Aplicaciones del Amplificador Operacional

1
Aplicaciones del Ampli…cador Operacional
J. I. Huircán
Abstract— Existen numerosas aplicaciones construidas con
el Op Amp. La metodología básica de análisis en aplicaciones lineales considera el Op Amp ideal para la determinación de la relación de entrada-salida. El uso de la
relación de entrada-salida permite describir las aplicaciones
no lineales en lazo abierto y sistemas realimentados positivamente. El análisis en el caso de los generadores de función
y osciladores resulta más complejo debido al estudio cualitativo y matemático involucrado .
Av
Av
dB
dB
-Rf
R
20
0
ω [r a d/s e g]
1
0.1
RC
0
1
Rs C
RC
(a)
1
ω [r a d/s e g]
RC
(b)
Fig. 2. Respuesta en frecuencia del integrador. (a) Ideal. (b) Práctico.
Index Terms— uAmp Op Application
I. Introduction
El Op Amp permite diseñar distintas aplicaciones, tanto
lineales como no lineales. El análisis es distinto para cada
aplicación, pero es vital para comprender su diseño. En
los siguientes apartados se presentas distintas aplicaciones,
donde se presentan los correspondientes análisis y algunas
sugerencias para éllo.
II. El computador Analógico
Esta es la aplicación más clásica del Op Amp y permite la
resolución de ecuaciones diferenciales, mediante una combinación de integradores y derivadores. En el clásico articulo de Ragazzini et al. (1947) fue de…nido y nombrado formalmente el concepto de Op Amp, y se presenta un sistema
electrónico para solucionar ecuaciones integro-diferencial.
Se diseña Rf = 10R, y RC debe ser igual al período de
la señal de entrada.
B. El diferenciador práctico
El problema del circuito de la Fig. 3a, es que la reactancia capacitiva varía en forma inversa con la frecuencia,
haciendo muy sensible el circuito al ruido de alta frecuencia. La con…guración práctica de la Fig. 3b inhibe estos
efectos, pues la resistencia Rs en serie con el condensador
C, hace que disminuya la ganancia para alta frecuencia a
R
la relación Rfs . El circuito actuará como diferenciador
sólo a frecuencias menores que fc = 2 R1f C (o ! c = Rf1C ).
C
El integrador de la Fig. 1a se modi…ca mediante un
resistor Rf en paralelo al capacitor C, lo cual limita la
ganancia en baja frecuencia. Para frecuencias menores a
1
fC = 2 1RC o ! C = RC
, el circuito se comportará como
R
un ampli…cador inversor, con ganancia igual a Rf , para
f > fC , el circuito será un integrador, de acuerdo a la
respuesta en frecuencia de la Fig. 2b, cuya función de
transferencia esta dada por (1).
Rf
C
vi
R
vi
vo
(a)
R
_
vi
_
+
vi
C
_
vo
+
(a)
(b)
Fig. 3. Derivador. (a) Ideal. (b) Práctico.
Vo (s)
=
Vi (s)
Rf Cs
Rs Cs + 1
(2)
vo
+
Av
Av
dB
20
(b)
Fig. 1. Circuito integrador. (a) Ideal. (b) Práctico.
Rf
R (Rf Cs + 1)
ω [ra d/seg]
0
(1)
Haciendo s = j!, se determina la respuesta en frecuencia
de la Fig. 2b.
Preparado para Circuitos II - DIE, UFRO. Ver. 3.0, 2015
dB
Rf
Rs
1
10
Rf C
Rf C
(a)
Vo (s)
=
Vi (s)
vo
Rs
La función de transferencia estará dada por (2), haciendo
s = j! en (2) se determina la respuesta en frecuencia indicada en la Fig. 4b.
C
_
+
Rf
Rf
A. Integrador práctico
0
ω [ra d/seg]
1
Rf C
10
Rs C
(b)
Fig. 4. Respuesta en frecuencia Derivador. (a) Ideal. (b) Práctico.
El valor Rf C se conoce como constante de tiempo y se
suele hacer igual al período de la señal de entrada. Rs en
la práctica se considera entre 50 200 [ ].
2
C. Simbología de computación analógica
III. Circuitos comparadores
La computación analógica introduce una simbología
basada en diagramas de bloque, la cual permite implementar computadores en forma simple. En ella se encuentran
los integradores, sumadores y ampli…cadores.
u
-k
u
y
_
y
Son circuitos que permiten comparar y determinar cual
de dos voltajes es mayor. Los comparadores se construyen
mediante Op Amp en lazo abierto o con realimentación
positiva.
A. Comparadores de lazo abierto
y
u
Como la salida un Op Amp está dada por
u-y
+
u
≡ − ∫ y dt
≡
u
-k y
vo = Av v +
Fig. 5. Simbología básica de Computación Analógica.
D. Ejemplo
Sea la ecuación diferencial, con las condiciones iniciales
igual a cero.
d2 v (t)
dv (t)
+ k1
+ k2 v (t) + v1 (t) = 0
(3)
2
dt
dt
Donde v (t) es una función del tiempo. El computador
se construye despejando la derivada más alta, luego, integrado la variable deseada se reconstruye el lado derecho de
la ecuación de tal forma de que este término es igual a la
derivada más alta, así
d2 v (t)
=
dt2
2
d v(t)
dt 2
dv (t)
k1
dt
−
k2 v (t)
dv(t)
dt
v1 (t)
v(t)
−
(4)
vo
vi
V
+VCC
_
ref
vo =+VCC
VCC
vo
+
V ref
vi
-VCC
(a)
V
_
vi
+
ref
vo
VCC
+Vcc
vo =+VCC
vo
V ref
-Vcc
si
i
v V
<
ref
vi
-V
cc
+
Fig. 8. Comparador por saturación. (a) Inversor. (b) No inversor.
-1
+
+
v1(t)
Fig. 6. Computador analógico básico.
La solución se obtiene midiendo en el punto v(t), una
vez cerrado el interruptor.
El circuito de la Fig. 8a corresponde a un comparador
de saturación, donde vo = +VCC si vi < Vref y vo = VCC ;
cuando vi > Vref . En el circuito de la 8b, se ha cambiado
la referencia al terminal v , por lo que en este caso se tiene
que si vi > Vref , entonces vo = VCC , luego si vi < Vref ,
entonces vo = +VCC .
vo
vo
+VCC
E. Condiciones iniciales
Las condiciones iniciales se incorporan como una fuente
contínua en serie con el capacitor, como se indica en la Fig.
7.
V
-VCC
+
vi
t1
t2
_
i
vo
Fig. 7. Integrador con condiciones iniciales.
t
Fig. 9. Curva vo
t1
-V
CC
Vm
C
CC
vi
Vref
+V( to)
+
v
v V>ref
i
-VCC
k1v(t)
_
R
si
(b)
k 1 dv(t)
dt
-k1
(5)
Si v + > v ; la diferencia es positiva, luego al multiplicarla por la ganancia en lazo abierto (que es muy grande),
hará que vo sea muy grande, pero estará limitado por la
tensión de alimentación +VCC . Si v + < v , entonces el
voltaje aplicado es negativo, luego vo = VCC . La comparación entonces se realiza entre los voltajes v + y v :
-k2
t=0
v
vi del comparador.
t2
t
APLICACIONES DEL AMPLIFICADOR OPERACIONAL
3
La respuesta del comparador en el tiempo se puede
obtener proyectando la señal de entrada en la curva vo vi
indicada en la Fig.9. En la curva mostrada, mientras la
señal vi es menor que Vref , la salida será VCC , cuando vi
iguala y sobrepasa la referencia en t = t1 , el comparador
cambia de estado a +VCC . Luego, en t = t2 , nuevamente
la señal vi pasa por la referencia, haciendo que la salida
tome el valor VCC .
En un Op Amp ideal, el paso de un estado a otro es
instantáneo, pero en un Op Amp real, el cambio requiere de
un tiempo, que puede ser de algunos microsegundos. Para
un Op Amp 741, será de aproximadamente 40 [ s]. La
velocidad dependerá del Slew rate. En la Fig.10 se observa
el caso ideal en la salida y una respuesta que incorpora el
SR, haciendo presente el efecto de la velocidad en el Op
Amp.
R1
R
2
ref
t1
vi
V
ref
_
+VCC
t3
t4
vi
-VCC
-Vcc
vi
V ref
R2
t
Fig. 10. Diagrama temporal del comparador
Sin embargo, algunas aplicaciones pudieran requerir valores menores al voltaje de alimentación, de esta forma la
salida del comparador puede limitarse usando diodos zener
de acuerdo a lo indicado en la Fig. 11. Para este caso se
tiene que vo = Vz :
V
_
ref
R1
vo
_
vo
R2
+
R
1
R
2
R1
-Vcc
(b)
V ref
vi
-Vcc
Fig. 12. Comparador con referencia variable. (a) Inversor. (b) No
inversor.
Vref R2
vi R1
+
R1 + R2
R1 + R 2
(7)
1 kΩ
El circuito de la Fig. 13, es un comparador de ventana
y permite discriminar si un voltaje vi se encuentra entre
dos niveles, uno superior (VrU p ) y otro inferior (VrLow ). Se
tienen tres casos:
Caso 1: vi < VrLow < VrU p
v1 = Av (vi VrU p ) ! v1 = VCC
v2 = Av (VrLow vi ) ! v2 = +VCC
(8)
(9)
Luego D2 conduce y D1 no conduce, así cuando la entrada se encuentra bajo la referencia inferior, vo = +VCC .
Caso 2: VrLow < vi < VrU p
+VCC
vo
_V
z
+
-VCC
Vz
v1 = Av (vi VrU p ) ! v1 = VCC
v2 = Av (VrLow vi ) ! v2 = VCC
Fig. 11. Comparador con salida limitada.
Los circuitos mostrados en la Fig. 8, se pueden modi…car
para obtener la referencia variable usando dos resistores,
como se indica en las aplicaciones de la Fig. 12.
Para encontrar el punto de conmutación en este comparador primero se determinan v y v + : Se observa que
v = 0; luego aplicando la LCK en v + para el circuito de
la Fig. 12a, se tiene
Vref v +
vi v +
+
=0
R1
R2
Despejando v + se tiene
+Vcc
+Vcc
B. Comparador de ventana
V ref
vi
vi
V ref
El cambio de estado ocurre cuando v + = v ; usando esa
2
condición se determina que para vi = Vref R
R1 , el comparador cambia de estado, como lo indica la Fig. 12a.
-VCC
vo
+
t2
R1
(a)
v+ =
t
R2
-Vcc
vo
+V
CC
SR
vo
+
R2
v
i
+Vcc
vo
R1
V
+Vcc
_
(6)
En este caso D1 y D2 no conducen pues v1 = v2 =
entonces vo = 0.
Caso 3: vi > VrLow > VrU p
v1 = Av (vi VrU p ) ! v1 = +VCC
v2 = Av (VrLow vi ) ! v2 = VCC
(10)
(11)
VCC ,
(12)
(13)
Finalmente D2 ; no conduce y D1 si, entonces vo =
+VCC .
Si vi se encuentra en la ventana, vo = 0 (estado bajo).
Si vi se encuentra fuera de la ventana, vo = +VCC .
4
Vr
Up
+ VCC
_
v1
+
+VCC
_
_
vo
+
D1
R
1
-VCC
v
i
v
_
V
CC
+V
+ VCC
vo
R1
_V
R
2
RL
v2
CC
R2
(a)
D2
+
CC
+
i
vo
_
Vr
Low
iv
(b)
Fig. 15. Schmitt Trigger. (a) No inversor. (b) Inversor.
-VCC
Fig. 13. Comparador de ventana.
posibles, entonces el valor de v + también tendrá dos valores. Por lo tanto el voltaje v tendrá dos referencias
posibles con las cuales se ha de comparar dependiendo del
valor en que se encuentre la salida. Determinando v + y v
se tiene
C. Comparadores realimentados
C.1 Señales ruidosas y comparadores
Sea un comparador cuya referencia es 0[V ], alimentado
con dos tipos de señales, una sin ruido y otra con ruido,
donde el ruido será una pequeña señal cuadrada de alta frecuencia, la cual será sumada a la señal de entrada. Ambas
situaciones están indicadas en la Fig. 14.
vi
vi
t
t
vo
vo
t
t
Fig. 14. Respuesta del comparador: (a) Sin ruido. (b) Con ruido.
Note que en la Fig. 14a el cambio de estado del comparador se produce cuando la señal triangular cruza por
cero. Para la segunda situación (Fig. 14b), ocurre exactamente lo mismo, sin embargo, el efecto del ruido hace que
el cambio se produzca más veces. Esto trae consecuencias
desastrosas sobre el dispositivo …nal (sobre el cual se realiza
la actuación) si éste es de caracter electromecánico. Para
solucionar este problema, se introduce una realimentación
positiva en el comparador, con el …n de de…nir una banda
para la cual el circuito permanezca insensible al ruido.
v
= vi
(14)
v+
R1
= vo
R1 + R2
(15)
Como la conmutación ocurre cuando v + = v ; se puede
determinar el punto de conmutación conociendo el valor de
vo , sin embargo, no se sabe en que estado se encuentra el
circuito. Para poder determinar el punto de conmutación
se supondrá conocido el valor de la salida, sea esta igual a
vo = +VCC .
Luego, si vo = +VCC ; entonces se debe cumplir que v + >
v , así reemplazando los valores respectivos, se tiene
R1
> vi
R1 + R2
Reemplazando el valor de vo ,
vo
R1
> vi
R1 + R2
De esta forma se establece que vi de puede tomar valores
0 o negativo y la salida sigue estando en +VCC , como se
1
; se
muestra en la Fig. 16a. Cuando vi = +VCC R1R+R
2
produce la conmutación y vo ! VCC ; esto de acuerdo a
la Fig.16b, además la salida se mantendrá en el valor VCC
si vi aumenta.
+VCC
vo
C.2 Schmitt Trigger
El disparador de Schmitt (Schmitt Trigger ) es un comparador que usa realimentación positiva para acelerar el
ciclo de conmutación. Note que en la Fig. 15, la señal de
salida es realimentada a través de R2 al terminal no inversor del Op Amp. Esto aumenta la ganancia y agudiza la
transición entre los dos niveles de salida.
El circuito de la Fig. 15a, se conoce como disparador
de Schmitt inversor. La comparación se produce entre los
voltajes v y v + ; luego la salida dará como resultado el
valor +VCC o VCC , dependiendo si v + > v o v + < v
respectivamente. Sin embargo, dado que el terminal v +
está conectado a la salida y ésta puede tener dos estados
vo
+VCC
+VCC
VCC
R
1
+
R
1 R
2
vi
VCC
R
1
R
1+ R
2
vi
-VCC
(a)
(b)
Fig. 16. (a) Punto de conmutación cuando vo = +VCC . (b) Con1
mutación cuando v + = +VCC R R+R
:
1
2
Sin embargo, cuando se produce la conmutación el valor
de v + cambia ya que depende de la salida haciendo que el
APLICACIONES DEL AMPLIFICADOR OPERACIONAL
5
punto de conmutación cambie, dicho valor se muestra en la
Fig. 17a. Al disminuir el valor de vi , el cambio de estado
se produce nuevamente cuando v + = v , pero como el
valor de v + se ha modi…cado, entonces este nuevo cambio
1
: Al producirse
se produce cuando vi = v + = VCC R1R+R
2
esta conmutación, la salida cambia de valor haciendo que
vo ! +VCC como se muestra en la Fig. 17b. Este valor en
la salida se mantendrá mientras vi siga disminuyendo.
vo
vo
+VCC
-VCC
vi
R
1
R1+ R2
VCC
-VCC
R1
+
v+
vo
R2
v
= 0
(16)
= 0
(17)
Despejando v + de (16).
v + = vi
R2
R1
+ vo
R 1 + R2
R1 + R 2
(18)
Suponiendo la salida en el estado vo = +VCC , entonces
se debe cumplir que v + > v , luego se tiene que
+VCC
R
1
R1+ R2
v+
vi
R1
R1+ R2
vi
vi
R
1
R1+ R2
VCC
R2
R1
+ vo
>0
R1 + R 2
R 1 + R2
(19)
Como vo = +VCC , despejando vi se tiene
-VCC
-VCC
(a)
(b)
vi >
Fig. 17.
(a) Nuevo punto de conmutación considerando vo =
1
VCC .(b) Conmutación en el punto v + = VCC R R+R
:
1
Finalmente, la curva vo
2
vi se muestra en la Fig. 18.
vo
vo
+VCC
VCC
R1
R2
(20)
Así, mientras se cumpla (20), la salida se mantiene en
+VCC , como se muestra en la Fig. 19a. Al disminuir
el valor de la entrada, la conmutación se produce cuando
R1
; como se muesv + = v , ocurriendo cuando vi = VCC R
2
tra en la Fig. 19b. Al producirse la conmutación, el valor
v + cambia debido a que cambia el valor de la salida.
+VCC
vo
vo
+VCC
-VCC
R1
R1+ R2
V
CC
-V
CC
R1
R1+ R2
vi
vi
t1
t2
+VCC
t
-VCC
-VCC
vi
R
1
R
2
-VCC
vi
R
1
R
2
-VCC
(b)
(a)
t1
Fig. 19.
(a) Punto de conmutación v + =
mutación.
R1
VCC R
: (b) Con2
t2
Fig. 18. Curva vo
vi del Schmitt trigger
En la …gura se observa que el comparador es sometido a
una excitación con diversos niveles de ruido, la primera
conmutación cuando la entrada sobrepasa la referencia
1
ocurre en t = t1 . Al cambiar de es+VCC R1R+R
2
tado el comparador, la referencia cambiará su valor a
1
, por lo tanto aunque la excitación ‡uctue en
VCC R1R+R
2
torno a la referencia original, el comparador no volverá a
cambiar su estado. La siguiente conmutación ocurre en
1
t = t2 cuando la excitación traspasa el valor VCC R1R+R
;
2
lo que producirá nuevamente el cambio de la referencia. Se
observa entonces que el sistema es más inmune al ruido.
En el circuito de la Fig. 15b, la curva vo vi se obtiene
determinando para que valor de vi ocurre la conmutación.
El cambio de estado del comparador siempre ocurre cuando
v + = v , luego planteando las ecuaciones en v + y v se
tiene
En la Fig. 20a, se muestra el nuevo punto de conmutación. Si la señal vi aumenta, entonces la conmutación
ocurre en dicho punto como se muestra en la Fig. 20b, si el
voltaje vi aumenta, la salida se mantendrá en vo = +VCC :
vo
vo
+VCC
vo
+VCC
1
- VCC R
R
2
VCC 1R
2R
vi
- VCC
+VCC
VCC 1R
R
2
- VCC 1R
R
2
vi
VCC 1R
R
2
1
- VCC R
R
2
- VCC
(a)
(b)
( c)
Fig. 20. (a) Cambio de punto de conmutación. (b) Conmutación en
1
el punto v + = VCC R
: (c) Curva de…nitiva.
R
2
La curva de…nitiva se muestra en la Fig. 20c, se puede
observar que es una especie de histéresis, se utiliza para
describir una situación en la que el sistema tiene memoria.
vi
6
El circuito de la Fig. 15a o 15b, puede ser modi…cado
para que la referencia sea distinta de cero, como se muestra
en la Fig 21a. En este caso la curva está desplazada en un
2
; respecto de la referencia.
valor Vref R1R+R
2
Vref
_
vo
+
R2
R1
+VCC
+VCC
_
Fig. 23. Oscilador de Relajación.
vo
R1
C
R1 V
R2 V
ref
+
R1+ R 2 CC
R1 + R2
vo
vi
R
+
vi
-VCC
R2
Su funcionamiento se basa en la carga y descarga de C,
la cual se produce por el cambio de estado del comparador,
note que v = vc corresponde al voltaje desarrollado en
C, el cual se compara con v + ; donde
-V
CC
R2
V
R1 + R2 ref
R1 VCC
+ R2 Vref
R1 + R2
R1 + R2
(a)
(b)
Fig. 21. (a) Schmitt Trigger con referencia distinta de cero. (b)
Curva vo vi .
IV. Circuitos Generadores de señal
Los circuitos generadores de señal permiten proveer una
señal arbitraria mediante un circuito que no necesita excitación. Todos estos circuitos presentan realimentación
positiva, es por esto que los más básicos están basados en
un disparador de Schmitt.
Sea el circuito de la Fig. 22 con red RC, el cual es excitado con una señal vx bipolar. El comparador cambiará de
estado cuando vx sobrepase la referencia haciendo que vo
tome los valores VCC . La red RC proporcionará entonces
una señal exponencial v1 también de caracter bipolar.
R1
(21)
R1 + R 2
Si el condensador inicialmente esta descargado, el circuito será un comparador realimentado, que puede estar
en cualquier estar estado. Si se cumple para este caso que
1
;
v + > v , entonces vo = +VCC , así, v + = +VCC R1R+R
2
luego el capacitor a través de R, recibe un voltaje tipo
escalón de valor +VCC , por lo que se cargará exponencialmente a dicho valor. Sin embargo, al llegar la carga al
valor v + en t = t0 y sobrepasarlo, se tendrá que v > v + ,
entonces el comparador cambia de estado haciendo que
1
vo = VCC ; con lo cual v + = VCC R1R+R
. Como el
2
capacitor recibe un voltaje negativo de vo , entonces vC disminuirá exponencialmente hacia el valor …nal, pero cuando
v = v + ; nuevamente se produce la conmutación en t = t1 .
v + = vo
vo (t)
vo
VCC
vx
Vcc
Vref
-Vref
t1
t2
t4
t3
t1
t
t2
t3
t4
t
v+= +Vcc
-VCC
v1
R1
R1 + R2
_
v = vc
t
vx
R1
t0
+VCC
_
vo
+
_V
CC
t1
t
t2
Vcc + v+
v1
R
C
R2
R
_
-v+= Vcc 1
R1+ R2
_V
cc
Fig. 22. Schmitt trigger con red RC.
Fig. 24. Evolución de las curvas.
Note que al suprimir la señal en el terminal vx y reemplazando ésta por la señal proveniente de v1 , que tiene
las mismas caracteristicas, el sistema producirá una conmutación automática.
A. Generador de onda cuadrada
El circuito de la Fig. 23 se conoce como oscilador de
relajación, el cual genera una onda cuadrada. Consiste
en un comparador de Schmitt cuya salida es realimentada
negativamente a través de un red RC.
La curva de carga del condensador evoluciona en forma
exponencial hasta un valor …nal +VCC desde un valor inicial v + , como se indica en la Fig. 24, la constante de
tiempo es = RC.
La curva de descarga en el terminal v para to < t < t1
vc (t) =
VCC + v +
1
e
t to
RC
+ v+
Para el tramo t1 < t < t2 , el valor inicial es
valor …nal es +VCC .
(22)
v + y el
APLICACIONES DEL AMPLIFICADOR OPERACIONAL
vc (t) = VCC + v +
1
t t1
RC
e
v+
7
(23)
Para t = t1 ; igualando (23) y (22) se determina el
período de oscilación T , así
VCC + v +
1
t1 to
RC
e
= VCC + v +
VCC + v +
1
t1 to
RC
e
1
e
+ v+ =
t1 t1
RC
v+
v+
(24)
Despejando el tiempo
t1
to = RC ln
Vcc + v +
Vcc v +
t1
to = RC ln
v + (t1 ) = 0 = VCC
2R1
+1
R2
(26)
2RC ln
1
n
2R1
R2
o
+1
(27)
Simpli…cando para R1 = R2 , entonces
fosc =
0:455
RC
vo (t1 ) =
VCC
R1
R2
(33)
R1
R2
+ vo (t2 )
R1 + R 2
R1 + R 2
(34)
Luego despejando la salida
vo (t2 ) = VCC
R1
R2
(35)
Como consecuencia se obtiene la curva de la Fig. 26.
vo (t)
Vcc
V
a
R2 V
cc
R1
_
vo
+
+
R1
VCC
En ese punto Va ! VCC , luego vo crece proporcionalmente hasta hacerse positivo, así, para un instante
de tiempo t = t2 ocurrirá que vo será tan positivo que
v + (t2 ) = 0, donde se producirá una nueva conmutación.
Evaluando para t = t2
C
R
(32)
Se obtiene el valor de la salida que permite la conmutación
v + (t2 ) = 0 =
Se puede implementar un generador de onda triangular, usando un oscilador de relajación con un integrador.
Sin embargo, para variar la frecuencia, se deben variar
parámetros en el oscilador y el integrador. Un sistema
más óptimo debiera considerar el comparador dentro de la
realimentación y dependiente de la salida del integrador.
Va
R2
R1
+ vo (t1 )
R 1 + R2
R 1 + R2
(28)
B. Generador de onda triangular
_
(31)
Si Va ! VCC ; la salida vo diminuye proporcionalmente
hasta hacerse negativo. Como (31) depende de éste, en
algun instante de tiempo t = t1 , el valor vo hará que v + =
0; lo cual producirá un cambio en la salida del comparador,
haciendo que Va ! VCC . Es decir, para vo (t1 ), se tiene
v + (t1 ) = 0, entonces
La constante de tiempo es la misma en los dos tramos,
entonces se asume que T = 2 (t1 to ) ; luego
fosc =
R1
R2
+ vo (t)
R 1 + R2
R1 + R 2
(25)
1
Si v + = +VCC R1R+R
; entonces
2
(30)
Para saber en que momento conmuta el comparador se
debe determinar v + , así aplicando la LCK, se tiene
v + = Va
+ v+
VCC
t+k
RC
vo (t) =
t1
R2
t2
R2
Vcc
R1
Vcc
t
- Va
Fig. 25. Generador de onda triangular.
Fig. 26. Forma de onda generador Triangular.
Para el circuito de la Fig. 25, la primera etapa es un
comparador. Si v + > 0, entonces Va = +VCC . Para el
análisis, estos cambios se asumen como pequeños escalones,
la salida vo será una rampa negativa.
vo (t) =
VCC
t+k
RC
Si v + < 0; entonces Va !
positiva.
(29)
VCC , vo será una rampa
La frecuencia de oscilación será fosc = 2(t11 t2 ) : Calculando la pendiente de la curva en el tramo t1 < t < t2 ; e
igualando con la pendiente de la rampa (30)
1
2VCC R
R2
t2
Se despeja el tiempo
t1
=
VCC
RC
(36)
8
Pero T = 2 (t2
B. Oscilador seno-coseno (oscilador de cuadratura)
R1
t2 t1 = 2RC
R2
t1 ) entonces
T = 4RC
fosc =
(37)
R1
R2
(38)
1 R2
4RC R1
El oscilador de cuadratura (seno-coseno), consta de un
doble integrador, este entrega en v1 la señal cos (!t) y en
vo la señal sin (!t). Es muy útil cuando se requiere tener
dos señales que tengan un desfase de 90o . En teoría, todas
las resistencias deben ser iguales, pero en la práctica, R1
es levemente menor que las otras para asegurar la partida.
(39)
R1
A. Oscilador de Wien
También llamado oscilador Puente de Wien, emplea un
puente de impedancias como red de realimentación.
C
R
_
_
+
+
vo
R
C
R2
R1
v1
C
V. Circuitos Osciladores senoidales
_
Fig. 28. Oscilador Seno-Coseno.
vo
+
C
R
Planteando las ecuaciones en el dominio s.
R C
V
+ V1
R1
Fig. 27. Oscilador de Wien.
V
V+
Vo
V + sC +
R
La frecuencia de oscilación se determina, planteando las
ecuaciones de nudos en v y v + en el dominio s.
Vo (s)
V (s)
V (s)
= 0
R1
V + (s)
= 0
1
Rjj sC
R2
Vo (s) V + (s)
1
R + sC
(40)
Vo (s) R2 C 2 s2
R2
R1
2 RCs + 1
=0
vo (t) = K1 es1 t + K2 es2 t
Vo (s) s2 R2 C 2 + 1 = 0
(42)
(43)
! osc =
R2
R1
2
1
2R2 C 2
(50)
1
RC
(51)
Sea oscilador Twin-T o doble integrador, de la Fig. 29.
v2
R
2C
R2
R1
2 R2 C 2
4R2 C 2
R/2
(44)
La condición de oscilación se satisface para raíces complejas conjugadas sin parte real, así
R2 = 2R1
vo (t) = K1 ej RC t + K2 e
C
R2
(45)
Luego (46) corresponde a una señal sinusoidal con fre1
:
cuencia ! osc = RC
1
(49)
C. Oscilador sinusoidal Twin-T
R
1
2RC
1
V1
RCs
Luego si V + = V
Determinando las raíces de (42).
s1;2 =
(48)
Así
Donde (42) representa una ecuación diferencial de 2o
orden homogénea, cuya está dada por (43).
s
(47)
= 0
Vo =
(41)
Luego, considerando V + = V ; se tiene
sC = 0
1
j RC
t
(46)
v1
C
_
vo
+
R1
Fig. 29. Oscilador T-T.
Planteando las ecuaciones de nudos en v + ; v , v1 y v2 .
APLICACIONES DEL AMPLIFICADOR OPERACIONAL
9
In te r fe r e n c ia
V + = Vo
V1
V
+
1
sC
V
V1
1
sC
V
+
V2
R
V
V2
V1
1
sC
+
Vo
V2
R
V
= 0
R
+
+
R2
R1 + R 2
vs
vn
+
_
v
1
vc
P to. común
2V2
A mplificador Diferencial
+
+
(53)
2V1
= 0
R
1
s2C
+
(52)
vn
v2
Transductor
(54)
vo
R iel común
Fig. 30. Amplicador diferencial.
= 0
(55)
Luego, el polinomio característico es
Vo (s)
R1 2 2 2
R C s + 4RCs
R2
R1
R2
=0
Determinando las raices de (56), la frecuencia de oscilación será
fosc =
1
2 RC
(57)
Las consideraciones prácticas para el diseño son
R2 = 2R y R1 = 10R2
vo = Adm (vs + vn + vc
= Adm vs
(56)
(62)
Rf
Ra
v2
La parte real no es cero, pero es muy pequeña.
_
Ra
v1
VI. Amplificadores de Instrumentación
vo
+
R
Ajuste
del
CMRR
f
(a)
v
+
v2
+
2
R
RL
vo
vo
gR
R
_
v1
_
+
v1
+
(b)
(c)
Fig. 31. (a) Ampli…cador diferencial básico. (b) Bu¤er G = 1. (c)
Bu¤er G 6= 1.
Así, se tiene
A. Ampli…cador diferencial
vo = v2
Sea el ampli…cador diferencial de la Fig. 30, en un circuito de medición afectado por un interferencia, determinando v1 y v2
v2 ))
El ampli…cador diferencial de la Fig. 31 se usa como
parte de un AI, pero requiere una modi…cación para el
ajuste del CMRR. El circuito no tiene una resistencia de
entrada elevada, pero se mejora usando un seguidor de
emisor en cada entrada de acuerdo a la Fig. 31b.
(58)
El Ampli…cador de Instrumentación (AI) es uno de los
circuitos electrónicos más versátiles usados en los sistemas
de instrumentación moderna. Básicamente, es un ampli…cador con entrada diferencial de muy alta impedancia
de entrada y muy alto CMRR, normalmente de ganacia
ajustable y baja impedancia de salida, usado con señales
continuas y alternas.
En los sistemas de instrumentación se requiere un ampli…cador que responda a la diferencia de dos señales, las
cuales son referenciadas sobre un punto común, debe tener
un alto CMRR (para atenuar al máximo las señales en
modo común). Como el transductor es una fuente de alta
impedancia, esto implica que el ampli…cador debe tener
una alta resistencia de entrada para obtener una mejor
prestación.
(v1
v1
(63)
Para ganancia variable, como se indica en la Fig. 31c
vo = i (2R + gR)
v1 = vs + vn + vc
v2 = vn + vc
(59)
(60)
Como
v2 v1
gR ,
…nalmente
vo =
vo = Adm (v1
Finalmente
Como i =
v2 )
(64)
(61)
=
v2
v1
gR
(2R + gR)
2
+ 1 (v2
g
v1 )
(65)
(66)
10
B. Ampli…cador de Instrumentación
i
La Fig. 32 muestra dos AI, dependiendo del tipo de Op
Amp que se utilicen, la prestación será incrementada, así,
la salida no depende del voltage en modo común, sino de la
diferencia de las entradas. La impedancia de entrada será
muy alta, la ganancia varía, y sólo depende de un resistor.
iD
vi
RF
RF
RD
RA
D2
RA
vi
vo
v1
v2
Rf
v2
v1
Ra
+
+
Rf
R
vo
R
R
Ajuste
del
CMRR
vo
(b)
v
o
+
R
_
v1
Vy
_
R
gR
+
Fig. 34. Circuito recti…cador (a) Con D1 ON y D2 OFF (b) Con
D1 OFF. D2 ON.
R
_
_
Ra
+
+
RD
+
(a)
_
_
Ajuste
del
CMRR
Como la entrada no puede ser positiva, entonces para
vi < 0; la salida será positiva. La característica de vo vi
del recti…cador se indica en la Fig. 35.
+
(a)
vo
(b)
Vm
RF
Fig. 32. (a) AI sin ganancia ajustable. (b) AI con ajuste de ganancia
RF vo
RA
RA
t
Vm
vi
VII. Rectificadores de Precisión
A. Recti…cadores de media onda
Es una de las aplicaciones no lineales más básicas y
útiles. Se diseña para recortar la parte negativa (o positiva) de una señal. El circuito de la Fig. 33a se conoce
recti…cador inversor de media onda.
RF
RF
1D
1D
vi
RA
_
D2
vi
v o
+
RA
D2
_
vo
+
(a)
t
Fig. 35. Curva vo
vi recti…cador inversor y diagrama de señales.
Modi…cando el resistor RF , se varía la amplitud de vo .
El circuito de la Fig. 33b es una variación del recti…cador
de media onda. En este caso, cuando vi > 0, el circuito se
F
comporta como ampli…cador inversor, donde vo = R
RA ,
pero cuando vi < 0; vo = 0.
(b)
vo
vo
Fig. 33. Recti…cador de media onda.
vi
RF
Sea un Op Amp ideal, v = v + = 0. Se observa que
cuando el diodo D1 esta en conducción, su modelo se reemplaza por un resistor RD de acuerdo a la Fig.34a. Como
dicho resistor es menor que RF , se tiene que iD > 0 e
i = 0. La con…guración actúa como un inversor haciendo
v1 < 0: Luego como i = 0, entonces de acuerdo a la LVK
planteada vo = i RF + v , la salida vo = 0. Como
iD = viRAv > 0; entonces se debe cumplir que vi > 0:De
esta forma si vi > 0, v1 < 0 luego D1 conduce y D2 no
conduce.
La otra situación ocurre cuando D1 no conduce, como
se muestra en la Fig. 34b. en la cual se tiene que iD =
0, luego el circuito se comporta como un inversor, pues
vi v
vo v
= 0; entonces
RA + RF
vo =
RF
vi
RA
(67)
t
- Vm RF
RA
RA
vi
t
Fig. 36.
señales.
La curva vo
vi del recti…cador inversor y diagrama de
B. Recti…cador de onda completa
El recti…cador de onda completa entrega el valor absoluto de una señal, de acuerdo a la Fig. 37.
Considerando dos recti…cadores de media onda, cada uno
recti…cando un cilco de la señal y luego sumando ambas
APLICACIONES DEL AMPLIFICADOR OPERACIONAL
vo
11
RF
vo
vi
t
R F1
RA
vi
D1
_
R A1
D2
+
R
_
vo
A2
+
RA RF
RF1
R A1
R
A2
t
Fig. 40. Recti…cador de onda completa utilizando dos AO.
Fig. 37. Respuesta de un recti…cador de onda completa.
se tiene el circuito que se indica en la Fig. 38. Note que
requiere 3 Op Amp.
vo
RF
1
t
v
i
RA
R
D1
_
vo
vo
2
R
F
RA
t
R
1
D2
+
vo
RF 1
RF 1
=1
=
RA1
RA2
RF
= 2
RA
+
entonces
vo
+
vo = vi para vi > 0
vo = vi para vi < 0
R
(71)
(72)
VIII. Amplificador logaritmico y
antilogaritmico
D
2
(b)
Fig. 38. (a) Respuesta de recti…cador de 1/2 onda. (b) Circuito
recti…cador de onda completa.
Analizando la situación de la Fig. 39, se tienen dos
señales, una de amplitud 2A y otra de amplitud A, las
cuales se suman (restan) para obtener la señal recti…cada.
Dicha situación sólo requiere de dos Op Amp.
Los ampli…cadores logarítmicos y antilogarítmicos son
usados para implementar la multiplicación y división de
señales analógicas o para obtener la función indicda sobre
la señal. El ampli…cador, se debe usar un dispositivo que
tenga dicha característica, tal como el diodo semiconductor. La corriente a través de este dispositivo está dada
por
iD = Is e
vo1
(70)
_
D1
-
(a )
R
2
(69)
qvD
kT
1 ' Is e
qvD
kT
(73)
Analizando el circuito de la Fig 41a.
vo
t
iD
t
v o2
-2A
vi
A
R1
D1
i1
_
i1
vo
+
vi
_
iD
t
Sólo se requiere invertir la señal vo1
la respuesta deseada.
vo =
Si
RF 1
RF
RA vi
RA1
vi
+
RA2
!
=
+
vo
(b)
(a )
Fig. 39. Manejo de señales para la obtención de un recti…cador de
onda completa.
R1
D1
Fig. 41. (a) Ampli…cado logaritmico. (b) Antilogaritmico.
vo2 , para obtener
R F 1 RF
vi
RA RA1
vo = vD + v = vD
vi = i1 R1 + v = i1 R1
RF 1
vi (68)
RA2
Luego i1 =
vi
R1
y como i1 = iD , se tiene que
qvD
vi
= Is e kT
R1
Finalmente
(74)
(75)
(76)
12
vi
R1 Is
kT
ln
q
vo =
(77)
La salida es función del logaritmo natural de la entrada.
Usualmente kT =q t 26 [mV ] a 25o C.
Intercambiando el resistor R1 por el diodo D1 en el circuito de la Fig. 41a, se obtiene el circuito de la Fig. 41b,
el cual corresponde a un ampli…cador antilogarítmico.
vo = vD
v1
v2
Amp
Log
v01
Amp
Log
v
qvD
kT
vo = iD R1 = R1 Is e
qvD
kT
(80)
A. Multiplicación de señales analógicas
=
v2
Amp v 02
Log
R
R
+
Amp
Anti-Log
F2
R4
R3
Haciendo
k2 e
F1
k1
ln
k2 e
R4
R3
=
_
+
vo
n
vo
v2
k2
(88)
f vv12 g
k1 ln
=
v1
v2
1
k2 ,
_
+
k1 ln
v1
v2
o
k2 e
=
k1
k2
R
F1
v1
k2
v01 + v02 = k1 ln
= k1 ln
F2 =
Sea el sistema de la Fig. 42.
_
F2
Fig. 43. Divisor.
F1 =
R
R3
Amp
Anti-Log
F1
+
(79)
Luego
Amp v01
Log
R
02
R4
_
(78)
iD = Is e
v1
R
R
vo =
v1
v2
(89)
se tiene
R4
R3
k2
v1
v2
=
v1
v2
(90)
IX. Conclusiones
Fig. 42. Multiplicador.
De…niendo k1 =
ciones
kT
q
; k2 = R1 Is : Planteando las ecua-
v1
k2
v2
k2
vo1 =
k1 ln
vo2 =
k1 ln
F1 =
(vo1 + vo2 ) =
F2 =
k2 e k1 = k2 e
v1 v2
k2
=
k2 k2
=
F1
(81)
(82)
v1
k1 ln
k2
v
v
k1 ln( 1 ) k1 ln( 2 )
k2
k2
k1 ln
v2
k2
(83)
k1
v1 v2
k2
Finalmente, se de…ne k2 =
R4
R3 ,
(84)
luego la salida será
R4 v1 v2
vo =
R3
k2
vo = v1 v2
References
(85)
B. División de de señales analógicas
vo1 =
k1 ln
vo2 =
k1 ln
v1
k2
v2
k2
Muchas de las aplicaciones con Op Amp están consisten
en sistemas que procesan señales, tales como integradores,
ampli…cadores logaritmicos, recti…cadores, etc. y su análisis consiste en determinar la relación entrada-salida, lo cual
queda establecdido a través de una ecuación o una curva.
Los Op Amp permiten implementar sistemas generadores de señal, los cuales son muy útiles para alimentar otros sistemas electrónicos (medición, comunicaciones,
etc.), una vez análizados es posible establecer el diseño de
éstos en base resistores y capacitores.
Los análisis más complicados resultan de los sistemas
que contienen elementos no lineales, tales como los diodos,
para este tipos de sistemas, es imprescindible considerar las
condiciones de conducción o no conducción del elemento.
Los sistemas con realimentación positiva, resultan complejos de analizar, debido a que la referencia depende de la
salida.
(86)
(87)
[1] Savat, C., Roden, M (1992). Diseño Electrónico. Addison-Wesley
[2] Sedra, A., Smith, K. (1998). Microelectronic Circuit. Oxford
Press
[3] Rutkowski, G. (1993). Operational Ampli…ers. Integrated and
Hybrid Circuits. Wiley
[4] Horenstein, M. (1995). Microelectronic Circuit and Devices.
Prentice-Hall.
[5] Jung, W. (1977) IC Op Amp Coock book, Sams
[6] Ragazzini, J., Randall, R., Russel, F. (1947) Analisys in Problems in Dynamics by electronic Circuits. Proceedings of I.R.E.