Movimiento circular Uniforme y caida libre 2

Física y Química 4º ESO
2.3 MOVIENTO CIRCULAR UNIFORME
v
• La trayectoria es una circunferencia.
• La velocidad es constante
v
aN
ω
En un movimiento circular uniforme, tendremos dos tipos de
v
v
velocidad:
• Velocidad Lineal (v), que sería tangencial a la circunferencia y que mediríamos en m/s
• Velocidad angular (ω), que mediríamos en rad/s
Si se considera un punto girando en una circunferencia es
fácil concluir que es mucho más sencillo medir el ángulo
girado en un intervalo de tiempo que el arco recorrido
(espacio). Por esto se define la velocidad angular ω como la
rapidez con que se describe el ángulo (ϕ):
ϕ
ω=
t
ω=
El ángulo (ϕ), debe medirse en radianes:
ϕ (rad) =
longitud arco (m)
s
=
radio circunferencia (m) R
Según esta definición:
ϕ2 − ϕ1 ∆ϕ
=
t 2 − t1
∆t
1 vuelta = 360 0 = 2 π radianes
½ vuelta = 180 0 = π radianes
¼ de vuelta = 90 0 = π /2 radianes
s
R ϕ
La relación entre la velocidad
lineal y la angular es:
v= ω · R
Se denomina periodo ( T ) al tiempo que el
punto tarda en dar una vuelta (el movimiento
vuelve a repetirse), se mide el s.
Se denomina frecuencia ( f ) al número de
vueltas que el punto da en un segundo, se mide
-1
en s o Hz.
T=
1
f
Ejemplo 1:
¿Cuál es la velocidad, en rad/s, de una rueda que gira a 300 r.p.m. (revoluciones por
minuto?
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Si el radio de la rueda es de 1 metro, calcular la velocidad lineal en un punto de la periferia
del disco.
r.p.m. significa revoluciones o vueltas que da en un minuto. Lo primero que debemos
hacer es pasarlo a revoluciones por segundo (r.p.s.). Para ello podemos hacer una simple regla
de 3:
60 segundo (1 minuto) → 300 vueltas
1 segundo
→ X
Despejando me queda que x= 300 / 60 = 5 r.p.s. , es decir, que en 1 segundo da 5
vueltas. Si miramos en la tabla de arriba, vemos que 1 vuelta = 2π rad, así que multiplicaremos
el numero de vueltas por segundo por 2π, para obtener los radianes por segundo.
ω = 5 · 2π = 31,4 rad/s
Para resolver la segunda parte del ejercicio, tan solo tendremos que usar la fórmula
que me relaciona la velocidad lineal y la angular, v= ω · R :
v= 31,4 · 1 = 31,4 m/s = 113,04 km/h
Ejemplo 2:
Siendo 50 cm el radio de las ruedas de un coche y 900 las revoluciones que da por
minuto, calcúlese:
a) La velocidad angular (ω)
b) La velocidad del coche en m/s y km/h
a) Al igual que en el ejemplo anterior, pasamos las r.p.m. a r.p.s
60 segundo (1 minuto) → 900 vueltas
1 segundo
→ X
Despejando me queda que x= 900 / 60 = 15 r.p.s. , es decir, que en 1 segundo da 15
vueltas. Si miramos en la tabla de arriba, vemos que 1 vuelta = 2π rad, así que multiplicaremos
el numero de vueltas por segundo por 2π, para obtener los radianes por segundo.
ω = 15 · 2π = 94,2 rad/s
b) Para resolver la segunda parte del ejercicio, tan solo tendremos que usar la fórmula
que me relaciona la velocidad lineal y la angular, v= ω · R , pero antes deberemos pasar los
centímetros a metro, R=0,5 m.
v= 94,2 · 0,5 = 47,1 m/s
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Ejemplo 3:
Un coche circula a una velocidad de 90 Km/h , si el radio de las ruedas del coche es
de 50 cm calcular su velocidad lineal en m/s y la velocidad angular de las ruedas en rad/s y
r.p.m.
Comenzamos convirtiendo los km/h a m/s y el radio a metros
v= 90 Km/h = 25 m/s ; R = 0,5 m
Usando la fórmula que me relaciona la velocidad lineal y la angular, v= ω · R, tengo:
25 = ω · 0,5 → ω = 25 / 0,5 = 50 rad/s
Ahora me piden que pase los radianes por segundo a revoluciones por minuto. Podemos hacerlo con
una simple regla de 3:
2π radianes (6,28)→ 1 vueltas
50 radianes
→ X
Despejando me queda que, x= 50 / 6,28 = 7,96 r.p.s. (1 vuelta)
Por lo tanto si en 1 segundo da 7,96 revoluciones o vueltas, el 60 segundo (1 minuto), dará:
r.p.m. = 7,96 · 60 = 477,6
Ejemplo 4:
Una noria de 40 m de diámetro gira con una velocidad angular constante de 0,125
rad/s. Calcula
a) La distancia recorrida por un punto de la periferia en 1 min
b) El número de vueltas que da la noria en ese tiempo
c) Su periodo
d) su frecuencia
a) Para resolver este primer apartado, comenzamos pasando los rad/s a r.p.m. :
En el ejercicio anterior habíamos visto que 1 vuelta o revolución equivale a 2π radianes,
por lo que haciendo un regla de 3 me queda:
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2π radianes (6,28)→ 1 vueltas
0,125 radianes
→ X
Despejando tengo que x= 0,125 / 6,28 = 0,02 r.p.s. , que la pasamos a r.p.m. multiplicando
por 60 segundos (1 minuto):
r.p.m. = 0,02 · 60 = 1,2
radio será 20 metros.
, como me dicen que el diámetro de la noria es de 40 metros, el
Sabemos mediante la fórmula L=2·π·R, cual es la longitud de una circunferencia, por lo que si
damos una vuelta completa o revolución, estamos recorriendo L = 2 · 3,14 · 20= 125,6.
Como en nuestro caso se han dado 1,2 vueltas, para saber la distancia total recorrida
multiplicamos esta última cantidad por 1,2, quedándome:
Distancia recorrida = 125,6 · 1,2 = 150, 72 m
b) El número de vueltas que da la noria en ese tiempo, ya lo hemos calculado antes y es:
r.p.m. = 0,02 · 60 = 1,2
c) Viendo la definición, vemos que el periodo (T) es el tiempo que tarda en dar una vuelta y se
mide en segundos, y usando la segunda fórmula obtenemos que:
T= 2π/0,125 = 50,24 s
d) Para calcular la frecuencia, usamos la fórmula T=1/f, de donde despejamos la frecuencia,
f=1/T, como T se ha calculado en el aparatado anterior, obtenemos que:
f=1/T → f= 1/50,24=0,02 s-1
Al ser la velocidad constante, por tratarse de un movimiento circular uniforme, no
tendremos una aceleración (lineal), sino que tendremos una aceleración normal o centrípeta
(aN) dirigida hacia el centro de la circunferencia. Dicha aceleración la calcularemos de la
siguiente forma:
aN=
, done v es la velocidad (lineal) y R es el radio de la circunferencia.
Ejemplo 5:
Un automóvil parte del reposo en una vía circular de 400m de radio y va moviéndose
con movimiento uniformemente acelerado hasta que a los 50 segundos de iniciada su
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marcha alcanza la velocidad de 72 km/h, desde cuyo momento conserva la velocidad.
Calcular:
a) La aceleración lineal (o tangencial) en la primera etapa de su movimiento.
b) La aceleración radial en el momento de alcanzar los 72 Km/h.
a) Como en la primera parte (los primeros 50s) de trata de un movimiento Uniformemente
acelerado, para calcular la velocidad lineal aplicaremos:
v= 72 Km/h = 20 m/s
v= v0 +a·t → a=v - v0 /t → a= (20 – 0)/50 =0,4 m/s2
b) A partir del Segundo 50, el vehículo se mueve con una velocidad constante en un
movimiento circular uniforme, por lo que la aceleración lineal o tangencial será cero.
Tendremos solo aN que viene determinada por:
aN= v2/R → aN = 202/400 = 1 m/s2
Ejemplo 6:
Una rueda tiene 2 metros de radio y alcanza 40 vueltas en 8 segundos.
Calcular:
a) La velocidad lineal
b) La velocidad angular
c) la aceleración normal.
a) Para calcular la velocidad lineal, necesitamos saber la distancia recorrida y en tiempo
empleado en ella.
Para saber la distancia recorrida, tan solo debemos usar la fórmula de la longitud de una
circunferencia, L= 2 π r, de donde obtenemos que:
L= 2 π r = 2· 3,14· 2 = 12,56 m
esta es la distancia en una vuelta, como me dicen que son 40 vueltas, multiplicaré la cantidad
anteriormente obtenida por 40 y esa será la distancia recorrida.
S = 12,56 · 40 = 502,4 m
Finalmente, de la fórmula del movimiento uniforme, obtengo que:
s= s0 + v·t, de donde despejando v, me queda:
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v= s/t (s0 =0) → v= 502,4/8=62,8 m/s
b) Para la velocidad angular aplicamos la fórmula v= ω · R, de donde despejamos ω:
ω = v/R = 62,8/2 = 31,4 rad/s
c) Por último, para calcular la velocidad angular utilizamos:
aN= v2/R → aN = 62,8 2/2 = 3943,84/2 = 1971,92 m/s2
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