EXAMEN FINAL MAT 1135 “E” DOCENTE: Ing. Eduardo Echeverría Castillo SEM II/98 FILA 2 1.- Un investigador científico informa que los ratones de un experimento vivirán un promedio de 40 meses cuando sus dietas sean severamente restringidas y luego se enriquezcan con vitaminas y proteínas. Suponiendo que los tiempos de vida de estos ratones se distribuyen normalmente con una desviación estándar de 6.3 meses. Determinar la probabilidad de que un ratón viva a) Mas de 32 meses b) Entre 37 y 49 meses Solución: a) Datos: Utilizando la distribución normal estandarizamos 40 meses x 32 40 z 1 . 26 6 .3 6 . 3 meses Se nos pide mas de 32 meses entonces x=32 z 1 . 26 por tablas: área=0.8962 Sabiendo que la distribución normal es simétrica decimos que: P(x 32 ) 0 . 8962 b) Tenemos x1=37 y x2=49.Estandarizamos ambas variables x1 40 0 . 47 6 .3 x2 49 40 z2 1 . 42 6 .3 Para z1 por tablas tenemos de tablas obtenemos que para z=0.47 la probabilidad es 0.6808 pero como necesitamos el reciproco este será z1=1-0.6808=0.3192 Para z2=1.42 por tablas la probabilidad es 0.9222 El área que buscamos esta comprendida entre z1 y z2 por tanto restando área superior menos la inferior obtendremos la respuesta z1 P ( 37 37 x 49 ) 0 . 9222 0 . 3162 0 . 603 2.- Todas las noches el Señor Pérez llega tarde a su casa. La señora Pérez que es buena esposa le deja encendida la luz de la entrada a la casa. La probabilidad de que el señor Pérez llegue borracho es 0.60. Si llega borracho, hay una probabilidad de 0.90 que olvide apagar la luz en tanto que esta es solo 0.05 si llega sobrio a) ¿Cuál es la probabilidad de que el señor Pérez apague la luz en una noche cualquiera? b) Dado que el señor Pérez apago la luz una noche cualquiera ¿Cuál es la probabilidad que haya llegado borracho? Solución: Sean los sucesos: A: El señor Pérez llega borracho B: El señor Pérez No apaga la luz El espacio muestral será: S {( A , B ), ( A , B ), ( A , B ), ( A , B )} a) Datos: P ( A ) 0 . 60 (Probabilidad de que el señor Pérez llegue borracho) P ( B A ) 0 . 90 (Probabilidad de no apagar la luz si llega borracho) P (B A) 0 . 05 (Probabilidad de no apagar la luz si no llega borracho) P ( A) P ( A) 1 1 0 . 60 0 . 40 P (B A) 1 P (B A) 1 0 . 90 0 . 10 P (B A) 1 P (B A) 1 0 . 05 0 . 95 P(B) P ( A) P (B A) P(B) 0 . 60 0 . 10 P(B) 0 . 44 b) P ( A B ) 0 . 40 0 . 95 ? P(A B) Por Regla de Bayes P(A P ( A) P (B A) B) P(A B) P(B) P ( A) P (B A) Reemplazando tenemos: P(A B) P ( A) P (B A) P(B) P(A B) 0 . 136 0 . 60 0 . 10 0 . 44 3.- La duración en minutos de un disco de 33 r.p.m. grabados por una compañía disquera es una variable aleatoria x con una función de densidad: f (x) 1 x 3 0 1 2 x 36 3 4 3 x 9 otro caso a) ¿Cuál es la probabilidad que la duración de un disco exceda a 6 minutos? b) Si la compañía graba 1000 discos ¿Cuántos de ellos tienen una duración de más de 6 minutos? c) Calcule la media de x Solución: 6) a) P ( x ? 9 P(x 1 x 3 6) 6 9 1 3 6 1 92 3 2 15 2 x dx 6 1 93 36 3 9 4 9 3 dx 4 9 3 4 2 62 2 19 4 P(x 9 1 36 xdx 1 2 x 36 2 9 1 3 dx 6 63 3 6 x 2 3 9 4 9 1 xdx 3 6 3 9 1 36 6 x 3 1 45 3 2 6 9 1 2 x dx 36 6 3 x 4 6 3 dx 4 1 171 36 9 6 3 3 4 1 2 1 2 6) b) x =1000 discos P(x) = 1/2 E (x) x P (x) E (x) 500 1 2 1000 500 c) Por definición la media es E ( x ) 9 E (x) 1 x 3 x 3 1 3 9 1 36 2 x dx 3 3 3 1 2 x 36 3 4 3 x dx 3 4 f (x) 9 3 dx 4 9 1 9 3 1 9 3 3 3 36 4 78 45 27 6 x x 4 3 4 9 xdx 3 2 3 9 4 2 3 1 2 x dx 3 1 3 x3 3 2 3 2 9 3 9 3 1 3 x dx 36 1 36 x4 4 1 234 3 9 3 9 3 3 4 1 1620 36 3 xdx 4 x2 2 9 3 3 36 4 6 4.- De los 250 empleados de una compañía 130 fuman cigarrillos. Hay 150 hombres que trabajan en esta compañía, de los cuales 85 fuman cigarrillos ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado seleccionado al azar a) No fume cigarrillos b) Sea mujer y fume cigarrillos Solución: Sean los sucesos: H: Seleccionado sea hombre F: Seleccionado fume a) Datos: P ( F ) 150 250 P(H ) P(F ) ? 1 P(F H ) P(F ) 1 130 250 85 150 120 250 P(F ) P(H ) 1 130 250 P(H ) 1 150 250 100 250 F) ? b) P ( H Por la regla de Bayes P(H F) P(H ) P(F H ) Utilizando P(F ) P(H ) P(F H ) P(H ) P(F H ) P(F ) P(H ) P(F H ) P(F H ) P(H ) 130 150 85 250 250 150 P(F H ) 100 250 9 50 9 P(F H ) 100 250 20 Ahora para hallar la probabilidad requerida reemplazamos P(H F) P(H F) P(H ) P(F H ) 100 9 9 250 20 50 José Herberth Falcon Ballesteros AUXILIAR MAT 1135