Estimadores de razón

1
Estimadores de razón
Estimadores de los parámetros usuales,
Para el total de X ,
bR = R
b·Y
X
Para la media de X ,
b =R
b·Y
X
R
Aproximación del sesgo del estimador de la razón,
³ ´ (N − n) ³
´
b '
b 2 − Sxy
B R
RS
y
2
N nY
que podemos estimar a partir de la expresión,
´
³ ´ (N − n) ³
b 2 − sxy
b R
b '
Rs
B
y
2
N nY
Para el estimador de la razón, se dispone de la siguiente aproximación:
³ ´ (N − n) ¡
¢
b '
V R
Sx2 + R2 · Sy2 − 2R · Sxy
2
N nY
1. Estimadores de razón separados.
Para el total,
bRS =
X
L
X
i=1
bRi =
X
L
X
b i Yi
R
i=1
Para la media,
L
L
1 Xb
1 X b
b
X RS =
R i Yi =
Ni R i Y i
N i=1
N i=1
Aproximación del sesgo de los estimadores que dependerá de la aproximación del estimador de la razón en cada estrato.
2
Para el estimador del total,
L
³
´ X
´
Ni − n i ³ b 2
b
b
B XRS '
Ri syi − sxyi
ni Y i
i=1
Para el estimador de la media,
´
³
b
b X
B
RS =
³
´
b X
bRS
B
N
Estimaciones de las varianzas:
Para el estimador del total,
L
³
´ X
´
Ni (Ni − ni ) ³ 2
b
b
b2 · s2 − 2R
bi · sxyi
V XRS '
sxi + R
i
yi
ni
i=1
Para el estimador de la media,
L
³
´
´
1 X Ni (Ni − ni ) ³ 2
b
b
bi2 · s2yi − 2R
bi · sxyi
V X RS ' 2
sxi + R
N i=1
ni
2. Estimadores de razón combinados.
Los estimadores combinados son:
Para la razón,
b
bC = X st
R
Yb st
Para el total,
bRC = R
bC · Y
X
Para la media,
b
b
X
RC = RC · Y
Las estimaciones de las varianzas de los estimadores,
3
Para el estimador de la razón,
³ ´
bC =
Vb R
1
L
X
Ni (Ni − ni ) ³
2
Y N2
i=1
ni
2
bC2 · syi
bC · sxyi
s2xi + R
− 2R
Para el estimador del total,
³
´
³ ´
bRC = Y 2 · Vb R
bC
Vb X
Para el estimador de la media,
³
´
³ ´
2
b
b
bC
Vb X
=
Y
·
V
R
RC
´
4
Estimadores de regresión
El estimador de regresión de la media poblacional es
b
X
regr = x + b(Y − y)
donde x y y son los estimadores de la media poblacional mediante un m.a.s.,
y b es una constante.
Varianza estimada para el estimador de la media:
Para b constante:
³
´ N −n¡
¢
b
Vb X
s2x + b2 s2y − 2bsxy
regr =
Nn
Para b obtenida a partir de la muestra,
³
´ N −n ¡
¢
b
Vb X
s2x 1 − ρb2
regr =
Nn
donde ρb es la estimación muestral de ρ.
Estimadores de regresión en el muestreo estraticado:
1. El estimadore de regresión separado de la media es
L
L
¡
¢ª
1 X b
1 X ©
b
X
=
N
X
=
Ni x i + b i Y i − y i
rgS
i regri
N i=1
N i=1
Estimación de la varianza del estimador de la media para bi constantes.
L
³
´
¢
1 X Ni (Ni − ni ) ¡ 2
b
2 2
Vb X
=
s
+
b
s
−
2b
s
rgS
i
xyi
xi
i
yi
N 2 i=1
ni
Estimación de la varianza del estimador de la media para bi obtenidos
a partir de la muestra:
L
³
´
¢
1 X Ni (Ni − ni ) 2 ¡
b
b
V X rgS = 2
sxi 1 − ρb2i
N i=1
ni
5
2. El estimadores de regresión combinado para la media es,
³
´
b
b
b
X
rgC = X st + bc Y − Y st
Estimación de la varianza del estimador de la media con bc preasignada.
L
³
´
¢
1 X Ni (Ni − ni ) ¡ 2
b
b
V X rgC = 2
sxi + b2c s2yi − 2bc sxyi
N i=1
ni
Estimación de la varianza del estimador de la media con bc obtenida a partir de la muestra,
³
b
Vb X
rgC
´
"n
#
ni
L
i
X
1 X Ni (Ni − ni ) X
= 2
(xij − xi )2 − b2c
(yij − y i )2
N i=1 ni (ni − 2) j=1
j=1
Estimación en subpoblaciones
1. Estimación del tamaño de la subpoblación:
bk =
N
X N
N nk
=
n
n
i∈m
k
con estimación insesgada de la varianza:
³ ´ N (N − n) n ³
nk ´
k
bk =
Vb N
1−
n−1
n
n
2. Estimación del total de una característica en una subpoblación:
X
bk = N
X
xi
n i∈m
k
con estimación insesgada de la varianza:
³ ´ N (N − n)
b
bk =
V X
s2k
n
6
3. Estimación de la media de una característica en una subpoblación cuando el tamaño de la subpoblación no se conoce:
bk
b =X
X
k
bk
N
con estimación insesgada de la varianza
³ ´ µ1
b =
−
Vb X
k
nk
según el diseño muestral:
¶
1
s2xk
b
Nk
7
Muestreo doble
1. APLICACIÓN A LA ESTRATIFICACIÓN.
Estimador de la media:
L
b 0 = X W 0x
X
i i
st
i=1
con varianza estimada:
Vb
µ 0 ¶
¶
µ
¶2
L µ
L
0
N − 1 X n0i − 1 ni − 1 Wi0 2 X 0
b
b
X st =
−
s +
W xi − X st
N i=1 n0 − 1 N − 1 ni i i=1 i
2. APLICACIÓN AL ESTIMADOR DE RAZÓN.
Estimador de la media:
b 0 = x · y0, R
b=x
X
R
y
y
con varianza estimada:
µ 0¶
´
N − n0 2 n0 − n ³ 2 b2 2
b
b xy
Vb X
=
s
+
s
+
R
s
−
2
Rs
R
x
y
N n0 x
n0 n
3. APLICACIÓN AL ESTIMADOR DE REGRESIÓN.
Estimador de la media:
b 0 = x + b (y 0 − y)
X
rg
con varianza estimada:
µ 0 ¶
¢
N − n0 2 n0 − n ¡ 2
b
b
sx +
sx + b2 s2y − 2bsxy
V X
=
rg
0
0
Nn
nn
Los estimadores del total y sus varianzas estimadas se obtienen de
forma usual.
8
Muestreo por conglomerados
Los estimadores insesgados de los parámetros usuales son:
Para el total poblacional,
b c = N xc
X
n
1X
xc =
Xi
n i=1
Para el total de la clase,
bc = N pc
A
n
1X
pc =
Ai
n i=1
Para la razón entre las variables X e Y,
b
bcgl = Xc = xc
R
yc
Ybc
donde y c =
1
n
n
P
i=1
Yi , siendo Yi el total de la variable Y en el conglom-
erado i-ésimo.
Las estimaciones insesgadas de las varianzas de los estimadores son:
Para el total,
³ ´
b
bc = N 2 Vb (xc ) = N 2 N − n s2
V X
Nn c
n
1 X
2
sc =
(Xi − xc )2
n − 1 i=1
Para el total de la clase y la proporción se hacen los cambios oportunos.
9
Para la razón de dos variables,
³
´
£
¤
bcgl ' N − n s2cx + R2 s2cy − 2Rscxy
Vb R
2
N nY
con
n
s2cx =
1 X
(Xi − xc )2
n − 1 i=1
n
2
Scy
1 X
=
(Yi − y c )2
n − 1 i=1
n
Scxy
1 X
=
(Xi − xc ) (Yi − y c )
n − 1 i=1
Los estimadores tipo razón para los parámetros usuales son:
Para media poblacional,
n
P
b = i=1
X
R
n
P
Xi
Mi
i=1
Para la proporción,
n
P
i=1
PbR = P
n
Ai
Mi
i=1
donde Aij , i = 1, ..., N , j = 1, ..., Mi ya se denió en la sección anterior.
Las estimaciones de las varianzas de los estimadores usuales son:
Para la media,
³
b
Vb X
R
´
" n
#
´2
N (N − n) X ³
b M
=
Xi − X
R i
nM 2 (n − 1) i=1
10
Para la proporción y el total de clase se hacen los cambios oportunos.
Si se seleccionan los conglomerados mediante muestreo con reposición y probabilidades proporcionales al tamaño, los estimadores de
los parámetros son:
Para el total,
n
n
MX
1 X Xi
b
M=
Xi
Xcppt =
n i=1 Mi
n i=1
Para el total de la clase,
n
n
1 X Ai
MX
b
M=
Acppt =
pi
n i=1 Mi
n i=1
Las estimaciones de las varianzas de los estimadores son:
Para el total,
³
´
bcppt =
Vb X
´2
M2 X ³
b
Xi − X
cppt
n (n − 1) i=1
n