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PROBLEMAS DE CÁLCULO CON FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Después de haber definido las razones trigonométricas en el capítulo de
teoría y de haber hablado de las ideas básicas, pasamos a resolver una serie de
ejercicios típicos cuyo objetivo es familiarizarnos con las funciones trigonométricas,
por otra parte muy importantes en infinitud de cálculos.
Identidades
Se trata de demostrar que una ecuación es cierta siempre, para cualquier
valor del ángulo. La más importante es 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 = 𝟏. Como regla general
suele funcionar coger cada miembro de la ecuación por separado y simplificarlos en
senos y cosenos. Veamos
Ejemplo 1. 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜶 + 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜶 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜶 ∙ 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜶
Miembro de la izquierda:
1
1
𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
𝟏
𝑠𝑒𝑐 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼 =
+
=
=
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑠𝑒𝑛2 𝑥
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑠𝑒𝑛2 𝑥
𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙
2
2
Miembro de la derecha:
𝑠𝑒𝑐 2 𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2 𝛼 =
1
1
𝟏
∙
=
2
2
𝟐
𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝒄𝒐𝒔 𝒙𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙
Y observamos lo que se quería demostrar, pues ambas cosas son iguales a una tercera
y, por lo tanto, son iguales entre sí.
Ejemplo 2. (𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙)𝟐 = 𝟏 + 𝟐𝒕𝒈𝒙 ∙ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙
M. Izquierda
(𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙)𝟐 = 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝟏 + 𝟐𝒔𝒆𝒏𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙
M. derecha
𝟏 + 𝟐𝒕𝒈𝒙 ∙ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 = 1 + 2
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𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 𝟏 + 𝟐𝒔𝒆𝒏𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙
𝑐𝑜𝑠𝑥
Ecuaciones
Al contrario que en el caso anterior, ahora tenemos que deducir el ángulo,
más bien los ángulos, que satisfacen cierta igualdad, ecuación. No hay reglas generales
pero si hay duda suele funcionar pasar todo a senos y cosenos. Se trata de poder
despejar y calcular una única razón trigonométrica y a partir de ella calcular el o los
ángulos solución. Para esto y otros problemas conviene saberse las razones
trigonométricas de los ángulos más típicos, 30, 45 y 60:
30
45
60
√3
√1
√2
2
2
2
Coseno
√3
√2
√1
2
2
2
Obsérvese la secuencia de formación, es muy fácil aprendérsela de memoria.
Seno
Ejemplo 1. 𝒔𝒆𝒏𝒙 =
√𝟑
𝟐
Esta es de las más sencillas pues ya tenemos despejada una razón
trigonométrica, simplemente tenemos que preguntarnos qué ángulos tienen este
seno, y este es muy conocido (suelen salir ángulos cuyas razones trigonométricas son
muy típicas): uno de los ángulos cuyo seno vale
√3
2
es el de 60° como vemos en la tabla.
Pero puede haber, y de hecho hay, más. Para ello dibujamos:
120°
𝑌 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎: 𝑠𝑒𝑛𝑜
60°
𝑠𝑒𝑛𝛼 =
√3
2
𝑋 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑢𝑟𝑎: 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜
Como vemos en la figura hay dos ángulos cuya altura es
√3
,
2
60 y 120. Estas
son las dos soluciones en la primera vuelta, pero también serían solución todos los que
resulten de sumarles a estos dos vueltas enteras (360+60 ocupa la misma posición que
60 y tendrá por lo tanto las mismas razones trigonométricas). Concluimos pues
diciendo:
𝑠𝑒𝑛𝑥 =
√3
2
𝑥 = 60 + 360 ∙ 𝑘
→{
𝑥 = 120 + 360 ∙ 𝑘
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𝜋
𝐸𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠: {
𝑥 = + 2𝑘𝜋
𝑥=
3
2𝜋
3
+ 2𝑘𝜋
Ejemplo 2.
𝝅
𝒕𝒈 (𝟐𝒙 + 𝟔 ) = −√𝟑
Aquí también tenemos ya despejada una razón trigonométrica, por lo que
la parte del cálculo ya está hecha. Ahora tenemos que resolver viendo qué ángulos
tienen esa tangente. Según vemos en la tabla, hay un ángulo, el de 60, que tiene la
tangente igual a √3. Vamos a dibujar la circunferencia goniométrica para deducir
cuáles la tienen igual a −√3
√3
60
−√3
240
La línea de las tangentes es la línea verde a la derecha (no hay otra a la
izquierda). Como vemos hay dos ángulos cuya tangente es √3, uno el de 60 que ya
sabíamos por la tabla y el otro 60 +180=240 como se ve en la figura (los ángulos que
difieren en 180 tienen la misma tangente). Pero nosotros queremos saber qué ángulos
tienen la tangente igual a −√3 y NO √3. Creemos que en la figura es fácil ver que esos
ángulos son los que están marcados en azul de valor 360-60=300 uno y 180-60=120 el
otro. Por lo tanto diremos:
𝜋 2𝜋
5𝜋
𝟓𝝅
2𝑥 + =
+ 2𝑘𝜋 → 2𝑥 =
+ 2𝑘𝜋 → 𝒙 =
+ 𝒌𝝅
𝜋
6
3
6
𝟏𝟐
𝑡𝑔 (2𝑥 + ) = −√3 → {
𝜋 5𝜋
3𝜋
𝟑𝝅
6
2𝑥 + =
+ 2𝑘𝜋 → 2𝑥 =
+ 2𝑘𝜋 → 𝒙 =
+ 𝒌𝝅
6
3
2
𝟒
Hemos trabajado en radianes, fijarse que las soluciones eran 120 y 300 en
grados sexagesimales y que en radianes son
2𝜋
3
𝑦
5𝜋
3
respectivamente. Un detalle
importante es que el número entero de vueltas 𝟐𝒌𝝅 se suma desde el inicio, antes de
despejar la “x”. NO se despeja primero la “x” y después se añaden las vueltas ¡OJO!
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Ejemplo 3.
𝟓𝒔𝒆𝒄𝒙 − 𝟒𝒄𝒐𝒔𝒙 = 𝟖
En esta ecuación no tenemos una R.T. despejada, por lo tanto eso es lo que
tenemos que hacer. Para ello, como regla general, pondremos todo en función de
senos y cosenos y después SÓLO en senos o SÓLO en cosenos para despejarlos:
5
1
− 4𝑐𝑜𝑠𝑥 = 8
𝑐𝑜𝑠𝑥
En este caso ha sido corto, ya tenemos todo en coseno (puede ser más
largo pero no más difícil). Ahora lo despejamos:
5
1
− 4𝑐𝑜𝑠𝑥 = 8 → 5 − 4𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 8𝑐𝑜𝑠𝑥 → −4𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 8𝑐𝑜𝑠𝑥 + 5 = 0
𝑐𝑜𝑠𝑥
8 ± √64 − 4(−4)5 8 ± √144
=
−8
−8
−4𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 8𝑐𝑜𝑠𝑥 + 5 = 0 → 𝑐𝑜𝑠𝑥 =
5
𝑐𝑜𝑠𝑥 = − → ∄𝑥
8 ± √144 8 ± 12
2
𝑐𝑜𝑠𝑥 =
=
={
1
−8
−8
𝑐𝑜𝑠𝑥 =
2
La primera solución no nos vale porque no hay ningún ángulo cuyo coseno
5
valga − 2 pues, por definición, −1 < 𝑐𝑜𝑠𝑥 < 1
1
La segunda solución: sabemos que 𝑐𝑜𝑠60 = 2 pero, según vemos en la figura, hay otro
ángulo cuya anchura, cuyo coseno, es ½
claramente 300 (o -60)
y que marcamos en rojo. Su valor es
60
−60 ≡ 300
Por lo tanto las soluciones a la ecuación son:
𝜋
+ 2𝑘𝜋
3
𝑥={
𝜋
−60 + 360𝑘 = − + 2𝑘𝜋
3
60 + 360𝑘 =
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Por último, COMPROBAR SIEMPRE LAS SOLUCIONES, aunque en nuestro
caso, al no haber elevado al cuadrado, casi seguro que son válidas las dos.
Ángulo de 60:
5
1
1
− 4𝑐𝑜𝑠𝑥 = 8 → 5 ∙ 2 − 4 ∙ = 8 𝑆𝐼 𝑉𝐴𝐿𝐸
2
𝑐𝑜𝑠𝑥
Ángulo de 300:
Igual y SI cumple. Por lo tanto las dos soluciones son válidas.
Ejemplo 4
𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 = 𝒔𝒆𝒏𝒙
En este caso, la técnica general es la misma pero como aparecen distintos
ángulos, 𝑥 𝑦 2𝑥 habrá primero que pasar todo al mismo ángulo, x
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 →
𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 − 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏𝒙 → 𝑝𝑎𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑜𝑠|𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥|
→ 1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 →
−𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 − 𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝟏 = 𝟎
Ecuación de segundo grado en la incógnita 𝑠𝑒𝑛𝑥. Resolviendo:
𝜋
+ 2𝑘𝜋
1 ± √1 − 4(−2) 1 ± 3
2
𝑠𝑒𝑛𝑥 =
=
→{
1
𝑥 = 30 + 360𝑘
−4
−4
𝑠𝑒𝑛𝑥 = → {
𝑥 = 150 + 360𝑘
2
𝑠𝑒𝑛𝑥 = −1 → 𝑥 = −
Donde para poner las soluciones se han seguido las técnicas de los
ejercicios anteriores. Después habría que comprobar cuáles son válidas; no creemos
necesario hacerlo aquí.
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RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
LEYES TRIGONOMÉTRICAS EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Para los dos ángulos obtusos de un triángulo rectángulo se cumple:
𝑆𝑒𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 =
𝐶𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑙 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑛 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
Dado que las razones trigonométricas las conocemos, las anteriores leyes
nos permiten conocer los lados conocidos los ángulos o al revés. En el capítulo
trigonometría1 se resuelven algunos ejemplos. En este capítulo queremos añadir las
dos leyes fundamentales para triángulos cualesquiera: el teorema de los senos y el
teorema de los cosenos.
LEYES T. PARA TRIÁNGULOS CUALESQUIERA
1. TEOREMA DE LOS SENOS
𝒃
𝑨
𝒄
𝑪
𝑩
𝒂
𝒂
𝒃
𝒄
=
=
𝒔𝒆𝒏𝑨 𝒔𝒆𝒏𝑩 𝒔𝒆𝒏𝑪
2. TEOREMA DE LOS COSENOS
El teorema de los senos anterior engloba muchos casos pero hay uno
principalmente en el que siempre nos aparecen dos incógnitas y no nos
es posible despejar, es cuando conocemos los dos lados de un triángulo y
el ángulo que forman:
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𝑎
𝒄
𝒃
𝑨
Se han remarcado en azul los datos. El lado que falta por conocer, 𝑎, se
calcula según la ley que hemos llamado teorema de los cosenos:
𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐𝒂𝒃𝒄𝒐𝒔𝑪
Este teorema también sirve para conocer los ángulos conocidos los lados.
En muchos libros hay infinidad de ejemplos. Aquí, como ejemplo, vamos a
hacer sólo uno que, creemos, ejemplifica la forma de trabajar que por otra parte no
tiene nada de imaginativo, simplemente hacer un buen dibujo y aplicar las fórmulas.
En la figura queremos calcular la distancia 𝐴𝐵 inaccesible para nosotros pues está al
otro lado de un rio que no podemos cruzar. Para ello, y desde la otra orilla, se toman
los datos marcados en rojo. Con ellos, calcular la distancia mencionada 𝐴𝐵
𝐵
𝐴
𝐶
𝐷
100 𝑚
̂ = 15° 𝐴𝐶𝐷
̂ = 80°
𝐴𝐶𝐵
̂ = 22,5° 𝐶𝐷𝐵
̂ = 75°
𝐴𝐷𝐵
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Si nos fijamos un poco en el triángulo 𝐴𝐵𝐶 podemos conocer los lados 𝐴𝐶
y 𝐵𝐶 utilizando para ello triángulos que contengan el lado conocido de 100 m. Si
cogemos el triángulo 𝐴𝐶𝐷
𝐴
80°
75 − 22,5 = 52,5°
𝑪
𝑫
100 𝑚
̂ es la resta de los ángulos 𝐶𝐷𝐵
̂ 𝑦 𝐴𝐷𝐵
̂ dados en el
Donde el ángulo 𝐶𝐷𝐴
enunciado.
El ángulo que falta se calcula teniendo presente que la suma total es
̂ = 180 − (80 + 52,5) = 47,5° y ya estamos en condiciones de aplicar
180° → 𝐶𝐴𝐷
el teorema de los senos.
̅̅̅̅
100
𝐴𝐶
100𝑠𝑒𝑛52,5
=
→ ̅̅̅̅
𝐴𝐶 =
≈ 107,6
𝑠𝑒𝑛47,5 𝑠𝑒𝑛52,5
𝑠𝑒𝑛47,5
̅̅̅̅
𝑨𝑪 = 𝟏𝟎𝟕, 𝟔
De la misma forma tratamos al triángulo 𝐵𝐶𝐷 para calcular el lado 𝐵𝐶
𝐵
65°
𝐶
75°
𝐷
100 𝑚
̂ = 15° 𝐴𝐶𝐷
̂ = 80°
𝐴𝐶𝐵
̂ = 22,5° 𝐶𝐷𝐵
̂ = 75°
𝐴𝐷𝐵
̂ es la resta de los ángulos 𝐴𝐶𝐷
̂ − 𝐴𝐶𝐵
̂ = 80 − 15 = 65°
El ángulo 𝐵𝐶𝐷
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El tercer ángulo, como antes, por resta hasta 180°, por lo tanto:
̂ = 180 − (75 + 65) = 40°
𝐶𝐵𝐷
Y ya estamos en condiciones aplicar el teorema de los senos para calcular
̅̅̅̅:
los demás lados, en especial el lado 𝐶𝐵
̅̅̅̅
𝐶𝐵
100
100𝑠𝑒𝑛75
=
→ ̅̅̅̅
𝑪𝑩 =
≈ 𝟏𝟓𝟎, 𝟐𝟕
𝑠𝑒𝑛75 𝑠𝑒𝑛40
𝑠𝑒𝑛40
Ahora podemos abordar ya el triángulo 𝐴𝐶𝐵:
𝐵
𝐴
150,27
107,6
15°
𝐶
Típico triángulo donde, como hemos dicho antes, se aplica el teorema de
los cosenos para calcular el lado que nos falta que es, además, la distancia que
queríamos calcular:
̅̅̅̅2 = 107,62 + 150,272 − 2 ∙ 107,6 ∙ 150,27𝑐𝑜𝑠15
𝐴𝐵
̅̅̅̅ ≈ 𝟓𝟒, 𝟎𝟔 𝒎
𝑨𝑩
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