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Modulo I: Oscilaciones (9 hs)
1.
2.
3.
4.
Movimiento Armónico Simple (MAS)
Oscilaciones Amortiguadas
Oscilaciones forzadas y resonancia
Superposición de MAS
2.1 Fuerza de fricción viscosa
2.2 Oscilaciones armónicas amortiguadas
2.3 Tipos de amortiguamiento
2.4 Oscilaciones débilmente amortiguadas
2.5 Energía de las oscilaciones amortiguadas
2.6 Factor de calidad
Bibliografía: Tipler y Mosca, Capítulo 14
17/02/2012
Masoller, FII
1
Oscilaciones amortiguadas
Fuerzas disipativas (rozamiento) producen el amortiguamiento de las oscilaciones
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2
2.1 Fuerza de fricción viscosa
F
Es proporcional y opuesta a la velocidad:
b = coeficiente de fricción viscosa
(constante de amortiguamiento) [b]: kg/s
 bv
¿Cómo se mueve una partícula bajo la acción de una fuerza de fricción
viscosa?
dv
b
dv
F  ma  bv  m   dt 
dt
m
v
t
v
b
dv
b
v
  dt     t  ln 
m0
v
m
v0
v0
1 2 1
( b / m ) t 2


K  mv  m v0e
2
2
(e x )2  e2 x

La velocidad decrece
exponencialmente
con el tiempo.
2 ( b / m ) t
La energía cinética también
decrece exponencialmente con
el tiempo (y más rápido que v).
Unidades [b/m]: 1/s
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K  K0 e
v  v0e (b / m)t
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Movimiento bajo la acción de una fuerza de
fricción viscosa
x
t
dx
 v0e bt / m   dx  v0  e bt / m dt
dt
x0
0

10
x0  0
5
b/m=3.6 s-1, v0=-50 m/s
b/m=7 s-1, v0=+50 m/s
x (m)
0
-5
m
x  x0  v0 1  e (b / m)t 
b
La partícula eventualmente se
detiene:
t
e(b / m )t  0
m
b
v  v0e( b / m )t  0
x  x0  v0
-10
-15
0
0.5
1
Tiempo (s)
1.5
A mayor b/m: el movimiento se amortigua más
rápidamente.
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2
K  K0e2( b / m )t  0
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2.2 Oscilaciones armónicas amortiguadas
Cuando una partícula esta sujeta a la acción de dos fuerzas: 1) viscosa y 2) elástica
la ecuación del movimiento es:
d 2 x b dx k
 Fi  ma  bv  kx  ma  dt 2  m dt  m x  0
viscosa
elástica
x  2 x   x  0
2
0
Ecuación diferencial
ordinaria de 2º orden
lineal y homogénea
Frecuencia angular natural del sistema:
v
-bv
0  k / m
 : Parámetro de amortiguamiento.
Unidades []: 1/s
b : Constante de amortiguamiento (Fviscosa=-bv)
Unidades [b]: kg/s
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x
-kx
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
b
2m
5
Solución de la ecuación diferencial si  < 0
x  2 x  02 x  0
• Si  < 0 la solución es
1  02   2
x(t )  A(t ) cos(1 t   )
x0 = A0 cos 
A(t )  A0e  t
0  k / m
b

2m
• Si =0: MAS de frecuencia angular 0: x(t )  A0 cos(0 t   )
• 1 : frecuencia angular del movimiento
• 0 : frecuencia angular natural del sistema (frecuencia con que oscilaría si no
hubiera amortiguación)
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2.3 Tipos de amortiguamiento
x  2x  02 x  0
1) Débil
  0
x(t )  A0e t cos(1 t   )
1  02   2
2) Crítico
  0
x(t )   A0  B0t  e
 t


1t
1t
 t



x
(
t
)

A
e

B
e
e
3) Sobre-amortiguado
0
0
0
1   2  02
A0 y B0 son dos constantes que se pueden calcular
a partir de las condiciones iniciales (x0 y v0 )
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1) Débil
  0
1.5
0 = 36 rad
T0 
2
0
 =1
 =3.6
s-1
1
 0.17
0.5
x (m)
1  02   2
La oscilación se
amortigua más
rápidamente
para mayor 
0
-0.5
-1
-1.5
0
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0.5
1
t (s)
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1.5
2
8
2) crítico
0 = 36 rad s-1
  0
 = 36 s-1
1.2
v =0
0
v 0=50
v 0=-50
1
x (m)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0
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0.05
0.1
t (s)
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0.15
0.2
9
3) sobre amortiguado
0 = 36 rad s-1
  0
 = 100 s-1
0.7
v =50
data1
0
data2
v
=0
data30
0.6
v =-50
0
0.5
x(t)
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
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0.05
0.1
t (s)
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0.15
0.2
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Comparación
0 = 36 rad s-1
1.5
1
0.5
x (m)
Para las mismas
condiciones
iniciales oscilación
se amortigua más
rápidamente
cuando el
amortiguamiento
es crítico.
 =1
 =100
 =36
0
-0.5
-1
0
0.5
1
1.5
t (s)
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2.4 Oscilaciones débilmente amortiguadas
• Si  < 0 la oscilación es débilmente amortiguada
x(t )  A0e t cos(1 t   )
Características del movimiento:
• No es un movimiento periódico.
2
2
• Pero: si  << 0 es ‘’casi’’ un MAS y podemos aproximar 1  0    0
2
2
2
• El ‘’período’’ del movimiento es: T 


 T0
2
2
1
0
0  
 t
• La “amplitud” efectiva es: A(t )  A0e
• El “período” no depende de la amplitud.
A(t )  A(t  T )
p

 1  e T
• La perdida relativa de amplitud por periodo es:
A(t )
Ejercicio: sabiendo que la frecuencia angular de un oscilador amortiguado
es el 95% de su frecuencia propia, ¿en qué % se reducirá la amplitud en
cada oscilación?
Solución: se reduce en un 12.7%, A(t+T)=0.127A(t)
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Espacio de fase (posición, velocidad)
MAS
MAS amortiguado
x(t )  A0e t cos(1 t   )
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2.5 Energía de las oscilaciones amortiguadas
P(t )  Fv  v  bv 2
• Potencia disipada
t
dE
• Podemos calcular la variación de la energía P 
 E (t )  E0    bv 2dt
dt
0
• Haciendo la integral
1
2 2
2 2  2 t
E (t )  m1 A0 e [1  2 sin(1t ) cos(1t ) 
cos 2 (1t )]
2
1
• Si el movimiento es débilmente amortiguado (“casi MAS”): A(t )  A0e  t
1
1 2 2  t
2
E (t )  kA(t )  kA0 e
 E0e2  t  E0et /
2
2
1 2
E

kA0
Energía inicial: 0
2
Constante de tiempo

(o tiempo de relajación)
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m


2 b
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2.6 Factor de calidad
Energía del oscilador
Q  2
| Energía perdida por ciclo |
  0
Si el amortiguamiento es muy débil: 
2  t
E
(
t
)

E
e
0

E0e 2 t
E0
Q  2

2

E0e 2 t  E0e2  ( t T )
E0  E0e2 T
T  
2
1
1  0


2
0

Q  2
  0

1  e  2 T  1  2  T
1
1
 2
2
2T
2
1
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Constante de tiempo
(o tiempo de relajación)
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
  1 /( 2 )
1
Q
 1  0
2
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Resumen



El movimiento amortiguado ocurre en las oscilaciones reales y es causado
por fuerzas de fricción.
Si el amortiguamiento es mayor que un cierto valor critico el sistema no
oscila cuando regresa a su posición de equilibrio.
Si el oscilador esta débilmente amortiguado el movimiento es casi un MAS
con amplitud que disminuye exponencialmente con el tiempo.

Débilmente
amortiguado
si:
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
Críticamente
amortiguado

Sobreamortiguado
  0
  0
x  A0e t cos(1t   )
1  02   2
x  A0e t cos(0t   )
1  0
  0
x   A0  B0t e t
  0
x  A0e1t  B0e1t e t


1   2  02
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Problemas
Problema 16
Una partícula de masa m esta unida a un muelle de constate k y todo ello dispuesto
en un plano horizontal. El muelle se estira respecto a su posición de equilibrio una
longitud A0 y se suelta por lo que la partícula comienza a oscilar. La mesa ejerce una
fuerza de rozamiento seco sobre la partícula determinada por el coeficiente de
rozamiento . Despreciando la resistencia del aire calcular la diferencia de
amplitudes entre dos oscilaciones consecutivas. ¿en que condiciones se detendrá
la partícula?
Solución: A  4mg / k
Problema 22
Dos cuerpos unidos entre si de masas M y m están en equilibrio colgados del techo
mediante un muelle de constante k. En un determinado instante se retira el cuerpo
de masa m por lo que el cuerpo M empieza a oscilar, realizando oscilaciones
amortiguadas por el rozamiento con el aire. Se pide:
a) Energía con la que empieza a oscilar el cuerpo.
b) Perdida relativa de energía (q) en función de la pérdida relativa de amplitud (p).
c) Si M=100g, m=30g, k=25N/m, p=1.5%, determinar el tiempo necesario para que
la energía sea la cuarta parte del valor inicial.
Solución:
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E0  m2 g 2 /( 2k ), q  2 p  p2 ,
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t  18.22 s
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Preguntas VF
1. En un oscilador armónico amortiguado la energía decrece describiendo
oscilaciones de amplitud decreciente.
2. La energía de un oscilador muy débilmente amortiguado es proporcional al
cuadrado de su amplitud efectiva.
3. El parámetro de amortiguamiento tiene las mismas unidades que la constante
de amortiguamiento.
4. Si ω0 <  la partícula se aproximará a la posición de equilibrio sin realizar
oscilaciones y en el menor tiempo posible.
5. El factor de calidad es una magnitud que sólo esta definida para el movimiento
débilmente amortiguado.
6. La energía de un oscilador débilmente amortiguado decrece exponencialmente
con el tiempo.
7. Los amortiguadores de un coche son un ejemplo de sistema débilmente
amortiguado.
8. El periodo de un oscilador débilmente amortiguado aumenta a medida que la
partícula pierde velocidad.
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