II Concurso de Resolución de Problemas Curso 2011-2012 Solución del Problema no 2. Esta es una variación del problema del cajón de un armario lleno de calcetines completamente desorganizados. En dicho problema existe una cantidad determinada de calcetines de diversos colores, y se quiere determinar la probabilidad de que al elegir dos calcetines al azar sean del mismo color. En esta variación del problema, sólo sabemos que existen calcetines de dos colores, blancos y negros, y que la probabilidad de sacar dos calcetines blancos es 12 . 1. La primera cuestión es determinar cuál es la cantidad mı́nima de calcetines de cada color que debe haber en el cajón para que esto suceda. 2. La segunda cuestión es determinar cuál es la cantidad mı́nima de calcetines que debe haber para que el número de calcetines negros sea par. Solución: Sea B : Número de calcetines blancos en el cajón N : Número de calcetines negros en el cajón Sacar 2 calcetines blancos a la vez es equivalente a sacar sucesivamente y sin reposición dos calcetines y que estos sean blancos Si definimos el suceso Bk : Sacar un calcetı́n blanco en la k–ésima extracción el enunciado del problema nos indica que P (B1 ∩ B2 ) = 1 2 Utilizando la fórmula de la probabilidad condicionada P (B1 ∩ B2 ) = P (B1 ) · P (B2 | B1 ) La probabilidad de sacar un calcetı́n blanco en la primera extracción es utilizando la definición clásica de probabilidad como la razón entre casos favorables y posibles, obtenemos B P (B1 ) = N +B Si hemos sacado un calcetı́n blanco en la primera extracción, tendremos un calcetı́n blanco menos , pero también un calcetı́n menos en total, luego P (B2 | B1 ) = B−1 N +B−1 y llegamos a la conclusión P (B2 | B1 ) = B−1 B (B − 1) B · = N +B N +B−1 (B + N ) (B + N − 1) Esta probabilidad es conocida e igual a 21 , por tanto 1 B (B − 1) = (B + N ) (B + N − 1) 2 o de forma equivalente 2B (B − 1) = (B + N ) (B + N − 1) Si efectuamos las operaciones obtendremos 2B 2 − 2B = B 2 + BN − B + N B + N 2 − N y pasando todo al primer miembro de la igualdad resulta B 2 − (1 + 2N ) B + N − N 2 = 0 que es una ecuación de segundo grado en B (o en N ), cuyas soluciones son q √ (1 + 2N ) ± (1 + 2N )2 − 4 (N − N 2 ) (1 + 2N ) ± 1 + 8N 2 B= = 2 2 es decir B+ = √ (1+2N )+ 1+8N 2 2 B = − √ (1+2N )− 1+8N 2 2 (1) Como el número de calcetines debe cumplir B > 0, descartamos la solución negativa, ya que √ √ √ (1 + 2N ) − 1 + 8N 2 B− = > 0 ⇔ (1 + 2N )− 1 + 8N 2 > 0 ⇔ (1 + 2N ) > 1 + 8N 2 2 y como N ≥ 0 (1 + 2N ) > √ 1 + 8N 2 > 0 finalmente elevando al cuadrado (1 + 2N )2 > 1 + 8N 2 ⇔ 1 + 4N + 4N 2 > 1 + 8N 2 ⇔ 4N > 4N 2 ⇔ 1 > N es decir N = 0, pero entonces sustituyendo en 1 obtenemos B = 1 y por tanto no podrı́amos formar ni una pareja. Debemos tomar como solución a B+ y el número e calcetines blancos será: √ (1 + 2N ) + 1 + 8N 2 B = B+ = 2 Ahora bien como B ∈ N, el número que hay dentro de la raı́z debe ser un cuadrado perfecto, es decir 1 + 8N 2 = p2 (2) Lo que resta por hacer es dar valores a la N de forma creciente hasta que se produzca esta situación. Ya hemos visto que N no puede ser 0, puesto que entonces no tendrı́amos ninguna pareja, ası́ que tomaremos N ≥ 1, para obtener la siguiente tabla √ √ (1+2N )+ 1+8N 2 2 1 + 8N B = N 1 + 8N 2 2 √ 1 9 9 = 3 3 √ 2 33 5,3723 √33 = 5. 7445 73 73 = 8. 5440 7,7720 3 Vemos que el primero de los valores N = 1, nos proporciona la respuesta buscada negros ⇒ N = 1 blancos ⇒ B = 3 Si ahora el número de negros debe ser par, entonces probando sólo para esos valores √ √ 2 N 1 + 8N 2 √ 1 + 8N 2 B = (1+2N )+2 1+8N 4 129 129 10,1789 √ = 11. 3578 6 289 289 = 17 15 y obtenemos la solución pedida para negros ⇒ N = 6 blancos ⇒ B = 15 Curiosidades: Si utilizamos la ecuación 2 y la expresamos como 8N 2 = p2 − 1 = (p − 1) (p + 1) Está claro que p2 − 1 debe ser par y por tanto p2 será impar y por tanto p también lo será, es decir p = 2k + 1 y sustituyendo 8N 2 = (2k + 1 − 1) (2k + 1 + 1) = 2k (2k + 2) = 4k (k + 1) Despejando N 2 k (k + 1) 2 La parte de la derecha de esta última expresión es la suma de los k primeros números naturales, es decir obtenemos N2 = N2 = 1 + 2 + · · · + k Las soluciones del problema están relacionadas con los números que son por una parte cuadrados perfectos y a la vez triangulares. Invitamos al lector a descubrir algunas propiedades de estos números cuyos 12 primeros miembros son los siguientes: N2 1 36 1225 41616 1413721 48024900 1631432881 55420693056 1882672131025 63955431761796 2172602007770041 73804512832419600 que dan como posibles soluciones al problema las siguientes combinaciones calcetines N 1 6 35 204 1189 6930 40391 235416 1372105 7997214 46611179 271669860 B 3 15 85 493 2871 16731 97513 568345 3312555 19306983 112529341 655869061 Notar por ejemplo que 62 = 16 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 o 352 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + · · · + 49