1. Hallar un número entero positivo n de manera tal que si a su

III Olimpíada Matemática del Cono Sur.
Chile. 1992
Primer día
1. Hallar un número entero positivo n de manera tal que si a su expresión se le coloca
un 2 por la izquierda y un 1 por la derecha, el número resultante sea igual a 33n.
2. Sea P un punto fuera de la circunferencia C. Encontrar dos puntos Q y R en la
circunferencia tales que P, Q, R estén en línea recta y Q sea el punto medio del
segmento PR. (discutir el número de soluciones).
3. Se define el conjunto de 100 números 1, 1/2, 1/3, ..., 1/100.
Se eliminan dos elementos cualesquiera a y b de este conjunto y se incluye, en el
conjunto, el número a + b + ab quedando así un conjunto con un elemento menos.
Después de 99 de estas operaciones, queda sólo un número.
¿Qué valores puede tomar ese número?
Segundo día
4. Pruebe que no existen números enteros positivos x, y, z que satisfagan
x2 + y2 = 3z2
5. En un triángulo ABC, sea E el pie de la altura desde A sobre BC.
Demostrar que
AE = (b.c)/(2r)
donde r es el radio de la circunferencia circunscrita, b=AC y c=AB.
6. Se tiene un tablero de m x n casillas. Se asigna inicialmente un número entero no
negativo a cada una de las casillas. En el tablero se permite efectuar la siguiente
operación: en cualquier par de casillas con un lado común se puede modificar los dos
números sumándoles un mismo número entero (que puede ser negativo), siempre que
ambos resultados sean no negativos.
¿Qué condiciones se deben satisfacer inicialmente en la asignación de los números, para
dejar, mediante aplicaciones reiteradas de la operación, cero en todas las casillas?