Práctica 5: Método de Newton Se utiliza, entre otras cosas, para resolver ecuaciones de una variable de la forma f x 0 siendo f una función derivable. Supongamos que tenemos una raíz de esta ecuación, es decir f 0. Entonces, en líneas generales, se puede construir una sucesión de puntos x0 , x1 , x2 , x3 ... ... ... .... de manera que su límite es la raíz . El punto x0 puede elegirse con cierta libertad. Deben darse una serie de condiciones teóricas para que esto se verifique, condiciones que suelen darse si se toman ciertas medidas de precaución. No obstante no hay una total seguridad del método. Aún cumpliéndose dichas condiciones no queda asegurada la convergencia. La precaución que debemos tener es básicamente que la elección del punto inicial x0 esté próxima a la raíz. Para cerciorarnos de ello podemos utilizar el Teorema de Bolzano puede aplicarse porque f es continua para encontrar un intervalo razonablemente pequeño cuyos extremos tomen signos contrarios en la función. Así : Hallaremos a b cercanos entre sí tales que f a y f b tengan signos contrarios. Después elegiremos x0 en dicho intervalo. La construcción de la sucesión se basa en la idea geométrica de que cada xn se halla intersectando la recta tangente a la curva y f x en xn1 con el eje 0 X. La fórmula que se obtiene es la siguiente : xn xn1 f xn1 f ' xn1 f x0 Hallamos la intersección de la recta tangente en x0 a dicha curva con el eje OX y determinamos x1 . x1 x0 f ' x0 Hallamos la intersección de la recta tangente en x1 a dicha curva con el eje OX y determinamos x2 . f x1 x2 x1 f ' x1 Hallamos la intersección de la recta tangente en x2 a dicha curva con el eje OX y determinamos x3 . f x2 x3 x2 f ' x2 Y así sucesivamente. Para hacer los cálculos lo más cómodo es definir una función para realizar las iteraciones. Si escribimos g x x f x f ' x tendremos que para cada n se tiene que xn g xn1 2 practica-newton.nb Otra cuestión que puede condicionar la convergencia es que haya una raíz de f ' cerca de o que el propio sea raíz también d e f '. Esto se debe que el denominador puede ser próximo a 0. Una gráfica de la función nos puede facilitar la visualización de esta cuestión y saber si estamos ante una de éstas situaciones. La gráfica sirve además para tener una aproximación visual de la raíz. Ejemplo 1 : Obtengamos, de modo aproximado, la raíz de la ecuación x3 3 x 6 0 Definimos la función fx_ x ^ 3 3 x 6 6 3 x x3 En primer lugar vamos a representar la gráfica cada vez con un "zoom" mayor Plotfx, x, 5, 5 150 100 50 -4 -2 2 4 -50 -100 Graphics Plotfx, x, 3, 0 5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 -5 -10 -15 -20 -25 -30 Graphics practica-newton.nb Plotfx, x, 2, 1 2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -2 -4 -6 -8 Graphics Y observamos que la raíz está entre 1.4 y 1.2 Definimos la función para realizar las iteraciones gx_ x fx f 'x x 6 3 x x3 3 3 x2 Así, si elegimos, por ejemplo, x0 1.4 1.4 tendremos que x1 gx0 1.29369 x2 gx1 1.28793 x3 gx2 1.28791 3 4 practica-newton.nb x4 gx3 1.28791 Y vemos que ya a partir de este momento no varían con estos decimales las iteraciones. Esto nos dice que éste es el valor aproximado de la raíz alfa. El comando FindRoot Dicho comando sirve para calcular directamente la solución de una ecuación por el método de Newton. Su formulación es FindRootecuacion, variable, valorinicial En nuestro ejemplo anterior pondríamos así : FindRootx ^ 3 3 x 6 0, x, 1.4 x 1.28791 Y, como vemos, nos sale nuestra raíz. Nota : No se ha probado pero del enunciado se desprende que estar raíz es la única de la ecuación, lo cual puede verse de modo sencillo observando que la derivada de la función es 3 x2 3 y por tanto no se anula en ningún punto. Ejemplo 2 Utilizando el método de Newton vamos a obtener la solución positiva de la ecuación ex En primer lugar definimos f1x_ 1 Cosx E ^ x 1 x Cosx Y la representamos en el intervalo 5, 5 1 cosx practica-newton.nb Plotf1x, x, 5, 5 -4 -2 2 4 -2 -4 -6 Graphics para observar que tiene alguna raíz positiva. Si la representamos ahora en 0, 2 Plotf1x, x, 0, 2 0.5 1 1.5 2 -2 -4 -6 Graphics Ahora buscamos ya la raíz FindRootf1x 0, x, 0.5 x 0.601347 Ejemplo 3 Utilizando el método de Newton vamos a obtener la mayor solución de la ecuación En primer lugar definimos f2x_ Sinx E ^ x x Sinx Para ello representamos la función sinx ex 5 6 practica-newton.nb Plotf2x, x, 7, 7 -6 -4 -2 2 4 6 -2 -4 -6 -8 -10 Graphics Como podemos ver entre 4 y 2 figura dicha solución la mayor, o sea, la menos negativa y la representamos ahí. Plotf2x, x, 4, 2 0.75 0.5 0.25 -3.5 -3 -2.5 -2 -0.25 -0.5 -0.75 -1 Graphics Ahora aplicamos el método de Newton partiendo de 3, que se observa próximo a la solución practica-newton.nb FindRootSinx E ^ x 0, x, 3 x 3.18306 Ejercicio 1 Obtén las raíces del polinomio x 3 5 x2 3 x 6. Utilizando el método de Newton observa qué solución sale partiendo de a de x0 7 b de x0 0 c de x0 5 Ejercicio 2 Obtén las raíces del polinomio x4 7 x2 3 x 6 . Utilizando el método de Newton observa qué solución sale partiendo de a de x0 4 b de x0 0.5 c de x0 1 d de x0 5 Ejercicio 3 Obtén las soluciones de la ecuación Sinhx 2 x Ejercicio 4 Justifica que la ecuación Logx x tiene una única solución y determínala. 7