Leyes de Kirchhoff y análisis de circuitos simples

Leyes de Kirchhoff y análisis de circuitos simples
Objetivos
1. Entender las definiciones de rama, nodo, lazo, trayectoria y línea equipotencial, con los
criterios dados en clase y aplicarlas en circuitos sencillos.
2. Emplear las Leyes de Kirchhoff (LK) en la solución de circuitos simples, utilizando las
definiciones anteriores y la convención de signos establecida en el texto y en este material.
3. Establecer el concepto de circuito serie y analizar estos circuitos, aplicando las Leyes de
Ohm y las de Kirchhoff.
Sumario
a) Definiciones básicas: rama, nodo, lazo, trayectoria y línea equipotencial.
b) Leyes de Kirchhoff (LK): ley de Kirchhoff de corriente (LKC) y ley de Kirchhoff de tensión
(LKT). Trayectoria virtual.
c) Circuito de un solo lazo. Circuito de un solo par de nodos (autoestudio).
d) Análisis de circuitos simples.
Bibliografía básica: Texto. “Análisis de Circuitos en Ingeniería”
William H. Hayt Jr.; Jack E. Kemmerly; Steven M. Durbin. 2002, Sexta edición. Capítulo 3.
Adicional: Materiales elaborados por los profesores del CIPEL, Instituto Superior Politécnico
“José Antonio Echeverría, CUJAE, Ing. Américo Montó Olivera, Dra. Ing. Esperanza Ayllón
Fandiño y digitalizados por el Lic. Raúl Lorenzo Llanes.
Introducción:
Ya se conocen las magnitudes básicas: tensión eléctrica
(voltaje), corriente, potencia, energía y sus referencias.
Se conocen también los procesos energéticos a los
cuales están asociados los diferentes elementos ideales
de circuito y los conceptos centrales sobre fuentes y
resistores.
En el circuito de la figura, diga si las fuentes son ideales o
reales y justifique. Señale un sentido de referencia de la
corriente por las fuentes y diga si consumen o entregan energía. En el resistor de 3 ohm,
ponga la referencia de tensión de acuerdo a la corriente que Ud. puso y escriba la Ley de
Ohm en el mismo.
¿Cuántas y cuáles son las leyes físicas que determinan la interconexión de los elementos de
circuitos?
Para dominarlas, ¿qué definiciones previas es preciso saber?
¿A qué se denomina circuito en serie? ¿Qué es un circuito de un solo lazo? ¿Cuál es su
característica esencial?
¿Qué es un circuito de un solo par de nodos? ¿Cuál es su característica básica? Autoestudio
En el Ep.3.2, en el texto se dan dos definiciones para las redes que Ud. debe recordar: red de
parámetros agrupados o concentrados y red de parámetros distribuidos.
1 a) Definiciones básicas: rama, nodo, lazo, trayectoria y línea equipotencial.(10 minutos)
a.1) Rama (branch): conjunto de elementos con corriente común; B = número de ramas. Esta
definición se usa manualmente y la del texto es útil para computación.
a.2) Nodo (node): punto de unión de tres o más ramas; n = número de nodos (no es la del
libro).
a.3) Trayectoria (path): camino formado por elementos de circuito donde cada uno es
recorrido una vez.
a.4) Lazo (loop): trayectoria cerrada donde el nodo inicial coincide con el final.
a.5) Línea equipotencial: conductor sin resistencia (ideal)
Ejemplo 1. En el circuito de la introducción, identifique los
nodos, ramas, lazos, trayectorias y la línea equipotencial.
Solución
Nodos: punto DE y B ¿Cuántos nodos? n = 2 nodos
Ramas: EDAB, BCFE, BE ¿Cuántas ramas? B = 3 ramas
Trayectorias: DAB, ABEF, ABEFC, BE etc.
Lazos: ABEDA, BCFEB,
Línea equipotencial: Línea
DE.
ABCFEDA ⇒3 lazos
equipotencial: trayecto
Quite el resistor de 1 ohm entre E y
línea equipotencial? La línea
y esos puntos equipotenciales se
el comportamiento del circuito.
F. ¿Cuál sería ahora la
equipotencial sería DF
pueden unir sin afectar
Dibuje nuevamente su circuito.
2 b) Leyes de Kirchhoff (LK).
b.1) Ley de Kirchhoff de corriente (LKC)
Enunciado: La suma algebraica de las corrientes que entran a cualquier nodo es cero (the
algebraic sum of the current entering any node is zero). De manera compacta, ∑ ik =0.
Convenio de signos: las que entran (+) y las que salen (–) o al contrario.
Esta ley es consecuencia del Principio de conservación de la carga eléctrica aplicado a
circuitos.
Cantidad de ecuaciones independientes: n-1. Conocerlas ayuda en la solución de los
ejercicios.
Variantes: i1+ i2- i3 - i4 = 0 i3+ i4 - i1- i2 = 0 i1+ i2 = i3+ i4
¿Cuántas ecuaciones independientes de nodo hay en el ejemplo # 1?, 2 -1 =1
ecuación, pues en ambos nodos convergen las mismas corrientes ⇒ las
ecuaciones LKC de ambos nodos son linealmente dependientes y solo se
necesita una de ellas.
Realice nuevamente el ejemplo 3.1 uniendo los puntos equipotenciales. ¿# nodos?
b.2) Ley de Kirchhoff de tensión (LKT).
Enunciado: La suma algebraica de las tensiones alrededor de cualquier trayectoria cerrada
es cero (the algebraic sum of the voltages around any closed path in a circuit is zero). De
manera compacta, ∑vk =0
Esta ley es consecuencia del carácter conservativo del campo.
Principio de conservación de la energía electromagnética aplicado a
circuitos.
Variante: ∑ caídas de tensión – ∑subidas de tensión= 0,
Convenio de signos: caídas (+) y subidas (-)
Para el elemento arbitrario mostrado, en la dirección de la caída, la
tensión es +10V y en la dirección de la subida -10V, dependiendo del
sentido por el cual su trayectoria pase por el elemento.
Cantidad de ecuaciones independientes: B-n + 1. Conocerlas ayuda en la solución de los
ejercicios.
En el Ejemplo 3.2 del texto, ¿# nodos? ¿# lazos? Consulte con su profesor.
3 Ejemplo 2
a) ¿Cuántas ramas y nodos tiene el circuito?
¿Cuántas ecuaciones independientes aporta
cada LK?
b) Calcule la corriente en las fuentes de
tensión y la tensión en las fuentes de corriente.
Solución:
a) B = 5, n = 3
n -1 = 2 ecuaciones independientes de LKC
B - n +1 = 3 ecuaciones independientes de
LKT
b) Seleccione arbitrariamente los sentidos
de recorrido de los lazos y las referencias.
Identifique las fuentes de tensión y de corriente. Justifique. En este caso, se han situado las
referencias de corrientes en las fuentes de tensión en el sentido de la subida de tensión. Se
numeran 1, 2, 3 (de derecha a izquierda) como se muestran en la figura. Al poner las
corrientes, las tensiones quedan automáticamente situadas acorde al convenio de signos de
la ley de Ohm.
LKT # 1: -200 + id15 + 500 = 0 ⇒ id = - 20A
El sentido real de la corriente en esta rama está en dirección contraria a la referencia.
LKC en el nodo de la izquierda: -10 -5 + ix = 0 ⇒ ix =15A
Calculando vb e ic
LKT #2: vb – 500 - 15 (10) = 0 ⇒ vb = 650V
LKC en el nodo de la derecha: -15- (-20) - ic = 0 ⇒ ic = 5 A Observe que se mantiene el
signo de id
Calculando va,
LKT #3: va - 650 +10(5) = 0 ⇒ va = 700V
Mediante el balance de potencia se pueden comprobar los resultados:
Potencias absorbidas: en los resistores (10)2 5 = 500W + (15)210 = 2250W +
(-20)215 = 6000W + (200)20 = 4000W (en la fuente de 200V) ⇒ total = 12750W
Potencias generadas: 700(10) =7000W + 650(5) = 3250W + 500(5) = 2500W
⇒ total =12750W
Trayectoria virtual. Es una LKT que se aplica entre dos puntos en los cuales la trayectoria no
se cierra a través de un elemento físico, sino a través de la referencia de la tensión que se
quiere calcular. En el Ejemplo 3.3 se utiliza una trayectoria virtual en el cálculo de vx.
4 c) Circuito de un solo lazo.
En el Epígrafe 3.5 del texto se introduce el concepto de elementos que están en serie, como
aquellos por los cuales circula la misma corriente. Puntualiza sobre el uso adecuado de las
referencias en el resistor.
Ejemplo 3
En el circuito de un solo lazo la corriente es común y solo
tiene sentido plantear LKT.
En el circuito mostrado, calcule:
a) corriente I
b) tensiones Vao, Vco, Vdo, Vho y Veo
Ponga la referencia de la corriente arbitrariamente. ¿Le
sugieren las polaridades de las fuentes alguna? A partir de la
corriente I coloque las polaridades de las tensiones en los
resistores.
Planteando la LKT en el sentido de recorrido mostrado y partiendo del nodo “o”:
-6 + 2. I + 3 .I -12 + 2. I + I + 24 + 4 .I - 32 + I = 0, 13 . I = 26 ⇒ I = 2A ( interpretar el signo).
Sitúe una flecha en cada tensión que se va a calcular supuesta caída, con el “+” en el primer
subíndice, a la derecha. En el tramo del trayecto oa y oc no hay un elemento físico (resistor,
conductor etc.). Entonces, esos lazos aoa y coabc son virtuales. Recorriendo las
trayectorias a favor de las manecillas del reloj.
LKT: Vao -6 = 0 ⇒ Vao = 6V,
Vco -6 +2(2+3) =0 ⇒ Vco = - 4V (interprete el signo).
En estos cálculos se empleó el concepto de trayectoria virtual. Debajo se calcula Vdo. Note
que las polaridades en los resistores se pusieron al comienzo del problema y no se cambian.
Calcule la tensión Vdo. Observe que en el tramo do del trayecto no
hay un elemento físico (resistor, conductor etc.) Entonces, el lazo
oabcdo es un lazo virtual.
Sitúe las polaridades en los resistores y plantee una LKT recorriendo
la trayectoria a favor de las manecillas del reloj:
Vdo – 6 +2 (2+3) - 12 = 0 ⇒ Vdo = 8 V
Calcule Ud. como trabajo independiente las tensiones restantes.
Resp.: Vho = - 30 V, Veo = 4 V. Compruebe los resultados realizando
un balance de potencias.
Conclusiones.
Utilizando el circuito que se muestra, para introducir el estudio independiente del circuito de
un par de nodos.
1. ¿Qué tendría que hacer para calcular la corriente en cada resistor y la tensión v en el
circuito mostrado? Hacer el balance de potencia.
¿Definiciones de rama, nodo, lazo y cuántas hay en el circuito?
¿Línea equipotencial?
2. Una los puntos equipotenciales y se dibuje de nuevo el
circuito.
5 Como hay 2 nodos, se trata de un circuito de un par de
nodos, que se ha dejado de autoestudio.
En el Epígrafe 3.6 el texto define circuito paralelo.
¿Elementos que tienen tensión común? ¿Qué LK se puede
aplicar?
En este circuito: La tensión es común ⇔ circuito paralelo ⇔
LKC.
3. ¿Cuántas ecuaciones independientes se pueden
plantear?: n-1= 1 ecuación
4. ¿Cómo se realiza el balance de potencia?
Se deja la solución para los estudiantes como parte del trabajo independiente.
Indicar la forma de solución mediante preguntas y dejar la solución para los estudiantes.
Dar la respuesta.
¿Cómo se puede hacer? Se colocan las referencias de corriente I1 e I2 en el circuito original y
se mantienen en el que tiene unidos los puntos equipotenciales. ¿Cómo? Se plantea la LKC
en el nodo superior o positivo. La referencia de tensión es dato en el problema pero además
se ha situado una flecha. ¿Convención de signos para la LKC? ¿Balance de potencia? ¿para
qué sirve?
Respuesta
Convenio de signos utilizado: positivas las corrientes que salen del nodo
-17+ i1+5+ i2 = 0, sustituyendo las corrientes en función de la tensión que es la variable común
mediante la ley de Ohm, -12+ v/6 +v/3 = 0, v(1/6 +1/3) =12 ⇒ v= 24V
Sustituyendo en la ley Ohm aplicada a cada resistor se tiene:
I1= 24/6 = 4A, I2=24/3 = 8A
Balance de potencias
(4)26 = 96W + (8)23 =192W + (24)5 = 120W 0 = 408W potencia absorbida
(24)17 = 408W potencia cedida
El circuito de un solo par de nodos es dual del circuito de un solo lazo. La corriente es dual
de la tensión. La LKT es dual de la LKC. En el concepto de dualidad se continuará
profundizando. Es útil.
Orientaciones para el trabajo independiente.
Capítulo 3, Ejemplos 3,1 a 3,5 Prácticas 3,1 a 3,5 Leyes de Kirchhoff y circuito de un solo
lazo.
Autoestudio: Capítulo 3, Circuitos de un par de nodos. Ep.3.6, Ejemplo 3,6 a 3,8. Estudie
detenidamente el ejemplo 3.8 y trate de hacerlo Ud., uniendo los puntos equipotenciales. En la
actividad 4, Ud. tendrá que resolver un ejercicio con similar grado de complejidad hasta que
logre la habilidad de transformar circuitos uniendo los puntos equipotenciales.
Capítulo 3, Ejercicios 1a16, sobre Leyes de Kirchhoff.
Tarea1, problemas 1 al 4.
Realizado por: Dra. Ing. Esperanza Ayllón Fandiño, CIPEL, Instituto Superior Politécnico
“José Antonio Echeverría”, CUJAE. Cuba
6