Ejercicios Propuestos Electrostática.

Ejercicios Propuestos
Electrostática.
1. Calcule la carga neta en una sustancia que está formada por:
(a) 5 × 1013 electrones.
(b) Una combinación de 4� 3 × 1014 protones y 2� 5 × 1014 electrones.
2. Si frota un globo inflado contra su cabello, ambos materiales se atraen. La carga
presente en el sistema formado por el globo y su cabello después de la frotación es:
(a) Inferior que la carga que existía antes.
(b) Igual a la carga que existía antes.
(c) Mayor que la carga que existía antes.
3. Una moneda de cobre (Z = 29) tiene una masa de 3 [�]. ¿Cuál es la carga total de
todos los electrones contenidos en la moneda?.
4. Tres cargas puntuales, �1 = 5 [µC ], �2 = −3 [µC ] y �3 = 10 [µC ], se colocan como se
muestra en la figura 5.17. Determine la fuerza resultante sobre la carga �3 .
84
Ejercicios propuestos electrostática.
Figura 1.56: (Problema 4).
5. Tres cargas puntuales �1 = 1� 5 [µC ], �2 = −3� 5 [µC ] y �3 = −3� 1 [µC ], se colocan en
las esquinas de un triángulo isósceles, como se muestra en la figura 3.21. Calcule la
fuerza eléctrica neta sobre la carga �1 .
Figura 1.57: (Problema 5).
6. Dos pequeñas esferas idénticas cargadas, cada una de ellas con una masa de
3 × 10−2 [��], cuelgan en equilibrio como se ilustra en la figura 5.18. La longitud
de cada hilo es de 0� 15 [�] y el ángulo θ es de 5◦ . Encuentre la magnitud de la carga
de cada esfera.
Ejercicios propuestos electrostática.
85
Figura 1.58: (Problema 6).
7. Tres partículas separadas por una distancia �, se encuentran alineadas como se ilustra
en la figura 1.59. Las cargas �1 y �2 se mantienen fijas. La carga �3 tiene libertad de
movimiento pero, de hecho, permanece en reposo. ¿Cuál es la relación que existe entre
�1 y �2 ?.
Figura 1.59: (Problema 7 y 9).
8. Un cuerpo de 100 [��] de masa está cargado con 1 [C ]. ¿A qué distancia sobre él debe
colocarse otro cuerpo cargado con 10 [C ] de signo contrario, para que el primero no
caiga por la acción de su propio peso?. Se supone que la experiencia se realiza en el
vacío.
9. Tres cargas puntuales �1 = 1 [µC ], �2 = −2 [µC ] y �1 = 3 [µC ], se encuentran alineadas
de tal forma que la segunda está situada en el centro de las otras dos. Si la separación
entre dos cargas consecutivas es 0�5 [�], calcular
(a) la energía potencial electrostática de cada carga debida a las otras,
(b) la energía potencial electrostática total del sistema.
10. En los vértices de un cuadrado de lado � existen cuatro cargas puntuales iguales con
carga �, y una carga −� en su centro. Hallar la energía potencial electrostática de
tal distribución.
86
Ejercicios propuestos electrostática.
11. Una carga positiva �1 = 8 [�C ] se encuentra en el origen y una segunda carga positiva
�1 = 12 [�C ] está sobre el eje � a una distancia � = 4 [�]. Determinar el campo
eléctrico resultante:
(a) En el punto P1 sobre el eje � en � = 7 [�],
(b) en el punto P2 sobre el eje � en � = 3 [�].
(c) Determinar el punto del eje � donde el campo eléctrico es cero.
12. Una carga puntual positiva de 10−2 [µC ] se encuentra en el punto A(−1� 2� −1) [�]. Otra
carga puntual negativa de −2 × 10−2 [µC ] se encuentra en B(2� −2� 2) [�]. Determinar
el campo eléctrico creado por esta distribución en el punto C (2� 4� 0) [�].
13. Tres cargas puntuales idénticas �, se localizan a lo largo de una circunferencia de
radio � en los ángulos 30◦ , 150◦ y 270◦ , como se muestra en la figura 1.60. ¿Cuál es el
campo eléctrico resultante en el centro del círculo?.
Figura 1.60: (Problema 13).
14. Cuatro cargas puntuales, �1 = 1� 5 [µC ], �2 = 1� 5 [µC ], �3 = 1� 5 [µC ], y �4 = 1� 5 [µC ],
se colocan en los vértices de un rectángulo, como muestra la figura 1.61. Calcule el
campo eléctrico en el centro del rectángulo.
Ejercicios propuestos electrostática.
87
Figura 1.61: (Problema 14).
15. Una carga +� se encuentra en � = � y una segunda carga −� en � = −�:
(a) Determinar el campo eléctrico sobre el eje � en un punto arbitrario � > �.
(b) Determinar la forma límite del campo eléctrico para � � �.
16. Un dipolo eléctrico se define como una carga positiva � y una carga negativa −�
separadas por una distancia 2�. Para el dipolo del ejercicio anterior, determine el
� debido a dicho dipolo, donde P está a una distancia � � � del
campo eléctrico E
origen.
17. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones acerca de las líneas de campo eléctrico asociadas
con cargas eléctricas es falsa?:
(a) Las líneas de campo eléctrico pueden ser rectas o curvas.
(b) Las líneas de campo eléctrico pueden formar lazos cerrados.
(c) Las líneas de campo eléctrico parten de cargas positivas y terminan en cargas
negativas.
(d) Las líneas de campo eléctrico jamás pueden cruzarse una con otra.
88
Ejercicios propuestos electrostática.
� = 1000 [N/C ]ˆ� con una
18. Un electrón se proyecta en un campo eléctrico uniforme E
6
velocidad inicial ν�0 = 2 × 10 [�/�] en la dirección del campo. ¿Qué distancia recorrerá
el electrón antes de que momentáneamente quede en reposo?.
19. Una partícula tiene una carga positiva �, masa �, y una velocidad inicial ν0 . La
velocidad inicial forma un ángulo θ sobre la horizontal. La partícula entra en una
� dirigido verticalmente hacia abajo,
región donde existe un campo eléctrico uniforme E
como se muestra en la figura 2.32. Despreciando la gravedad demuestre:
(a) El tiempo que le toma a la partícula regresar a la misma altura del punto donde
entró al campo eléctrico,
(b) la altura máxima alcanzada por la partícula,
(c) su desplazamiento horizontal cuando alcanza su altura máxima,
(d) el alcance horizontal de la partícula al regresar a la misma altura del punto donde
entró al campo.
Figura 1.62: (Problema 19).
20. Se lanzan protones con una velocidad inicial ν0 = 9� 55×103 [�/�] dentro de una región
� = −720 [N/C ]ˆ�, como se muestra en
donde el campo eléctrico uniforme presente es E
la figura 2.33. Los protones chocan en un blanco que se encuentra a una distancia
horizontal de 1� 27 [��] del punto donde se lanzan los protones. Determine:
Ejercicios propuestos electrostática.
(a) Los dos ángulos θ de lanzamiento con que se dará en el blanco, y
89
(b) el tiempo total de vuelo para cada una de estas trayectorias.
Figura 1.63: (Problema 20).
21. Una varilla de longitud L como se muestra en la figura 2.34 tiene una carga positiva
uniforme por unidad de longitud λ y una carga total Q:
(a) Calcule el campo eléctrico en un punto P ubicado a lo largo del eje principal de
la varilla y � una distancia a de uno de sus extremos.
(b) Suponga que pasamos a un punto P muy alejado de la varilla. En este punto, ¿cuál
es la naturaleza del campo eléctrico?.
Figura 1.64: (Problema 21).
22. Dada la figura 2.35 y considerando la los datos del problema anterior:
90
Ejercicios propuestos electrostática.
(a) Calcule el campo eléctrico en un punto P(�� �) arbitrario.
(b) Aproxime su problema de modo que considere el campo eléctrico debido a una
carga lineal infinita.
Figura 1.65: (Problema 22).
23. Usando el resultado del problema anterior, obtener una expresión del campo eléctrico
a lo largo de la recta perpendicular bisectora (trazada desde el punto medio) debido
a la linea cargada con densidad de carga lineal uniforme λ y longitud L.
24. Considerar un segmento de recta cargado con una densidad lineal λ = 4�5 [�C /�]
localizado en el eje � entre � = −5 [��] y � = +5 [��] como se muestra en la figura
2.37. Utilizar la expresión de E� obtenida en el problema anterior para calcular el
campo en el eje � en:
(a) � = 1 [��],
(b) � = 4 [��],
(c) � = 40 [��].
(d) Calcular el campo eléctrico sobre el eje � para � = 1 [��] suponiendo que la carga
lineal es infinita.
Ejercicios propuestos electrostática.
91
(e) Determinar la carga total y calcular el campo en � = 40 [��], suponiendo que la
carga lineal se reduce a un punto.
Figura 1.66: (Problema 24).
25. Una linea cargada infinita de densidad lineal λ = 0� 6 [µC /�] está distribuida a lo
largo del eje �, y una carga puntual � = 8 [µC ] se encuentra sobre el eje � en � = 3 [�]
como se muestra en la figura 1.67. Determinar el campo eléctrico en el punto P del
eje � en � = 4 [�].
Figura 1.67: (Problema 25).
26. Un anillo de radio � tiene una carga total Q positiva distribuida de manera uniforme
como se muestra en la figura 1.68. Calcule el campo eléctrico generado por el anillo
en un punto P a una distancia � de su centro y a lo largo del eje central perpendicular
al plano del anillo.
92
Ejercicios propuestos electrostática.
Figura 1.68: (Problema 26).
27. Demuestre que la magnitud maxima del campo eléctrico a lo largo del eje de un anillo
√
cargado uniformemente ocurre cuando � = �/ 2 y tiene un valor de
Q
E= √
�
6 3πε0 �2
(1.150)
28. Un anillo de radio R se encuentra en el plano �� y una varilla en el eje � como
se muestra en la figura 1.69, ambos construidos con un hilo muy delgado, cargados
positiva y uniformemente con una densidad lineal de carga λ. Determinar la fuerza
que actúa sobre la varilla.
Figura 1.69: (Problema 28).
29. Un disco de radio R tiene una densidad de carga superficial uniforme σ . Calcule el
Ejercicios propuestos electrostática.
93
campo eléctrico en un punto P que está sobre el eje perpendicular al centro del disco
y a una distancia � del centro del mismo.
30. Considere un disco de radio R y densidad de carga σ . Demuestre que la intensidad
del campo eléctrico a lo largo del eje perpendicular al disco y a una distancia � del
centro (R � �) se aproxima al de un plano infinito dado por E = σ /2ε0 .
31. Un hilo delgado posee una densidad de carga uniforme λ y está doblado en forma
de semicircunferencia de radio R. Calcular el módulo, dirección y sentido del campo
eléctrico en el centro de la semicircunferencia.
32. Un anillo de radio R está situado en el plano �� con su centro en el origen, y está
cargado con una densidad lineal de carga no uniforme λ = λ0 sin θ, de manera que en
el punto P(R� 0) tendremos λ = 0. Calcular la intensidad del campo electrostático en
el origen de coordenadas.
33. Un cono de base circular y radio � esta colocado de tal forma que su eje es horizontal.
� se aplica en la dirección horizontal, como se muestra
Un campo eléctrico uniforme E
en la figura 4.38. Demuestre que el flujo eléctrico a través de la superficie cónica (sin
contar su base) está dado por π�2 E.
Figura 1.70: (Problema 33).
34. En un día claro, el campo eléctrico cerca de la superficie de la Tierra es
aproximadamente de 120 [N/C ] apuntando radialmente hacia adentro. Suponga que
el campo eléctrico tiene esta magnitud en toda la superficie de la Tierra. Determine
la carga total que podría estar almacenada en la Tierra en dicha situación. (R =
6� 37 × 106 [�]).
94
Ejercicios propuestos electrostática.
35. Mediante la aplicación de la Ley de Gauss, calcule la capacidad de:
(a) Dos láminas planas conductoras de área A separadas por una pequeña distancia �.
(b) Dos esferas concéntricas conductoras de radios �� � (� > �).
(c) Dos cilindros concéntricos conductores de longitud L, grande frente a ambos radios
�� � (� > �).
36. Una esfera sólida aislante de diámetro 28 [��] tiene una densidad de carga uniforme
en todo su volumen. Si la magnitud del campo eléctrico a una distancia de 7[��] desde
el centro es 5� 8 × 104 [N/C ], ¿cuál es la magnitud del campo eléctrico a 20 [��] del
centro?.
37. Una distribución de carga esféricamente simétrica, de radio R, tiene una densidad de
carga dada por ρ = �/�, donde � es una constante. Encuentre la intensidad del campo
eléctrico como una función de �.
38. La figura 1.71 muestra una esfera aislante de radio � concéntrica a un cascarón
esférico aislante de radio interior � y radio exterior �. Si la esfera tiene una carga
total Q uniformemente distribuida en su volumen, y el cascarón tiene una carga −Q
uniformemente distribuido en el cascarón. Determinar el campo eléctrico:
(a) Dentro de la esfera (� < �),
(b) entre la esfera y el cascarón (� < � < �),
(c) en el cascarón (� < � < �),
(d) fuera del cascarón (� > �).
Ejercicios propuestos electrostática.
95
Figura 1.71: (Problema 38 y 56).
39. Un hilo recto y muy largo tiene una densidad de carga lineal de 6 [µC /�]. Determinar
la intensidad del campo eléctrico en las siguientes distancia del hilo:
(a) 5 [��],
(b) 30 [��] y
(c) 200 [��].
40. Dos alambres largos, rectos y paralelos tiene cargas por unidad de longitud de λ1 y
λ2 . La separación entre sus ejes es �, como se muestra en la figura 1.72. Encuentre la
magnitud de la fuerza por unidad de longitud ejercida sobre un alambre causada por
la carga del otro.
Figura 1.72: (Problema 40).
41. Calcular la intensidad del campo eléctrico creado por un volumen cilíndrico muy largo
de radio R, en que se halla distribuida uniformemente una carga positiva, conociendo
96
Ejercicios propuestos electrostática.
la carga por unidad de volumen ρ, en puntos situados a una distancia � del eje en los
casos siguientes:
(a) � < R y
(b) � > R.
42. Calcular la intensidad del campo eléctrico creado por una placa delgada, indefinida y
uniformemente cargada con una densidad superficial de carga σ , en un punto fuera de
ella.
ˆ
43. Calcule la divergencia de � = �ˆ� + �ˆ� + � �.
44. Consideremos una carga puntual � en el origen. Excepto donde se encuentra
posicionada la carga, la densidad de carga es cero, de forma que la divergencia del
campo eléctrico debe ser cero. Verifique este resultado.
45. Vamos a recordar conceptos matemáticos básicos.
(a) Calcule el gradiente de la función. Discuta el significado de gradiente.
� = ���ˆ� + �2 �ˆ� − �3 (� 2 − 1)�.
ˆ Discuta sobre el
(b) Calcule la divergencia del vector A
significado de divergencia.
� = (�� − 2�)ˆ� + ��ˆ� + ���.
ˆ ser un campo electrostático?. Explique
(c) ¿Puede el vector E
la condición que aplicó para resolver el problema.
(d) Calcule el trabajo realizado al mover una carga puntual de 10 [µC ] desde (0� 0� 0)
hasta el punto (3� 2� 0) en la presencia del campo eléctrico definido en (c).
46. Una placa circular de radio 80[��] descargada se coloca en un campo eléctrico intenso
de 27 × 104 [N/C ]. La dirección de la intensidad del campo eléctrico es perpendicular
a la placa. Determine:
(a) La densidad de carga inducida en cada cara de la placa,
(b) la carga total inducida en cada cara.
Ejercicios propuestos electrostática.
97
47. Un cascarón esférico conductor delgado de radio 30 [��] tiene una carga neta de
−14� 5 [µC ] uniformemente distribuida en su superficie. Determine la intensidad del
campo eléctrico dentro y fuera del cascarón.
� = 8 × 104ˆ�. El protón
48. Un protón se libera del reposo en un campo eléctrico uniforme E
sufre un desplazamiento de 0� 5 [�] en la dirección del campo.
(a) Encuentre el cambio en el potencial eléctrico entre el punto en que el protón se
libera del reposo y el punto después de recorrer los 0� 5 [�].
(b) Determine el cambio en la energía potencial del sistema para este desplazamiento.
(c) Determine la velocidad del protón después de completar el desplazamiento de
0� 5 [�] en el campo eléctrico.
49. Obtener una expresión para VA − VB de la configuración de cargas mostrado en la
figura 1.73.
Figura 1.73: (Problema 49).
50. Un dipolo eléctrico consiste de dos cargas de magnitud equivalente y de signo opuesto,
separadas por una distancia 2�. El dipolo se encuentra a lo largo del eje � y su centro
está en el origen.
(a) Calcule el potencial eléctrico en el punto P.
(b) Calcule el potencial eléctrico y el campo eléctrico (usando gradiente) en un punto
alejado del dipolo (� � �).
51. Una carga cuya densidad lineal esta determinada por λ = β�, donde β es una
constante positiva, está distribuida sobre una varilla delgada de longitud L que se
encuentra sobre el eje � con uno de sus extremos en el origen, como se muestra en la
figura 1.74.
98
(a) ¿Cuáles son las unidades de la constante β?.
Ejercicios propuestos electrostática.
(b) Calcule el potencial eléctrico en el punto A y B.
Figura 1.74: (Problema 51).
52. El potencial eléctrico en cierta región del espacio está dado or V = −83� 2 � + 13�� 3 +
90�� 2 [V ].
(a) Encuentre la intensidad del campo eléctrico.
(b) Calcule las componentes del campo eléctrico en el punto (−1� 6� 9) donde todas las
distancias están en metros.
53. Una esfera sólida aislante de radio R tiene una densidad de carga volumétrica positiva
uniforme y carga total Q.
(a) Determine el potencial eléctrico en un punto fuera de la esfera, esto es, para � > R.
(b) Determine el potencial en un punto en el interior de la esfera, esto es, para � < R.
54. Una esfera sólida metálica de radio � con una carga Q está en el centro de un cascarón
esférico metálico de radio interno � y radio externo � con una carga neta igual a cero,
como se muestra en la figura 1.75. Encuentre el potencial eléctrico en:
(a) � > �,
Ejercicios propuestos electrostática.
(b) � < � < �,
99
(c) � < � < �,
(d) � < �.
(e) Realice una gráfica de V versus �.
Figura 1.75: (Problema 54 y 55).
55. Repita el ejercicio anterior si el cascarón tiene una carga neta −Q.
56. Una esfera sólida aislante de radio � con una carga Q está en el centro de un cascarón
esférico metálico de radio interno � y radio externo � con una carga neta −Q, como
se muestra en la figura 1.71. Encuentre el potencial eléctrico en:
(a) � > �,
(b) � < � < �,
(c) � < � < �,
(d) � < �.
(e) Realice una gráfica de V versus �.
100
Ejercicios propuestos electrostática.
57. Un conductor esférico de radio � tiene una densidad superficial de carga σ� ; se
encuentra en el interior de una esfera también conductora y hueca de radios interior
y exterior � y �, respectivamente, estando ésta última conectada a tierra a través de
una batería de tensión V0 . Encuentre:
(a) Las densidades superficiales de carga sobre la superficie exterior e interior de la
esfera hueca.
La expresión del campo y el potencial a una distancia � del centro de las esferas,
cuando:
(b) � > �,
(c) � > � > �,
(d) � > � > � y
(e) en � < �.
� = (�� − 2�)ˆ� + ��ˆ� + ���ˆ ser un campo electrostático?.
58. ¿Puede el vector E
59. Demuestre que las placas paralelas de un condensador se atraen con una fuerza dada
por la expresión
F=
Q2
2ε0 A
(1.151)
Sugerencia: Calcule el trabajo para aumentar la separación entre las placas de � hasta
� + ��. Así, el trabajo realizado en separar las placas cargadas es W = F ��.
60. Un capacitor cilíndrico tiene conductores interno y externo cuyos radios tienen una
razón �/� = 5/3, como se muestra en la figura 1.76. El conductor interno se reemplaza
por un alambre cuyo radio es la mitad del radio del conductor original. ¿Porque factor
debería incrementar la longitud del capacitor para que tuviese la capacitancia del
capacitor original?.
Ejercicios propuestos electrostática.
101
Figura 1.76: (Problema 60).
61. Dos cascarones esféricos concéntricos forman un capacitor de 4[�F ]. Si el radio externo
del cascarón menor es de 42 [��], ¿cuál es el valor del radio del cascarón mayor?.
62. Considere un grupo de capacitores que se observa en la figura 1.77.
(a) Encuentre la capacitancia equivalente entre los puntos � y �.
(b) Calcule la carga en cada capacitor cuando la diferencia de potencial entre � y �
es 9 [V ].
Figura 1.77: (Problema 62).
63. Calcule la capacitancia equivalente entre los puntos � y � del grupo de capacitores
que se muestran en la figura 1.78.
102
Ejercicios propuestos electrostática.
Figura 1.78: (Problema 63).
64. Considere un capacitor con placas paralelas cuya área es 16 [��2 ] y tiene una
capacitancia de 88 [µF ]. Si existe una diferencia de potencial de 15 [V ] entre sus placas,
(a) Calcule la energía almacenada en el capacitor.
(b) Calcule la densidad de energía (energía por unidad de volumen) en el campo
eléctrico del capacitor si las placas están separadas por aire.
65. Utilice la ecuación de la densidad de energía en un campo eléctrico para hacer el
cálculo explícito de la energía almacenada en el campo eléctrico de un capacitor
esférico simple. Demuestre que
�2
U=
�
(1.152)
2C
66. Las placas cuadradas de un condensador, cada una de lado �, forman un ángulo θ
entre sí, como se ilustra en la figura 1.79.
Figura 1.79: (Problema 66).
Ejercicios propuestos electrostática.
Demostrar que cuando θ es pequeño, la capacitancia es
�
�
ε0 �2
�θ
C=
1−
�
�
2�
103
(1.153)
104
Ejercicios propuestos electrostática.