Bolilla 3

FACULTAD DE CIENCIAS
CURSO DE INTRODUCCION A LA METEOROLOGIA 2011
BOLILLA 3
DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACION
1. INTRODUCCION A LA CINEMATICA
El origen de la dinámica se remonta a los primeros experimentos realizados por Galileo Galilei
(1564-1642). Pero a partir de los estudios de Isaac Newton (1642-1727) sobre cuerpos
uniformemente acelerados, este postula las leyes fundamentales del movimiento. La Dinámica está
dividida en dos partes: (1) Cinemática, que estudia la geometría del movimiento, relaciona
desplazamientos, velocidad, aceleración y tiempo, sin preocuparse con las causas del movimiento.
(2) Dinámica, que estudia las relaciones entre las fuerzas que actúan sobre un cuerpo la masa del
cuerpo y su movimiento, la cinética es usada para predecir el movimiento causado por las fuerzas
dadas o determinar las fuerzas necesarias para producir determinado movimiento.
Una función es una relación entre dos variables numéricas, habitualmente las denominamos x e y; a
una de ellas la llamamos variable dependiente pues depende de los valores de la otra para su valor,
suele ser la y; a la otra por tanto se la denomina variable independiente y suele ser la x.
Pero además, para que una relación sea función, a cada valor de la variable independiente le
corresponde uno o ningún valor de la variable dependiente, no le pueden corresponder dos o más
valores.
2. Definiciones básicas: Posición, Velocidad y Aceleración
Posición
Comenzaremos abordando el estudio de la cinemática del punto, contestando la pregunta: ¿cuándo
decimos que un cuerpo puntual se mueve? La respuesta en el lenguaje corriente es: cuando va de un
lugar a otro.
En Física, al “lugar” se le llama posición. Por lo tanto, podemos decir que un cuerpo puntual se
mueve, cuando cambia su posición.
La posición de una partícula se puede representar como un vector cuyo punto inicial ("cola") está en
el origen del sistema de coordenadas y cuyo punto final ("cabeza") está en el punto correspondiente
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a su posición. Este vector lo denotaremos con el símbolo
En la figura ilustramos esta definición.
En la figura se observa que a la posición A le corresponde el vector posición
corresponde el vector posición
y a la posición B le
Desplazamiento
Corrientemente, cuando un cuerpo ha cambiado su posición, decimos que se ha desplazado,
indicando desde donde hacia donde lo ha realizado. Esto implica una dirección y un sentido, además
de la cantidad de cuanto se ha desplazado y por estas razones, el desplazamiento es un vector.
Definimos entonces el vector desplazamiento, como el vector que tiene como origen la posición
inicial, y como extremo la posición final (vector rojo en la Fig. 5) siendo su módulo, la distancia
entre las posiciones.
Esta es otra forma de definir al vector desplazamiento, donde los vectores r, corresponden a los
vectores posición respecto al sistema referencial elegido.
Observaciones:
· al elegir otro sistema de referencia fijo al anterior, cambian los vectores posición, siendo
invariante el vector desplazamiento.
· el módulo del vector desplazamiento, es generalmente menor a la distancia recorrida, siendo
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iguales en el caso de trayectoria rectilínea.
De la definición de desplazamiento se puede concluir que éste no depende de la trayectoria
seguida por la partícula, sino que sólo depende del punto de partida y del punto de llegada. La
figura nos ilustra esta importante afirmación. En esta figura, tres partículas tienen el mismo
desplazamiento siguiendo trayectorias diferentes
Longitud Recorrida
La longitud recorrida es denominada en algunos textos con el término "espacio". Aquí evitaremos
esta denominación ya que ese término se usa en la física para representar un concepto más global y
abstracto.
La longitud recorrida es la medida de la longitud de la trayectoria seguida por la partícula. Es una
magnitud escalar y su ecuación dimensional también es L. En la figura 6 se ilustra cómo la partícula
al desplazarse desde la posición A hasta la posición B, recorre una longitud equivalente a
( en
este caso es la longitud del camino de color violeta, AB).
En la misma figura se puede observar que,
r
Δr ≠ Δs
Trayectorias
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Es la línea imaginaria que describe la partícula en su movimiento.
Se acostumbra clasificar los movimientos de acuerdo a la trayectoria seguida por la partícula: si la
trayectoria es rectilínea se le denomina movimiento rectilíneo, si es circular, movimiento circular,...
Velocidad media y Velocidad Instantánea
Se define la velocidad media como el desplazamiento
. Es decir,
intervalo de tiempo
de la partícula dividido por el valor del
r
r
Δr
vm =
Δt
su ecuación dimensional es LT-1 , es decir en el sistema M.K.S se mide en m/s.
La velocidad media tiene la misma dirección y sentido que el desplazamiento.
Consideremos el caso de un cuerpo que realiza cierto recorrido, volviendo el punto de partida. En
este caso el desplazamiento es cero, y la velocidad media, de acuerdo a la definición, es cero. Esto
quiere decir que tenemos un cuerpo que se está moviendo y su velocidad media es nula.
Esta definición tiene el inconveniente de no dar una idea clara de si el cuerpo se está moviendo o no,
ni cuán rápidamente lo está haciendo.
La velocidad media, solamente nos informa con que dirección y sentido debió moverse el cuerpo
con rapidez constante igual al módulo de la velocidad, para experimentar el cambio de posición
detectado en el tiempo medido.
En forma semejante a la rapidez instantánea, se define la velocidad instantánea como la velocidad
media determinada en un instante, mediante un pasaje a límite.
Definimos la velocidad instantánea:
r
v = lim
r
d
Δt → 0 Δ T
(d es el desplazamiento)
Para determinar este límite, primero consideramos un Δt cualquiera y determinamos el vector
desplazamiento en este intervalo de tiempo dibujado con rojo en la figura 6.
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Observamos que si hacemos tender a cero el intervalo de tiempo Δt, el punto “B” estará más cerca
del punto “A”, y al vector desplazamiento, le disminuye su módulo mientras cambia su dirección,
como representamos con flechas rojas punteadas en la figura 6.
En el caso límite, el vector desplazamiento adopta la dirección tangente a la trayectoria. Por esta
razón, el vector velocidad instantánea es siempre tangente a la trayectoria.
El módulo de la velocidad instantánea que es su valor absoluto lo calculamos de la siguiente
manera:
r
v = lim
y si,
r
d
Δt→ 0
ΔT
r
Δt → 0 ⇒ d → Δs
Si se observa que el limite del cociente es igual, por definición, a la derivada de r respecto de t,
podemos escribir:
r
r dr
v =
dt
Podemos concluir ahora que este conjunto de características son suficientes, para poder decidir si
dos cuerpos se movieron de igual manera.
Decimos que dos cuerpos que se movieron por la misma trayectoria, lo hicieron de igual manera, si
para cada posición que adoptaron los móviles, los vectores velocidad instantánea, eran iguales.
Pero la Física, como las demás ciencias, no se conforma con describir los sistemas y clasificarlos.
Pretende poder predecir el futuro cercano de los mismos.
Esto quiere decir que si conocemos la posición y velocidad de un móvil en un instante de tiempo,
podemos desear conocer la posición y velocidad un instante después.
Para esto, es necesario que sepamos si la velocidad es constante o no, y si no lo es, cuán
rápidamente está cambiando. Por esta razón es que definimos la rapidez de cambio de la velocidad,
a la que le llamamos aceleración.
Aceleración
Definimos la aceleración media, como la rapidez de cambio de la velocidad, y matemáticamente la
expresamos:
r
r Δv
a ≡
Δt
Observamos, de acuerdo con nuestra definición, que el vector aceleración media tiene siempre igual
dirección y sentido que el vector variación de velocidad.
Definimos la aceleración instantánea, como el límite a que tiende la aceleración media, cuando Δt
tiende a cero.
r
r
r
Δv
a ≡ lim a ≡ lim
Δt →0
Δt →0 Δt
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r
r dv
a =
; (Como la derivada 1ra de la velocidad)
dt
r
r d 2r
a= 2 ;
dt
(derivada segunda del desplazamiento)
La velocidad varía, cuando cambia su módulo, su dirección o ambas.
Por sencillez comenzaremos por determinar la aceleración instantánea, cuando cambia solamente el
módulo de la velocidad. Si la dirección de la velocidad no cambia, el movimiento es rectilíneo.
3. Movimiento Rectilíneo Uniforme.
Este es un tipo de movimiento rectilíneo muy frecuentemente encontrado en aplicaciones prácticas.
En este movimiento, la velocidad V de un punto material es constante.
dx
= v = cte
dt
Por definición, entonces la aceleración de una partícula en MRU es 0.
La coordenada de posición x se obtiene por la integración de la ecuación. Llamando x0 al valor
inicial de x, podemos escribir:
x
t
x0
0
∫ dx = v ∫ dt
x − x 0 = vt
x = x 0 + vt
Esta ecuación se puede usar solamente cuando la velocidad del punto material es constante.
4. Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado.
Este es otro tipo común de movimiento. En este la aceleración a del punto material es constante y la
ecuación se puede escribir:
dv
= a = cte
dt
(13)
La velocidad v del punto material se obtiene por la integración de la ecuación:
v
∫ dv
v0
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t
= a ∫ dt (14)
0
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v − v 0 = at
v = v 0 + at
(15)
(16)
donde v0 es la velocidad inicial. Sustituyendo v en (3) podemos escribir:
dx
= v 0 + at
dt
(17)
Llamando x0 al valor inicial de x e integrando, tenemos:
x
∫ dx =
x0
t
∫ (v
0
+ at ) dt (18)
0
x − x0 = v0 t +
1 2
at (19)
2
x = x0 + v0 t +
1 2
at (20)
2
También se puede escribir:
v
dv
= a = cte
dx
(21)
v .dv = a .dx (22)
Integrando ambos lados, obtenemos:
v
x
v0
x0
∫ vdv = a ∫ dx (23)
1 2
(v − v 02 ) = a ( x − x 0 ) (24)
2
v 2 = v 02 + 2a ( x − x 0 ) (25)
Las ecuaciones determinadas suministran relaciones útiles entre coordenadas de posición, velocidad
y tiempo para el caso de un movimiento uniformemente acelerado, siempre que a, v0 y x0 sean
sustituidos por valores determinados. Primero se debe definir un origen O del eje x, seleccionando
un sentido positivo a lo largo del eje, este sentido permitirá determinar el signo de a, v0 y x0 . La
ecuación (15) relaciona v y t y será usada cuando se desee encontrar el valor de v correspondiente al
valor de t o viceversa. La ecuación (20) relaciona v y t. La ecuación (25) relaciona v y x. Una
aplicación importante del movimiento uniformente acelerado es la caída libre de un cuerpo. La
aceleración de un cuerpo en caída libre (generalmente indicada por g) es igual a 9,81 m/s2.
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5. Caída Libre.
En esta sección vamos a estudiar las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente
acelerado, y en concreto el movimiento de caída de los cuerpos bajo la aceleración de la gravedad
(g).
Si bien, es un tema que se estudia a lo largo de todos los cursos de Física, desde los más
elementales, persisten algunas dificultades y en concreto aquellas que confunden la posición del
móvil con espacio recorrido.
Se ha de insistir, que las magnitudes cinemáticas tienen carácter vectorial, incluso en el movimiento
rectilíneo, y que para describir un movimiento se han de seguir los siguientes pasos:
1. Establecer el sistema de referencia, es decir, el origen y el eje a lo largo del cual tiene lugar el
movimiento.
2. El valor y signo de la aceleración
3. El valor y el signo de la velocidad inicial
4. La posición inicial del móvil
5. Escribir las ecuaciones del movimiento
6. A partir de los datos, despejar las incógnitas
Descripción:
determinar las ecuaciones del movimiento, la
altura máxima y el tiempo que tarda el cuerpo
en alcanzar el origen.
En primer lugar, establecemos el origen y la
dirección del movimiento, el eje X. Después,
los valores de la posición inicial y los valores
y signos de la velocidad inicial, y de la
aceleración, tal como se indica en la figura.
Resultando las siguientes ecuaciones del
movimiento.
a = −g
v = v 0 + at
x = x0 + v0 t +
Un cuerpo es lanzado desde el techo de un
edificio de altura x0 con velocidad v0,
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1 2
at
2
Cuando alcanza la altura máxima la velocidad
del móvil es cero. De la ecuación de la
velocidad, se obtiene el tiempo que transcurre
desde que se lanza hasta que llega a dicha
posición. El tiempo transcurrido se sustituye
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en la ecuación de la posición, obteniéndose la
máxima altura que alcanza el móvil medida
desde el suelo.
El tiempo que tarda en llegar al suelo, se
obtiene a partir de la ecuación de la posición,
poniendo x=0, resolviendo una ecuación de
segundo grado.
Nota: como podrá comprobar el lector, la
solución del problema es independiente de la
situación del origen. Si colocamos el origen
en el punto de lanzamiento, la posición inicial
x0 es cero, pero el suelo se encuentra en la
posición -x0 respecto de dicho origen,
resultando la misma ecuación. La altura
máxima se calcula ahora desde el techo del
edificio, no desde el origen.
Situación del origen:
Se acostumbra a poner en el origen, en el
punto en el que es lanzado el móvil en el
instante inicial. Esto no tiene que ser siempre
así, si un cuerpo es lanzado desde el techo de
un edificio podemos situar el origen en el
suelo, la posición inicial del móvil
correspondería a la altura del edificio h.
Si situamos el origen en el techo del edificio y
lanzamos el móvil desde el suelo, la posición
inicial sería -h.
Signo de la aceleración:
Si el eje X apunta hacia arriba la aceleración
de la gravedad vale a = -g, g=9.8 m/s2
Signo de la velocidad inicial:
Si el eje X apunta hacia arriba y el cuerpo es
inicialmente lanzado hacia arriba el signo de
la velocidad inicial es positivo, en caso de ser
lanzado hacia abajo el signo es negativo
•
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