23.3 Una esfera metálica pequeña, con una carga neta de q1=-2.8 µC, se mantiene en una posición fija por medio de soportes aislantes. Se proyecta hacia q1 una segunda esfera metálica pequeña, con una carga neta de q2=-7.8 µC y una masa de 1.5 g. Cuando las dos esferas están a 0.8 m una de la otra, q2 se traslada hacia q1 con una rapidez de 22 m/s. Suponga que las dos esferas se puedan tratar como cargas puntuales. a) ¿Cuál es la rapidez de q2 cuando las esferas están a 0.4 m una de la otra? b) ¿Cuánto es lo más que q2 se acerca a q1? v=22 m/s q2 q1 0.8 m v=22 m/s q2 q1 0.8 m U 1 + K1 = U 2 + K 2 −6 −6 − − ( 2 . 8 10 C )( 7 . 8 10 C) q1q2 = (8.9 109 m 2 / C 2 ) = 245.7 10 −3 J U1 = 0.8m 4πε 0 x1 1 1 2 1 mv = (1.5 10 −3 kg )(22m / s) 2 = 363 10 −3 J 2 2 −6 −6 1 q1q2 9 2 2 ( −2.8 10 C )( −7.8 10 C ) = (8.9 10 m / C ) = 491.4 10 −3 J U2 = 0.4m 4πε 0 x2 K1 = K 2 = U1 + K1 − U 2 = 608 10 −3 J − 491.4 10 −3 J = 116.6 10 −3 J K 2 = U1 + K1 − U 2 = 608 10 −3 J − 491.4 10 −3 J = 116.6 10 −3 J a) b) 1 2 2(116.6 10 −3 J ) m −3 = 12.48 mv = 116.6 10 J ⇒ v = −3 2 1.5 10 kg s U 2 = U1 + K1 = 0.608 J = 1 q1q2 4πε 0 x (8.9 109 m 2 / C 2 )(−2.7 10 −6 C )(−7.8 10 −6 C ) x= = 0.323m 0.608 J 23.5 Se mantiene fija en el origen una carga puntual Q=+4.6 µC. Se coloca sobre el eje de las x, a 0.25 m del origen, una segunda carga puntual q=+1.2 µC con una masa de 2.8 10-4 kg. a) ¿Cuál es la energía potencial eléctrica U del par de cargas? (Tome U como 0 cuando la separación entre las cargas es infinita). b) Se deja libre la segunda carga puntual, inicialmente en reposo. i) ¿Cuál es su rapidez cuando su distancia al origen es de 0.5 m? ii) ¿ 5 m? iii) ¿50 m? q Q 0.25 m a) b) i) qQ (8.9 109 m 2 / C 2 )(4.6 10 −6 C )(1.2 10 −6 C ) U= = = 198.7 10 −3 J 4πε 0 d 0.25m 1 U1 = U 2 + K 2 ⇒ 0.198 J = qQ 1 2 + mv 4πε 0 0.5m 2 1 1 2 m mv = 0.0993J ⇒ v = 26.6 2 s b) ii) 1 qQ 1 2 U1 = U 2 + K 2 ⇒ 0.198 J = + mv 4πε 0 5m 2 v = 36.6 b) iii) m s 1 qQ 1 2 + mv U1 = U 2 + K 2 ⇒ 0.198 J = 4πε 0 50m 2 v = 37.5 m s POTENCIAL ELÉCTRICO Un POTENCIAL es energía potencial por unidad de carga. Se define el potencial V en cualquier punto de un campo eléctrico como la energía potencial U por unidad de carga asociada con una carga de prueba q0 en ese punto: U 1J POTENCIAL ELÉCTRICO V= = 1 Volt q0 1C (escalar) Ub U a Wa →b ∆U = −(Vb − Va ) = Va − Vb =− = − − q0 q0 q0 q 0 La diferencia Va-Vb se llama potencial de a con respecto a b Vab. El potencial Vab de a con respecto a b es igual al trabajo realizado por la fuerza eléctrica cuando una UNIDAD de carga se desplaza de a a b. V= V= U 1 qq0 1 1 q Potencial debido a una carga eléctrica puntual = = q0 4πε 0 r q0 4πε 0 r U 1 q0 = q0 4πε 0 q0 qi 1 = ∑i r 4πε 0 i qi ∑i r Potencial debido a conjunto de cargas puntuales i Cuando se tiene una distribución continua de carga a lo largo de una línea, en una superficie o en todo un volumen, la suma se transforma en una integral: dq V= 4πε 0 ∫ r 1 Potencial debido a una distribución continua de carga A veces es más fácil calcular V a partir de E, y no de la distribución de carga: r r b r r = ∫ F ⋅ d l = ∫ q 0 E ⋅ dl b Wa →b a a b r r b Wa →b = Va − Vb = ∫ E ⋅ dl = ∫ E cos(ϕ )dl q0 a a Diferencia de potencial como una integral de E + E E V disminuye V aumenta V aumenta V disminuye El potencial disminuye en la dirección del campo eléctrico y aumenta en la dirección opuesta al campo eléctrico. FUERZA ELÉCTRICA Y POTENCIAL ELÉCTRICO Un protón (q=1.6 10-19 C) se desplaza en línea recta del punto a al punto b de un acelerador lineal, una distancia total d=0.5 m. El campo eléctrico es uniforme a lo largo de esta línea y su magnitud es E=1.5 107 N/C en la dirección desde a a b. Halle a) la fuerza sobre el protón; b) el trabajo que el campo realiza sobre él; c) la diferencia de potencial Va-Vb. a) La fuerza tiene la misma dirección que el campo eléctrico, su magnitud es: F = qE = (1.6 10 −19 C )(1.5 107 / C ) = 2.4 10 −12 b) La fuerza es constante y tiene la misma dirección que el desplazamiento: Wa →b = Fd = (2.4 10 −12 )(0.5m) = 1.2 10 −12 J c) El potencial es trabajo por unidad de carga: Wa →b 1.2 10 −12 J 6 Va − Vb = = = 7 . 5 10 V −19 q 1.6 10 C POTENCIAL DEBIDO A DOS CARGAS PUNTUALES Un dipolo eléctrico consta de dos cargas puntuales q1=+12 nC y q2=-12 nC, separadas por una distancia de 10 cm. Calcule los potenciales en los puntos a,b y c sumando los potenciales debidos a una u otra carga. c 13 cm V= 4 cm + qi ∑ 4πε 0 i ri 13 cm 10 cm b 1 a 6 cm 4 cm En el punto a los potenciales debidos a las dos cargas son: 2 q1 12 10 −9 C 9 m V1 = = (8.9 10 ) = 1800 V 2 4πε 0 r1 C 0.06m 1 2 q2 − 12 10 −9 C 9 m V2 = = (8.9 10 ) = −2700 V 2 4πε 0 r2 C 0.04m 1 Va = V1 + V2 = 1800 V − 2700 V = −900 V c 13 cm En el punto b los potenciales debidos a las dos cargas son: 13 cm 10 cm + b 4 cm a 6 cm 4 cm 2 q1 12 10 −9 C 9 m V1 = ) = (8.9 10 = 2700 V 2 4πε 0 r1 C 0.04m 1 2 q2 − 12 10 −9 C 9 m V2 = = (8.9 10 ) = −770 V 2 4πε 0 r2 C 0.14m 1 Vb = V1 + V2 = 2700 V − 770 V = 1930 V En el punto c los potenciales debidos a las dos cargas son: 2 q1 12 10 −9 C 9 m V1 = = (8.9 10 ) = 830 V 2 4πε 0 r1 C 0.13m 1 2 q2 − 12 10 −9 C 9 m V2 = = (8.9 10 ) = −830 V 2 4πε 0 r2 C 0.13m 1 Vc = V1 + V2 = 830 V − 830 V = 0 V CÁLCULOS DE POTENCIAL ELÉCTRICO Una esfera conductora de radio R tiene una carga total q. Halle el potencial en todas partes, tanto afuera como adentro de la esfera. q + + + R + + + + + + + Afuera de la esfera el campo eléctrico es el mismo de una carga puntual q: E= 1 q 4πε 0 r 2 Por lo tanto, el potencial en un punto afuera (r > R) de la esfera a distancia r de su centro es el mismo que el potencial eléctrico de una carga puntual: V= 1 q 4πε 0 r El potencial en la superficie de la esfera (r=R) es: El potencial adentro de la esfera (r < R) es: V= V= 1 q 4πε 0 R 1 q 4πε 0 R b q + + + a + R + + + + + + E=0 en el conductor r r Va − Vb = ∫ E ⋅ dl = 0 b a Va = Vb PLACAS PARALELAS CON CARGA OPUESTA y + + + E + a + q0 - - b - - V ( y) = Halle el potencial a cualquier altura y entre las dos placas. + d - - U ( y ) q0 Ey = = Ey q0 q0 Va − Vb = E ( ya − yb ) = Ed E= Va − Vb Vab = E= d d [ ] [V ] = [C ] [m] LÍNEA DE CARGA INFINITA O CILINDRO CONDUCTOR CON CARGA r r + + + R + λ 1 E (r ) = 2πε 0 r r rb λ b dr λ λ Va − Vb = ∫ Edr = = [ ln r − ln r ] = ln b a ∫ 2 πε r 2 πε 2πε 0 ra 0 a 0 a b Si se supone que b está en el infinito y se fija Vb=0, se halla que Va es infinito: λ ∞ Va = ln = ∞ 2πε 0 ra En ese caso ésta no es una manera útil de definir V, la dificultad es que la distribución de carga es infinita. Para evitar esta dificultad (podemos definir V como 0 en el punto que deseamos) fijemos Vb=0 a una distancia r0. Entonces el potencial V=Va en el punto a a una distancia r está dado por: λ r0 ln V −0 = 2πε 0 r Por ejemplo, si en el cilindro tomamos r0=R (el potencial es 0 en la superficie del cilindro), el valor del potencial es: r R λ R r>R V= ln 2πε 0 r V =0 r≤R