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TEORÍA DE LOS CIRCUITOS I
CAPÍTULO 2
REV. 29/4/08
S. ENRIQUE PULIAFITO
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL MENDOZA
APUNTES DE CÁTEDRA DE
TEORÍA DE LOS CIRCUITOS I
Prof. Dr. Ing. S. Enrique Puliafito
E-mail epuliafito@frm.utn.edu.ar
CAPITULO 2: DIPOLOS Y CUADRIPOLOS
OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA:
1. Proveer los fundamentos de los circuitos lineales e interpretar a éstos en el marco de
un sistema lineal comprendiendo y aplicando sus principales propiedades
2. Mostrar cómo el análisis y diseño de circuitos eléctricos están íntimamente
relacionados con la capacidad del futuro ingeniero para diseñar complejos sistemas
electrónicos de comunicaciones, computación y control.
3. Que el alumno aprenda a resolver circuitos lineales simples.
4. Que el alumno adquiera las habilidades para modelar y resolver sistemas lineales tanto
desde el dominio del tiempo como de la frecuencia, y que sea capaz de predecir su
comportamiento ante una excitación cualquiera.
OBJETIVOS DEL CAPÍTULO 2:
• Reconocer los circuitos eléctricos como terminales de dos o cuatro puertos.
• Que el alumno adquiera la habilidad de evaluar los sistemas lineales a partir del
ensayo del mismo, aplicando diversas estrategias de reconocimiento.
• Que el alumno pueda elaborar un modelo equivalente del sistema ensayado.
PROGRAMA ANALÍTCO:
TEMA A: Dipolos resistivos: 2.A.1 Resistencia equivalente. 2.A.2. Métodos de cálculo,
2.A.3 dipolos simétricos, circuitos escalonados. 2.A.4. Teorema fundamentales: Thèvenin,
Norton y de la sustitución.
TEMA B: Cuadripolos resistivos: 2.B.1. Circuitos equivalentes circuitos "T" y "Π". 2.B.2.
Parámetros "r" y "g", conversión de parámetros. 2.B.3. Propiedades de los cuadripolos:
Teorema de la reciprocidad, 2.B.4. Simetría en cuadripolos.
TIEMPO DE CURSADO: 2 SEMANAS
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CAPÍTULO 2
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TABLA DE CONTENIDO
CAPÍTULO II: DIPOLOS Y CUADRIPOLOS 3
1. Dipolos resistivos 3
1.1
CÁLCULO DE LA RESISTENCIA EQUIVALENTE APLICANDO UN GENERADOR .................. 3
1.1.3 Cálculo de la resistencia equivalente por corrientes en las mallas. ........................ 3
1.1.4 Cálculo de la resistencia equivalente por tensiones nodales ................................... 4
1.2. CÁLCULO DE LA RESISTENCIA EQUIVALENTE POR REDUCCIÓN DE LA RED ........................ 6
1.2.1 Transformación estrella-triángulo............................................................................ 6
1.2.2. El circuito escalera .................................................................................................. 8
1.2 TEOREMAS DE THÈVENIN, NORTON Y DE SUSTITUCIÓN ..................................................... 9
1.2.1 Teorema de Thèvenin ................................................................................................ 9
1.2.2. Teorema de Norton................................................................................................. 11
1.2.3 Teorema de la sustitución ....................................................................................... 12
2. Cuadripolos resistivos 14
2.1 TEOREMA DE LA RECIPROCIDAD ...................................................................................... 14
2.2 CIRCUITO EQUIVALENTE “T”........................................................................................... 17
2.3 CIRCUITO EQUIVALENTE Π.............................................................................................. 18
2.4 EQUIVALENCIA ENTRE LOS PARÁMETROS R Y G. .............................................................. 19
2.5 SIMETRÍA EN CUADRIPOLOS ............................................................................................. 20
2.5.1 Simetría balanceada................................................................................................ 21
2.5.2. Simetría de transferencia. ...................................................................................... 21
2.5.3 Teorema de Bartlett. Red con doble simetría.......................................................... 22
2.5.4. Cálculo de los parámetros r o g en cuadripolos con simetría............................... 23
2.6 REDUCCIÓN DE UN SISTEMA DE 4 TERMINALES A UNO DE TRES TERMINALES................... 25
BIBLIOGRAFÍA:
•
•
•
•
•
•
R. Scott: “Linear Circuits”, Addison-Wesley Publishing Co., 1960
Dorf y Svoboda, “Circuitos Eléctricos. Introducción al Análisis y Diseños”,
Alfaomega, 2000
Cunnigham and Stuller: “Basic Circuit Analysis”, 1995
3. M. Van Walkenberg: “Análisis de Redes”, Limusa.,1994
H. Pueyo y C. Marco: “Análisis de modelos circuitales”,Tomos I y II. Arbó, 1985
W. Hyat and J. Kemmerly: “Análisis de Circuitos en Ingeniería”, Mc Graw Hill.,
1985
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CAPÍTULO II: DIPOLOS Y CUADRIPOLOS
1. Dipolos resistivos
Del análisis general de redes, surgen dos casos particulares de interés, dependiendo de
dónde se mide la respuesta. En un caso, en los dipolos, la red se analiza desde un solo par de
terminales, la excitación y la respuesta se miden desde el mismo par de bornes, por ejemplo,
la tensión es la excitación, y la corriente producida es la respuesta. En el segundo caso, los
cuadripolos, la excitación se ubica en un par de terminales, y la respuesta se mide en otro par
de terminales.
Primeramente vamos a estudiar los dipolos resistivos, es decir, una red compuesta sólo
por resistencias, las fuentes pueden ser externas al dipolo o internas. Estas redes pueden ser
más simples o más complejas. En un dipolo, el objeto de estudio, es reducir la red, vista desde
el par de terminales seleccionado, a una única resistencia equivalente, y si las fuentes son
internas, a una resistencia y una fuente equivalente. Para la solución de estos casos existen
diversos métodos y teoremas que analizaremos a continuación.
1.1 Cálculo de la resistencia equivalente aplicando un generador
La resistencia equivalente, sería aquella resistencia, que drena la misma corriente que el
circuito original cuando se le aplica la misma tensión. La relación entre la tensión aplicada y
la corriente drenada es la resistencia equivalente. Esto es, en un circuito dado, aplicamos un
generador de tensión y medimos la corriente o viceversa (figura 2.1):
Req =
E
I
Figura 2.1
1.1.3 Cálculo de la resistencia equivalente por corrientes en las mallas.
En un dipolo resistivo, se puede derivar la resistencia equivalente (Req), aplicando un
generador de tensión y calculando la corriente de malla que circula en el par de terminales
elegido, por ejemplo ab en la figura 2.2. La Req será el cociente entre la tensión del generador
E divido la corriente de malla i1.
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Figura 2.2
Este método es útil generalmente cuando no se puede aplicar una reducción del tipo
serie-paralelo. En el caso del ejemplo, las corrientes de mallas serán:
⎧ E = i1 ( R1 + R2 ) − i2 ( R2 )
⎪0 = −i ( R )
+ i2 ( R2 + R3 + R5 ) − i3 ( R5 )
⎪
1
2
⎨
− i2 ( R5 )
+ i3 ( R5 + R6 )
⎪0 =
⎪⎩0 =
− i2 ( R3 )
i1 =
E
0
− R2
R2 + R3 + R5
0
− R5
0
− R3
0
0
− R5
− R3
R5 + R6
0
0
R3 + R 4
− i4 ( R3 )
;
+ i4 ( R3 + R4 )
R2 + R3 + R5
− R5
E
=
R1 + R2
− R2
0
0
− R2
0
R2 + R3 + R5
− R5
− R5
R5 + R 6
− R3
0
0
− R3
0
R3 + R4
(2.1)
− R5
R5 + R 6
− R3
0
0
R3 + R4
− R3
Δ
=E
Δ1
Δ
E Δ
; siendo Δ el determinante denominador de la primera igualdad y Δ1 el
=
i1 Δ 1
determinante numerador de la segunda igualdad.
Re q =
1.1.4 Cálculo de la resistencia equivalente por tensiones nodales
En forma análoga, se puede resolver usando el método de las tensiones nodales. Por
ejemplo el mismo circuito de la figura 2.2, podría resolverse, aplicando un generador de
corriente I y calculando la tensión nodal en a. La resistencia equivalente sería la tensión ea
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dividido por la corriente del generador I, según se aprecia en la figura 2.3 y el cálculo
siguiente.
Figura 2.3
ea
e
= R1 + Rc = R1 + c
I
I
La Req también se puede calcular como la suma de R1 más la resistencia equivalente
vista en c (Rc). (Recuérdese que toda resistencia en serie con un generador ideal de corriente,
no afecta la corriente que circula por esa rama). La tensión ec surge de aplicar el método de
tensiones nodales:
Re q =
⎧
1
1
1
1
1
+
+
− ef (
) − ed (
)
)
⎪ I = ec (
R
R
R
R
R
2
3
4
3
4
⎪
⎪
1
1
1
;
+ ed (
+
)
)
⎨0 = −ec (
R3
R3 R5
⎪
⎪
1
1
1
+ ef (
+
)
)
⎪0 = −ec (
R4
R6 R 4
⎩
I
ec =
−
1
R3
−
1
R4
0
1
1
+
R3 R5
0
1
1
+
R3 R5
0
0
0
1
1
+
R6 R 4
0
1
1
+
R6 R 4
1
1
1
+
+
R2 R3 R4
1
−
R3
1
−
R4
−
1
R3
−
1
R4
1
1
+
R3 R5
0
0
1
1
+
R6 R 4
Re q = R1 +
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(2.2)
5
=I
Δ
=I
Δc
Δ
Δ
.
Δc
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1.2. Cálculo de la resistencia equivalente por reducción de la red
Otra forma de calcular la resistencia equivalente en un par de terminales de un dipolo es
por reducción de la red. Ésta puede realizarse por combinación serie-paralelo, sin embargo,
no siempre es posible aplicar las reglas de asociación, y es necesario utilizar una
transformación Y-Δ. Otra posibilidad es la transformación de red cuando ésta tiene alguna
simetría.
La combinación serie paralelo ya se explicó en el primer capítulo, por lo que
desarrollaremos a continuación la transformación Y-Δ y el circuito escalera.
1.2.1 Transformación estrella-triángulo
La transformación Y-Δ es un procedimiento más general que el serie-paralelo, pues
relaciona una red de tres terminales, en vez de dos terminales como en la combinación serieparalelo. Una red Y está compuesta por tres resistencias conectadas a un punto común O, en
cambio la red Δ son tres resistencia conectadas en forma triangular, como se aprecia en la
figura 2.4 (a) y (b) respectivamente.
Figura 2.4
A fin de establecer las equivalencias entre el juego de resistencias R1, R2 y R3 y las
resistencias Ra, Rb y Rc, calcularemos las tensiones eac=e1 y ebc=e2 en ambos circuitos según
se ve en la figura 2.5. Aplicando el teorema de la superposición, es decir, calculando primero
la tensión e1’ debida del generador I1 y luego la tensión e1” por efecto del generador I2, por
ejemplo, la tensión e1, será la suma de las tensiones e1’ y e2”. Lo mismo ocurre para la tensión
e2 .
Para la red Y, calculando por superposición, el juego de ecuaciones será:
⎧ e1 = I 1 ( R1 + R3 ) + I 2 R3
;
⎨
⎩e2 = I 1 R3 + I 2 ( R2 + R3 )
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(2.3)
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Figura 2.5
Para la red Δ, el sistema de ecuaciones, también calculado por superposición será:
Rc ( Ra + Rb )
Rc Rb
⎧
⎪⎪ e1 = I 1 R + R + R + I 2 R + R + R
a
b
c
a
b
c
;
⎨
Rb ( Ra + Rc )
Rc Rb
⎪e2 = I 1
+ I2
⎪⎩
Ra + Rb + Rc
Ra + Rb + Rc
(2.4)
Como las tensiones e1 y e2 en las ecuaciones (2.3) y (2.4) deben ser idénticas, sus
coeficientes también lo serán. Por lo tanto, se obtiene el siguiente juego de equivalencias
entre las resistencias de la red Y y los de la red Δ:
Rc ( Ra + Rb )
Ra + Rb + Rc
Rb Rc
;
R3 =
Ra + Rb + Rc
R ( R + Rc )
R2 + R3 = b a
Ra + Rb + Rc
R1 + R3 =
(2.5)
Y de (2.5) se obtienen las siguientes equivalencias:
R a Rc
Ra + Rb + Rc
Ra Rb
;
R2 =
Ra + Rb + Rc
Rb Rc
R3 =
Ra + Rb + Rc
R1 =
(2.6)
En forma nemotécnica, y comparando las figuras (2.5) (a) y (b), las ecuaciones (2.6)
pueden simplificarse diciendo que las resistencias Y son el cociente entre el producto de las
resistencias Δ adyacentes dividido por la suma de las resistencias Δ.
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En forma alternativa, se pueden poner las resistencias de la red Δ, en función de los de
la red Y:
R R + R2 R3 + R3 R1
Ra = 1 2
R3
R1 R2 + R2 R3 + R3 R1
;
(2.6)
Rb =
R1
R R + R2 R3 + R3 R1
Rc = 1 2
R2
Igualmente como regla práctica se puede expresar que cada resistencia Δ, es el cociente
entre la suma de los productos dobles de las resistencias Y, dividido la resistencia Y opuesta.
1.2.2. El circuito escalera
El circuito escalera es un tipo de circuitos que suele aparecer a menudo. El cálculo de la
resistencia equivalente en un par de terminales a-b, puede resolverse por serie-paralelo
comenzando desde el extremo, como se desarrolló en la figura 1.19. El circuito escalera de la
figura 2.6 lo resolveremos, suponiendo, una tensión e0 de 1 volt en la resistencia más externa,
y luego calculando las corrientes y caídas de tensión sucesivas, calcularemos la tensión final
en eab y la corriente que circula por ese terminal. La resistencia equivalente será el cociente
entre eab y la corriente i5 en el caso de la figura 2.6.
Figura 2.6
Comenzamos asignando el valor de e0= 1V y luego por simple inspección, y aplicando
las reglas de Kirchhoff, se obtiene sucesivamente los valores de cada tensión y corriente en
cada rama:
⎧e0 = 1V
⎪
e0
⎨
⎪⎩ i0 = 1 = 1A
⎧ i1 = i0 = 1
⎨
⎩e1 = i1 × 1 = 1
⎧e2 = e0 + e1 = 2
⎪
⎨
e2
⎪⎩ i2 = 1 = 2
⎧ i3 = i2 + i1 = 1 + 2 = 3
⎨
⎩e3 = i3 × 1 = 3
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⎧e4 = e3 + e2 = 2 + 3 = 5
⎪
⎨
e4
⎪⎩ i4 = 1 = 5
⎧ i5 = i 4 + i 3 = 5 + 3 = 8
⎪ e = i ×1 = 8
⎪⎪ 5 5
⎨ e6 = e5 + e4 = 8 + 5 = 13
⎪
e
⎪ Re q = 6 = 13
⎪⎩
i5
8
1.2 Teoremas de Thèvenin, Norton y de sustitución
Si se desea analizar una parte de una red, la otra parte puede sustituirse por medio de
una red equivalente más simple, por ejemplo a través de dos dipolos A y B conectados como
se ve en la figura 2.7. La parte A se sustituye por una red equivalente, mientras que la parte B
constituye la carga del dipolo A. Esta carga puede ser un simple resistor o un dipolo más
complejo
Estos circuitos equivalentes pueden calcularse usando los teoremas de Thèvenin,
Norton y de la sustitución. Estos dos teoremas permiten obtener un circuito equivalente de un
dipolo resistivo cuando en él se encuentran incluidos fuentes de tensión y corriente.
A través del teorema de Thèvenin un dipolo activo puede reemplazarse por un único
generador de tensión ideal en serie con una resistencia. Por medio del teorema de Norton, el
dipolo es reemplazado por un único generador de corriente en paralelo con una resistencia
equivalente.
i
Red A
+
e
-
Red B
i
Figura 2.7
1.2.1 Teorema de Thèvenin
Este teorema dice: “La corriente en cualquier rama de un circuito conectado a un par
de terminales, es la misma que producirá un solo generador conectado en dicho par de
terminales, cuya tensión es la que se mide en dichos terminales a circuito abierto y cuya
resistencia interna es la que se ve desde dichos terminales, cuando se hayan reemplazado
todos los generadores por resistencias iguales a las respectivas resistencias internas”.
Este teorema permite obtener un circuito equivalente, por ejemplo para la red A de la
figura anterior, reemplazándose por un generador de tensión equivalente y una resistencia en
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serie. Esta tensión se obtiene abriendo el circuito en el par de terminales, por ejemplo a-b y
midiendo (o calculando) la tensión a circuito abierto. La resistencia serie es la resistencia
equivalente vista desde ese par de terminales de la Red A cuando se enmudecen todos los
generadores de la red. (E=0; significa corto circuito; I=0; significa circuito abierto). Veáse a
continuación el ejemplo de la figura 2.8.
Figura 2.8
En la parte (a) del circuito se observa el circuito a estudiar. Consideramos el dipolo de la Red
A como la parte de la red a la izquierda de los terminales a-b, la Red B está representada por
su resistencia equivalente R. En la parte (b) de la figura se observa el circuito equivalente de
Thèvenin. Como primer paso se debe calcular la tensión equivalente de Thèvenin ET,
abriendo el circuito en a-b , como se dibuja en la parte (c) de la figura, y luego se debe
calcular la resistencia equivalente de Thèvenin RT, enmudeciendo los generadores y a circuito
abierto. En la parte (d) se aprecia este paso; nótese el corto circuito reemplazando al
generador. De esta manera la tensión ET y la RT serán:
R3
;
R1 + R3
RT = R2 +
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10
ET = E
R1 R3
.
R1 + R3
(2.7)
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1.2.2. Teorema de Norton
El teorema de Norton es el dual del de Thèvenin, sólo que se reemplaza la red por un
generador de corriente en paralelo con una resistencia equivalente. La diferencia fundamental
está en que la corriente de Norton es la corriente que circula entre los terminales a-b cuando
se coloca un corto circuito entre ambos. La resistencia interna es idéntica a la de Thèvenin, es
decir se calcula a circuito abierto, con los generadores enmudecidos. La figura 2.9 muestra en
un ejemplo el procedimiento a seguir.
El teorema dice: “La corriente en cualquier resistencia de un circuito conectado a un
par de terminales es la misma que hubiera si dicha resistencia estuviera conectada a un
generador de corriente cuya corriente sea igual a la corriente que fluye a través de ambos
terminales si los mismos estuvieran cortocircuitados. El generador de corriente deberá estar
conectado en paralelo a una resistencia igual a la que se ve desde los terminales.”
Figura 2.9
Resolviendo la corriente IN, puede hacerse, según la figura 2.9 (c), calculando la corriente de
malla i2, la RN será igual que la RT del caso de la figura 2.8. El sistema de ecuaciones de malla
resultante será:
⎧ E = i1( R1 + R3 ) − i2 ( R3 )
;
⎨
⎩0 = −i1( R3 ) + i2 ( R2 + R3 )
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R1 + R3 E
− R3
0
ER3
I N = i2 =
=
.
R1 + R3
− R3
( R1 + R3 )( R2 + R3 ) − R32
− R3
R2 + R3
(2.8)
Los circuitos de las figuras 2.8 (b) y 2.9 (b) son duales, es decir se puede pasar de uno a otro
mediante transformación de fuentes.
1.2.3 Teorema de la sustitución
Si se conoce la tensión en una rama del circuito, ésta puede reemplazarse por un
generador ideal de tensión, y si se conoce la corriente que circula en una rama, ésta puede
reemplazarse por un generador ideal de corriente.
Este teorema es muy importante, pues permite dividir una red muy compleja y resolver
la parcialmente, simplificando su análisis. Por otra parte, junto con el teorema de la linealidad
y superposición son la base de la teoría de sistemas lineales.
Por ejemplo, en la red de la figura 2.10 (a) se desea calcular la tensión a la salida E3 si
la entrada es un generador de tensión E1. La red se dividirá en dos partes como se muestra en
la figura 2.10 (b)
+
E3
+
E1
-
(a)
m
+
E1
-
+
E2
Red 1
n
R2
Red 2
+
E3
-
(b)
Figura 2.10
Para calcular E3, usando el teorema de la sustitución deben realizarse los siguientes pasos:
1) Se divide la red, por ejemplo en dos partes (terminales m-n en la figura),
2) Se calcula la resistencia de entrada de la red 2 vista desde esos pares de terminales (mn)
3) Una vez calculada la R2, se reemplaza la red 2 por la R2 y se calcula la E2 en la
primera red
4) Una vez calculada la E2, se calcula la E3 usando un generador de tensión E2 aplicado a
la entrada de la red 2.
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Ejemplo: En el circuito de la figura 2.11 (a), calcular E3 usando el teorema de la sustitución.
Solución:
a) En el par de terminales m-n, calculo la resistencia de entrada Re de la red de la derecha (las
resistencias de 1 están en serie, en paralelo con la de 2), figura 2.11 (b)
2 × (1 + 1)
= 1Ω
2 + (1 + 1)
b) Calculamos E2 aplicando Re en los terminales m-n de la red de la izquierda. Las dos
resistencias en paralelo de 1 dan ½ en serie con la resistencia del generador de 2, fig. 2.11 (c):
Re =
E 2 = 10
1
2
2 + 12
= 2V
c)Calculamos la tensión E3, aplicando E2= 2V en los terminales m-n de la red de la derecha,
ver figura 2.11 (d):
1
E3 = 2
= 1V
1+1
Figura 2.11
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2. Cuadripolos resistivos
Cuando estudiamos dipolos, la red o circuito era analizada desde un mismo par de
terminales, donde la excitación y la respuesta se miden desde el mismo par de terminales.
Además un dipolo resistivo puede reducirse a una única resistencia equivalente.
En el caso de los cuadripolos, la excitación se ubica en un par de terminales, y la
respuesta se mide en otro par de terminales. Si embargo la acción de la fuente produce su
efecto no sólo en el par de terminales de salida sino también en el de entrada. Por otra parte,
generalizando, también se podría colocar excitaciones en ambos par de terminales, con lo que
las relaciones lineales se duplican.
A través de los principios de linealidad y superposición, y el teorema de la reciprocidad,
un cuadripolo puede reducirse al menos a tres resistencias, si tiene un borne común de
entrada-salida. Si no existe un borne común, se podrá transformar el circuito o definir seis
resistencias.
Una vez finalizada este generalización, analizaremos los circuitos almacenadores de
energía.
2.1 Teorema de la reciprocidad
Se desea hallar las relaciones entre estímulo y respuesta en un cuadripolo lineal y
pasivo. En otras palabras queremos encontrar un circuito equivalente para la red bajo estudio.
Supongamos que en la red de la figura 2.12 se resuelve mediante el método de corrientes en
las mallas, también vamos a suponer que está excitado con sólo dos generadores de tensión en
sus bornes exteriores.
+
E1
i1
i2
+
E2
-
Figura 2.12
Siguiendo un análisis similar a lo realizado en el teorema de superposición y linealidad (ver
Ec. 1.42), las ecuaciones para k mallas y 2 fuentes será:
⎧ i1( r11 ) − i2 ( r12 ) − i2 ( r13 ) − L − ik ( r1k ) = E1
⎪− i ( r ) + i ( r ) − i ( r ) − L − i ( r ) = E
2 22
2 23
k
2k
2
⎪⎪ 1 21
⎨ − i1( r31 ) − i2 ( r32 ) + i3 ( r33 ) − L − ik ( r3k ) = 0 ;
⎪
M
⎪
⎪⎩ − i1( rk1 ) − i2 ( rk 2 ) − i2 ( rk 3 ) − L + ik ( rkk ) = 0
(2.9)
donde i1, i2,...,ik, son las k corrientes de mallas; r11,r22,...,rkk, son la suma de las resistencias de
las mallas, y rjk, j≠ k son las resistencias comunes de las mallas vecinas. E1 y E2 son las únicas
excitaciones presentes. Como ya comprobamos en la resolución de circuitos por el método de
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corrientes en las mallas o tensiones nodales, la matriz de los coeficientes de (2.9), es una
matriz simétrica cuya diagonal principal es positiva, lo que implica que los elementos
simétricos respecto de la diagonal principal son idénticos. Esto siempre será así para redes
lineales y pasivas. Entonces la Ec. 2.9 puede rescribirse como:
⎧ i1 ( r11 ) − i2 ( r12 ) − i2 ( r13 ) − L − ik ( r1k ) = E1
⎪− i ( r ) + i ( r ) − i ( r ) − L − i ( r ) = E
2
22
2
23
k
2k
2
⎪⎪ 1 12
⎨ − i1 ( r13 ) − i2 ( r23 ) + i3 ( r33 ) − L − ik ( r3k ) = 0 ;
⎪
M
⎪
⎪⎩ − i1 ( r1k ) − i2 ( r2 k ) − i2 ( r3k ) − L + ik ( rkk ) = 0
(2.10)
Calculando la corriente i2, a partir de (2.10), cuando el generador E2=0, es decir con la salida
en corto circuito será :
− r12
− E1 − r13
i2 =
M
Δ
− r1k
− r23 L − r2 k
r33 L − r3k
M
− r3k L rkk
;
(2.11)
donde Δ es el determinante de los coeficientes de (2.10). Haciendo ahora E1=0 y calculando la
corriente i1 :
− r12 − r13 L − r1k
i1 =
− E 2 − r23
M
Δ
− r2 k
r33
− r3k
L − r3k
;
M
L rkk
(2.12)
Analizando los determinantes de (2.11) y (2.12), estos resultan ser iguales, si cambiamos la
primera fila, por la primera columna. Haciendo un desarrollo por Laplace, se puede demostrar
que un determinante no cambia su valor si cambia una fila por una columna. De esto se
desprende que el cociente i1/E2 cuando E1=0 es igual al cociente i2/E1 cuando E2=0,
i1
E2
=
E1= 0
i2
E1
.
(2.13)
E2 = 0
Recordemos que esto es válido si la matriz de los coeficientes es simétrica, lo cual se da para
redes lineales y pasivas o también llamados redes de elementos bilaterales. En general los
elementos no lineales no cumplen con esta bilateralidad. Dado que en general cualquier par de
ramas puede seleccionarse como entradas y salidas, el teorema de la reciprocidad se expresa
como:
Una fuente ideal de tensión y un amperímetro colocados en cualquier rama de una red pasiva
lineal y bilateral pueden intercambiarse sin que cambien los números de las lecturas en cada
uno de ellos.
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Este teorema también puede demostrarse aplicando el método de tensiones nodales usando
fuentes de corriente,
e1
I2
=
I1= 0
e2
I1
(2.14)
I 2=0
análogamente, el enunciado del teorema será.
Una fuente ideal de corriente y un voltímetro colocados en cualquier rama de una red pasiva
lineal y bilateral pueden intercambiarse sin que cambien los números de las lecturas en cada
uno de ellos.
Puede notarse que en ambos enunciados siempre colocamos fuentes y medidores de igual
impedancia interna, por ej, el voltímetro y la fuente de corriente tiene idealmente impedancia
infinita (o muy alta). Y lo dual es también cierto, las fuentes de tensión y los amperímetros
tienen resistencia interna ideal cero (o muy baja). Resolvamos el ejemplo de la figura (2.13)
Ejemplo: Calcular la corriente en el amperímetro, intercambiando las posiciones con el
generador de tensión.
Solución:
Figura 2.13
Para el circuito (a), las ecuaciones de corriente en las mallas será:
⎧10 = i1 (1 + 2) − i2 (2)
⎨
⎩0 = −i1 (2) + i2 (4)
3 10
−2 0
− (−20)
i2 =
=
= 2.5 la lectura del amperímetro será iA = i2 = 2.5 A.
3 −2
12 − 4
−2 4
Para el circuito (b), la corriente de malla i1 será:
⎧0 = i1 (1 + 2) − i2 (2)
⎨
⎩− 10 = −i1 (2) + i2 (4)
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0
−2
− 10 4
− 20
i1 =
=
= −2.5 la lectura del amperímetro será iA = - i1 = 2.5 A.
3 − 2 12 − 4
−2 4
Con lo cual queda verificado el teorema de la reciprocidad.
2.2 Circuito equivalente “T”
Nos interesa ahora, obtener un circuito equivalente de un cuadripolo lineal y pasivo, a
partir de mediciones externas realizadas sobre los bornes de entrada y salida. Vamos a
considerar que está excitado por dos fuentes y éstas son externas a la red bajo estudio. Por
ejemplo, en la figura 2.14, excitamos al cuadripolo con dos generadores de corriente I1 e I2.
Nos interesa observar cuál serán los valores que medirán dos voltímetros en la entrada y
salida, es decir cuánto vale e1 y e2.
Si resolvemos el circuito por superposición (v. gr. Ec. 2.3), se entiende que cada
generador producirá una parte de los valores de las tensiones. Así las ecuaciones serán:
⎧ e1 = r11 I 1 + r12 I 2
(2.15)
⎨
⎩e2 = r21 I 1 + r22 I 2
Figura 2.14
donde las r son constantes de proporcionalidad, denominadas coeficientes “r chica”, y tienen
una dimensión de resistencias (no confundir con las rik usadas en 2.9 y 2.10). Estos
parámetros pueden medirse si enmudecemos un generado por vez. Así
r11 =
e1
I1
; r12 =
I 2 =0
e1
I2
; r21 =
I1 = 0
e2
I1
; r22 =
I 2 =0
e2
I2
(2.16)
I1 = 0
Obsérvese que todos estos parámetros se miden con la entrada o salida a circuito
abierto, por ello se los conocen como parámetros r a circuito abierto. La r12 = r21 por el
teorema de la reciprocidad (Ec. 2.14), por lo tanto con tres parámetros definimos
completamente un cuadripolo. La r11 también se la conoce como resistencia de entrada, la r22
resistencia de salida y la r12 = r21 como resistencia de transferencia.
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Figura 2.15
Si resolvemos el circuito “T” de la figura 2.15, por ejemplo por superposición nos
quedará el siguiente sistema de ecuaciones:
⎧e1 = I 1 ( R1 + R2 ) + I 2 ( R2 )
⎨
⎩e2 = I 1 ( R2 ) + I 2 ( R2 + R3 )
(2.17)
Si se compara esta ecuaciones con (2.15) obtenemos inmediatamente las equivalencias entre
las resistencias R1 , R2 y R3 con los parámetros medidos r11 , r12 y r22 .
⎧ R1 = r11 − r12
⎪⎪
⎨ R2 = r12
⎪
⎪⎩ R3 = r22 − r12
(2.18)
Por lo tanto hemos obtenido un modelo o circuito equivalente “T” o “Y” para un cuadripolo
lineal y pasivo, a partir de los parámetros “r chica”: r11 , r12 y r22 .
2.3 Circuito equivalente Π
En forma similar a lo discutido en el punto anterior, podríamos excitar el cuadripolo
con dos generadores de tensión E1 y E2 y calcular las corrientes que se generan a la entrada y
salida i1 e i2, como ya se indicó en la figura 2.12.
El sistema de ecuaciones queda conformado como:
⎧ i1 = g11 E1 + g12 E 2
⎨
⎩i2 = g 21 E1 + g 22 E 2
(2.19)
donde los valores “g chica” son coeficientes de proporcionalidad, y tienen unidades de
conductancia. Nuevamente, estos parámetros pueden medirse en forma externa haciendo cero
un generador de tensión por vez. Enmudecer un generador de tensión, significa corto circuito,
por lo que estos parámetros se los llama parámetros g de corto circuito.
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g11 =
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i1
E1
; g12 =
E2 = 0
i1
E2
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; g 21 =
E1 = 0
i2
E1
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; g 22 =
E2 = 0
i2
E2
(2.20).
E1 = 0
Un circuito equivalente a partir de estos parámetros se puede obtener, calculando la red Π de
la figura 2.16.
Figura 2.16
Resolviendo el circuito se obtiene:
1
1
1
⎧
⎪i1 = ( R + R ) E1 − R E 2
⎪
a
b
b
(2.21)
⎨
⎪i = − 1 E + ( 1 + 1 ) E
1
2
⎪⎩ 2
Rb
Rb Rc
Comparando las ecuaciones (2.19) con (2.21) se obtiene las equivalencias entre el circuito Π
con los parámetros g. Por lo tanto:
1
1
1
(2.22)
Ra =
;
Rb = −
;
Rc =
g11 + g12
g 12
g 22 + g12
El signo negativo tanto en las equivalencias de los parámetros r como en los parámetros g, no
implican una resistencia o conductancia negativa, sino sólo representa un modelo, y que
proviene de suponer los signos de las tensiones o de las corrientes en un sentido contrario.
2.4 Equivalencia entre los parámetros r y g.
Se han encontrado dos juegos de tres coeficientes, que define completamente el
cuadripolo: r11 , r12 y r22 y g11 , g12 y g22 . A partir de estos parámetros podemos modelar el
cuadripolo mediante una red “T” o una red “Π”. Ambos juegos de coeficientes son
equivalentes. Pero debe notarse que a pesar que unos representan resistencias y los otros
conductancias, éstos no son inversas de los otros, así g11 ≠ 1/r11 y lo mismo para los otros.
Para calcular sus equivalencias debemos partir de los sistemas de ecuaciones que lo definen
(2.15) y (2.19):
⎧ e1 = r11 I 1 + r12 I 2
;
⎨
⎩e2 = r21 I 1 + r22 I 2
⎧i1 = g11 E1 + g12 E 2
⎨
⎩i2 = g 21 E1 + r22 E 2
Despejamos de la primera expresión I1 e I2, y la comparamos con la segunda expresión:
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I1 =
I2 =
e1
e2
r12
r22
r11
r12
r12
r22
r11
e1
r12
e2
r11
r12
r12
r22
=
=
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r22
r11r22 − r12
2
− r12
r11r22 − r12
2
e1 −
e1 +
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r12
r11r22 − r12
2
r11
r11r22 − r12
2
e2
e2
siempre que r11r22 − r12 ≠ 0
2
por lo que la equivalencia entre los parámetros g y r es:
r11
r22
− r12
; g12 =
; g 22 =
g11 =
2
2
2
r11 r22 − r12
r11 r22 − r12
r11 r22 − r12
(2.23)
y su inversa será:
r11 =
g 22
g11 g 22 − g12
2
; r12 =
− g12
g11 g 22 − g12
2
; r22 =
g11
g11 g 22 − g12
2
(2.24)
2.5 Simetría en cuadripolos
Una red compleja, puede reducirse a un circuito equivalente más simple cuando
cumple ciertas condiciones de simetría. En general identificamos dos tipos de simetría, una
simetría balanceada, donde la parte superior del circuito es igual a la inferior, respecto de un
eje horizontal de simetría (ver eje x-y en la figura 2.17), y otra simetría de transferencia; es
decir la parte de entrada es igual a la mitad de salida, respecto un eje vertical de simetría, por
ejemplo el eje m-n en la figura 2.17). Existen otros circuitos que presentan ambas simetrías, y
se los denomina de doble simetría. En estos casos, los cuadripolos quedan representados por
un número menor de parámetros.
m
Cuadripolo con
x
doble simetría
y
n
Figura 2.17
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2.5.1 Simetría balanceada
En el siguiente circuito de la figura 2.18 (a) observamos un cuadripolo que no tiene un borne
común entre entrada y salida, y por lo tanto se necesitan más de tres parámetros para
caracterizarlo.
Figura 2.18
Sin embargo al tener simetría balanceada existe una igualdad respecto de un eje “horizontal”
x-y, entonces el cuadripolo puede reducirse sencillamente. En la parte (b) se ha dividido al
circuito en dos partes superior e inferior iguales. Sobre el eje de simetría se puede colocar una
barra de corto circuito, sin que cambie los valores de las corrientes I1 e I2. Esto nos permite
analizar sólo una de las mitades, con la ventaja de obtener un cuadripolo con borne común
(figura (c)). Aplicando el principio de linealidad se puede multiplicar el circuito (b) por dos
tanto la excitación como las resistencias, sin que varíen las corrientes, obteniéndose el
circuito d). Este circuito es uno equivalente de la figura (a) pero con un borne común de
entrada salida. Nótese que sería similar a sumar las resistencias de cada malla a la rama
superior.
2.5.2. Simetría de transferencia.
El circuito de la figura 2.19 (a) tiene simetría de transferencia, con excepción de las
excitaciones. Para este caso, el cuadripolo puede analizarse (por superposición) en dos partes,
uno con excitación simétrica y otro con excitación anti-simétrica, según se ve en la figura
2.19 (b). Supongamos que la incógnita es la tensión en el punto a em. Éstas se obtendrán como
la suma de las tensiones e'm para la excitación simétrica más la tensión e"m de la excitación antisimétrica. De la misma manera existirán dos valores de excitación Ea y Eb, tal que su suma y
diferencia den E1 y E2 respectivamente:
⎧ E1 = E a + Eb
(2.25)
⎨
⎩ E 2 = E a − Eb
Para el caso del ejemplo, si E1 = 8, y E2 = 4, entonces Ea = 6 y Eb = 2. Para resolver la
excitación simétrica, se observa que en el par de bornes m-m’ no existe corriente, ya que
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ambos generadores suministran al nodo igual corriente, por lo tanto el circuito puede abrirse
en m-n. Ver figura (2.19 (c).En tal caso,
2
e'm = 9 = 6 V (excitación simétrica).
3
Para la excitación anti simétrica, la corrientes que circulan por la rama m-n, debida a los dos
generadores son iguales y contrarias, anulándose. Por lo tanto la ser la tensión en m y n cero,
puede reemplazarse por un cortocircuito entre ambos terminales. Ver figura 2.19 (d). De allí
que e"m = 0 .Finalmente la tensión em será la suma de ambas:
e m = e'm + e"m = 6 + 0 = 6V
Figura 2.19
2.5.3 Teorema de Bartlett. Red con doble simetría.
Un cuadripolo con doble simetría puede reemplazarse por una red simétrica como la
que se presenta en la figura 2.20 (a). En este caso, aplicando el teorema de Bartlett, se puede
obtener el valor de las resistencias equivalentes Rx y Ry, mediante una excitación simétrica y
otra anti simétrica, como se vio anteriormente. Al tener simetría balanceada, se puede aplicar
una barra de cortocircuito entre los terminales g-h. Por poseer simetría de transferencia
podemos abrir el circuito en m-n o poner un corto entre m-n según sea la excitación simétrica
o anti simétrica respectivamente. Por lo tanto podemos calcular sólo con una parte del
circuito, que se replica en el resto. En la figura 2.20 (b) se ha aplicado una excitación
simétrica, por lo que se abren los terminales m-n. Entonces la Ry puede calcularse como:
I sim =
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E/2
E
=
;
Ry / 2 Ry
22
Ry =
E
I sim
(2.26)
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Figura 2.20
Con excitación anti simétrica queda el circuito con un corto entre m-n, por lo tanto
calculamos la Rx (ver figura 2.20 (c)):
E
E
(2.27)
;
I anti =
Rx =
Rx
I anti
En los cuadripolos con doble simetría, sólo hacen falta dos parámetros para
caracterizarlos, Rx y Ry.
2.5.4. Cálculo de los parámetros r o g en cuadripolos con simetría
Los parámetros r o g están definidos para cuadripolos con un borne común, es decir de
tres terminales. Por ello sólo corresponde casos de simetría de transferencia. En este caso los
parámetros de entrada son iguales a los de salida, por lo que sólo harán falta 2 coeficientes
para definir cuadripolos con simetría de transferencia. Esto es r11 = r22 ; g11 = g 22 .
En los siguientes ejemplos de cuadripolos con simetría de transferencia y doble simetría,
calcularemos los parámetro r . El circuito de figura 2.21, existe simetría de transferencia. Nos
interesa calcular los parámetros r y luego encontrar el circuito T equivalente.
El coeficiente r11 es la resistencia de entrada vista desde los terminales a-b :
2 ×1 5
=
; r22 = r11 ; El coeficiente r22 es la resistencia de salida, vista desde c-d,
2 +1 3
que por simetría son idénticos a r11.
r11 = 1 +
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Figura 2.21
El coeficiente r12 puede calcularse, aplicando un generador de corriente en la entrada y
calcular la tensión a circuito abierto en la salida. Por ejemplo aplicando tensiones nodales, la
tensión de salida E2 es la tensión en el nodo c. Nótese que la resistencia es serie al nodo a no
se considera pues está en serie con un generador de corriente, y la resistencia del nodo c
desaparece, pues está a circuito abierto.
2
−1
⎧1 = ea (1 + 1) − ec (1)
; E 2 = ec =
⎨
2
⎩0 = −ea (1) + ec (1 + 1)
−1
1
0
1
1
=
=
1 4 −1 3
2
E2 1 / 3 1
=
= .
I
1
3
Habiendo calculado los coeficientes r, puede obtenerse un circuito equivalente T, donde
usando (2.18) queda:
5 1 4
⎧
=
− =
R
1
⎪
3 3 3
⎪⎪
1
R2 =
⎨
3
⎪
5
1
⎪R = − = 4
⎪⎩ 3 3 3 3
Por lo tanto r12 = r21 =
Por lo tanto sólo son necesarios dos parámetros r11= r22 y r12 = r21; o R1 = R3 y R2.
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Figura 2.22
El siguiente cuadripolo tiene doble simetría, y se desea calcular los parámetros r. El circuito
de la figura (2.22 (b)) es un equivalente de la figura (a). DE este circuito (b) podemos calcular
la resistencia de entrada vista de los bornes a-b. El coeficiente r22 será la resistencia de salida
vista desde c-d, como se muestra en la figura (d). Como se puede comprobar ambas
resistencias serán iguales, entonces:
1
(2.28)
r11 = r22 = ( Rx + Ry )
2
El parámetro r12 = r12 , será la resistencia de transferencia, y se podrá calcular usando el
circuito de la figura (c), en forma análoga a lo realzado en el ejemplo anterior. Entonces
1
(2.29)
r12 = r21 = ( Ry − Rx ) .
2
Nótese que si Ry > Rx entonces r12 es positiva, pero si Rx > Ry, r12 será negativa. Este valor
negativo es a los efectos del modelo, y no implica una resistencia negativa, sino simplemente
habré supuesto que la tensión ec > ed . Invirtiendo la polaridad de E2, se obtienen valores
positivos.
2.6 Reducción de un sistema de 4 terminales a uno de tres terminales.
El uso de los parámetros r o g está limitado a los cuadripolos de tres terminales, es
decir con un borne común entre entrada y salida. Hemos visto que si los cuadripolos son
simétricos, pueden reducirse a cuadripolos más simples que se derivan en uno de tres
terminales. En general si el cuadripolo no tiene un borne común se podrá reducir a uno de tres
terminales, a los efectos equivalente visto desde los terminales de entrada-salida a-b, c-d.
Para demostrar esto aplicaremos el método de corrientes en las mallas en el circuito de
la figura 2.23 (a).
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⎧ E1 = i1 ( R + R2 + R3 ) − i2 ( R3 )
⎪
⎨ 0 = −i1 ( R3 ) + i2 ( R3 + R4 + R5 ) − i3 ( R6 )
⎪ − E = −i ( R ) + i ( R + R + R )
2
6
3
6
7
8
⎩ 2
(2.30)
Si resolvemos el circuito de la figura (b) obtendremos el siguiente juego de
ecuaciones:
⎧ E1 = i1 ( R + R2 + R3 ) − i2 ( R3 )
⎪
⎨ 0 = −i1 ( R3 ) + i2 ( R3 + R4 + R5 ) − i3 ( R6 )
⎪ − E = −i ( R ) + i ( R + R + R )
2
6
3
6
7
8
⎩ 2
(2.31)
Ambas expresiones (2.30) y (2.31) son idénticas, por lo que ambos circuitos son equivalentes.
Como regla práctica, es posible elevar las resistencias de las ramas inferiores a las ramas
superiores en cada malla.
Figura 2.23
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