa de la
gráfica dada es una función de x.
Nota importante
• Si una función tiene inverso y su inverso
también es función, entonces se le llama
función uno-a-uno. También se le llama
función biyectiva.
Relación de composición de
funciones y la inversa
• Si f y g son funciones y (f g)(x) = (g f)(x) es
igual a I(x) = x, entonces f y g son inversas una
de la otra.
– Ejemplo: Sea f(x) = 7x – 2 y g(x) = (x+2)/7
– Demuestre que f y g son inversas.
• (f g)(x) = x
y
1
2
7( x
) 2
7
7
x 2 2
x
son inversas
(g f) = x
1
7
7
7
7
7
x
(7 x
x
x
2)
2
2
7
7
0
2
7
Práctica
•
Demuestre que f es la inversa de g.
1) f(x) = x + 2
2) f(x) = 2x – 3
g(x) = x – 2
g(x) = -2x + 3