TRABAJO FIN DE GRADO Título Cálculo mental Autor/es Laura Fernández Jiménez Director/es José Ignacio Extremiana Aldana Facultad Facultad de Letras y de la Educación Titulación Grado en Educación Primaria Departamento Curso Académico 2013-2014 Cálculo mental, trabajo fin de grado de Laura Fernández Jiménez, dirigido por José Ignacio Extremiana Aldana (publicado por la Universidad de La Rioja), se difunde bajo una Licencia Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 3.0 Unported. Permisos que vayan más allá de lo cubierto por esta licencia pueden solicitarse a los titulares del copyright. © © El autor Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2014 publicaciones.unirioja.es E-mail: publicaciones@unirioja.es Trabajo de Fin de Grado CÁLCULO MENTAL Autor: LAURA FERNÁNDEZ JIMÉNEZ Tutor/es: Fdo. JOSÉ IGNACIO EXTREMIANA ALDANA Titulación: Grado en Educación Primaria [206G] Facultad de Letras y de la Educación AÑO ACADÉMICO: 2013/2014 RESUMEN Las matemáticas desempeñan un papel fundamental en el sistema educativo español, siendo junto con el lenguaje y el conocimiento del medio las áreas más significativas y valoradas del currículo. Esta importancia se debe a su presencia en diversas situaciones y actividades cotidianas. Por ello es imprescindible que los ciudadanos posean conocimientos matemáticos, adquiridos en los centros educativos. El presente trabajo está relacionado con el cálculo mental, aspecto relevante en las matemáticas y muy práctico y aplicable en el resto de las áreas del currículo. Por ello el objetivo principal del proyecto es diseñar una serie de actividades para facilitar a los estudiantes la adquisición de unas pautas para enfrentarse con éxito a situaciones y actividades donde esté presente. También trata de aumentar las capacidades cognitivas de los alumnos, a través de la práctica del cálculo mental y la aproximación en diversas actividades. Para la elaboración del trabajo se ha realizado una búsqueda bibliográfica sobre el cálculo mental y su aplicación en el aula, prestando especial atención a los distintos libros y artículos científicos relacionados con este tema. Gracias a esta búsqueda se ha logrado investigar, descubrir y aprender mucho sobre el concepto, la aplicación, las ventajas, desventajas, estrategias, relación con la aproximación y muchos más ámbitos del cálculo mental. Además se ha planteado un conjunto de actividades transversales para aplicar en las distintas áreas de la Educación Primaria, y se ha realizado otras actividades para desarrollar en el área de las matemáticas. Ambas propuestas tratan de conseguir que los alumnos desarrollen correctamente la competencia del cálculo mental, a través de actividades individuales o grupales, que sean innovadoras, lúdicas y creativas. 1 ABSTRACT Mathematics perform a fundamental role in the Spanish educational system, being with the language and the knowledge of the medium the areas to be more significant and valued in the education system. This importance is due to its presence in various situations and daily activities. It is therefore essential that citizens have the mathematical knowledge, acquired in the schools. This work is related with the mental calculation relevant aspect in math and very practical and applicable in other areas of the education. Therefore the main objective of the project is to construct a number of activities to facilitate the acquisition of guidelines for students to confront with success situations and activities where present situations arise. Also tries to increase the knowledge of the student´s capabilities, through the mental practice of the calculation and approximation in various activities. For the preparation of the work a literature search about the mental calculation and its application in the classroom, presents special attention to the different books and articles scientists related to this topic. Thanks to this research that I have investigated, discovered, and learned a lot about the concept, application, advantages, disadvantages, strategies, relationship with the approach and many more areas of the mental calculation. Also has been raised with set of cross-cutting activities to apply in different areas of Primary Education, and other activities that have been developed in the area of mathematics. Both proposals attempt to get students to properly develop competition of the mental calculation, through individual or group setting that are innovative, playful and creative. 2 ÍNDICE INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................ 5 CAPÍTULO I: PLANTEAMIENTO DE OBJETIVOS ................................................................ 7 CAPÍTULO II: ENFOQUE TEÓRICO Y JUSTIFICACIÓN ...................................................... 9 2.1 Matemáticas en el BOR ....................................................................................... 12 2.2 Teorías del aprendizaje-enseñanza de las matemáticas........................................ 16 CAPÍTULO III: CÁLCULO MENTAL ..................................................................................... 20 3.1 ¿Qué se entiende por cálculo mental? .................................................................. 21 3.2 Ventajas e inconvenientes del cálculo mental ...................................................... 23 3.3 Estrategias de cálculo mental ............................................................................... 24 3.4 La aproximación y el cálculo mental ................................................................... 29 3.5 Estrategias del cálculo aproximado ...................................................................... 30 3.6 Orientaciones didácticas para trabajar el cálculo mental ..................................... 33 CAPÍTULO IV: PLANTEAMIENTO DE ACTIVIDADES ...................................................... 35 4.1 Experiencia con el cálculo mental........................................................................ 35 4.2 El cálculo mental, una aplicación transversal ...................................................... 36 4.3 Propuesta de actividades para el área de matemáticas ......................................... 40 4.4 Soluciones de las actividades transversales ......................................................... 46 4.5 Soluciones de las actividades para el área de matemáticas .................................. 47 CAPÍTULO IV: CONCLUSIONES ........................................................................................... 51 CAPÍTULO V: BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................... 53 3 4 INTRODUCCIÓN El presente trabajo muestra los aspectos más importantes del cálculo mental y su aplicación en el 3er ciclo de la educación primaria, concretamente en el 6º curso. Pretende lograr un acercamiento a este campo de las matemáticas e intentar facilitar su aplicación en el aula aportando diversos ejemplos y actividades para llevar a cabo. En el capítulo 1º se enumeran los objetivos que se pretende conseguir. Tratando de introducir y familiarizar al lector en el tema principal del trabajo. El capítulo 2º se divide en tres partes: en la primera, se contextualiza el trabajo reflexionando sobre lo que son las matemáticas y su didáctica; en la segunda, se detalla lo que el sistema educativo español trata de conseguir con las matemáticas en la educación primaria, se enuncian los bloques de contenidos de este área, las competencias básicas que se trabajan y los objetivos que se pretenden conseguir. En la tercera, se comenta el significado de la teoría de enseñanza-aprendizaje y se destacan cuatro teorías; la conductista, la cognitivista, la constructivista y la sociocultural. El capítulo 3º se centra en el cálculo mental y se divide en seis partes: en la primera, aparecen varias definiciones del cálculo mental; en la segunda las ventajas e inconvenientes del mismo. En la tercera se ofrece la explicación de algunas estrategias del cálculo mental; en la cuarta se introduce el cálculo aproximado; en la quinta se citan algunas estrategias del mismo. Y por último, en la sexta parte se expresan diferentes orientaciones didácticas que tiene que tener el cálculo mental. En el capítulo 4º se presentan diversas actividades relacionadas con el cálculo mental. Está dividido en cinco partes, en la primera se cuenta una experiencia real sobre el cálculo mental en un colegio, en la segunda se plantean actividades transversales y en la tercera, actividades para aplicar en el área de las matemáticas, ambas partes dedicadas al 3er ciclo de la Educación Primaria. Las últimas dos partes desvelan la solución de las diversas actividades y ejemplos del trabajo. En el 5º y último capítulo, se expresan las conclusiones personales sobre el trabajo, tratando de realizar aportaciones útiles para futuras aplicaciones del cálculo mental en las aulas. 5 6 CAPÍTULO I: PLANTEAMIENTO DE OBJETIVOS A continuación se exponen los 3 objetivos que se pretenden alcanzar, y para cada uno de ellos se presentan varios objetivos específicos, los cuales ayudan a profundizar en los diferentes temas tratados en cada uno de los capítulos. Generales 1. Comprender los aspectos más relevantes del cálculo mental. 2. Relacionar el cálculo mental con el cálculo aproximado 3. Plantear actividades educativas referentes al cálculo mental. Específicos 1.1. Encontrar el verdadero valor, sentido y utilidad del cálculo mental. 1.2. Comparar las ventajas frente a los inconvenientes de la utilización del cálculo mental. 1.3. Conocer las estrategias básicas del cálculo mental. 2.1. Conocer las estrategias básicas del cálculo aproximado. 2.2. Saber las orientaciones didácticas para realizar el cálculo mental en el aula. 3.1. Plantear actividades de cálculo mental en contextos cotidianos. 3.2. Presentar una propuesta de actividades interdisciplinares en las que se utilice el cálculo mental. 3.3. Proponer alternativas a las actividades vivenciadas en mis prácticas escolares referentes al cálculo mental dentro del área de las matemáticas. 7 8 CAPÍTULO II: ENFOQUE TEÓRICO Y JUSTIFICACIÓN El origen de la palabra matemática tiene su procedencia más antigua en un término griego, μάθημα, traducido como conocimiento. A su vez, ésta se tradujo en latín como mathematĭca. La RAE, en la edición 22 del diccionario de la lengua española, (2001) define la voz matemática como “Una ciencia deductiva que estudia las propiedades de los entes abstractos, como números, figuras geométricas, y sus relaciones”. Pero también ofrece otras definiciones relacionadas, describiendo las matemáticas aplicadas como “El estudio de la cantidad considerada en relación con ciertos fenómenos físicos” Y las matemáticas puras como “El estudio de la cantidad considerada en abstracto”. Las matemáticas basan su estudio en la relación existente entre las distintas cantidades, magnitudes y operaciones lógicas para obtener otras cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas, logrando analizar diversas situaciones. Es una de las herramientas más útiles y prácticas para hallar la solución a los problemas que surgen en múltiples circunstancias. Por ello su importancia se debe a dos aspectos, en primer lugar porque ayudan a explicar situaciones generales de la vida. Por ejemplo, cómo es la órbita de los planetas, por qué no se cae un edificio… Y en segundo lugar, porque gracias a su práctica se desarrollan capacidades cognitivas en las personas y así, habilidades para enfrentarse a la vida cotidiana. Su historia es muy amplia, ya que son tan antiguas como la propia humanidad. Desde la prehistoria hay hechos de numeración y conocimientos geométricos, observables en los restos de cerámicas, pieles y pinturas rupestres. Pero las primeras referencias matemáticas más avanzadas se dieron en las grandes civilizaciones antiguas, como son Egipto, Mesopotamia, la antigua China... Y a partir de ese momento hasta la actualidad, comenzaron a desarrollarse ampliamente. Siempre ha habido preocupación por la enseñanza de las matemáticas, pero desde mediados del siglo XX este interés se incrementó de manera notable, tratando de dar un enfoque educativo a las mismas. 9 Autores como Steiner (1985), Schoenfled (1987), Freudenthal (1991), Sierra (1992), Brousseau (1998) y muchos más, definieron la palabra Didáctica, como la organización de los procesos de enseñanza y aprendizaje de cualquier materia o área.1 Pero tiene muchas acepciones, tales como enseñar, comunicar, conectar, lograr que los alumnos aprendan… Por ello es importante entender la didáctica como una ciencia de la educación, formalmente especulativa, pero virtualmente práctica, de ahí su carácter teórico-práctico de ciencia aplicada que tiene una relación interdisciplinar con las demás ciencias de la educación. La didáctica es utilizada por los docentes para saber cómo realizar la enseñanza y qué métodos deben utilizar para que sea formativa. La didáctica de las matemáticas comprende distintos ámbitos, se preocupa de las teorías educativas, del currículo, de la política educativa, de la formación de profesores y de los procesos de enseñanza-aprendizaje en las aulas. En estos procesos la didáctica de las matemáticas juega un papel muy importante, ya que estudia las interacciones y relaciones entre los distintos elementos del aula, para comprender y poder tomar las decisiones más adecuadas en cada momento o situación. En la teoría de Brousseau, se da mucha importancia a las interacciones dentro del aula por ello dice que los 3 elementos que siempre están presentes en el aula son: el estudiante el contenido matemático el profesor. 1. Linares Ciscar, (2011). Didáctica de las matemáticas y el profesor de los niveles básicos 1 García Cruz, J.A. La didáctica de las matemáticas: una visión general. Matemáticas en Secundaria. Red telemática educativa europea. Información facilitada por el tutor del TFG. 10 De estos 3 elementos es la figura del profesor la más importante, ya que es quién debe conseguir que los alumnos adquieran una formación adecuada planteando diversos problemas y actividades. Estas actividades tienen que estar bien estructuradas y planteadas. Obviamente, el docente debe conocer el contenido matemático y debe responsabilizarse de los siguientes aspectos: Crear ambientes de aprendizaje. Lograr que los estudiantes reflexionen. Propiciar la comunicación de las ideas matemáticas que se producen en el aula. Evaluar el nivel de comprensión de los conceptos matemáticos. En el anexo del decreto 4 / 2011 de 20 de enero, (BOR. 4 de febrero), por el que se establece el currículo de educación primaria en la comunidad autónoma de La Rioja, se definen las matemáticas cómo, “Un conjunto de conocimientos asociados en una primera aproximación a los números y las formas, que se van progresivamente completando hasta constituir un modo valioso de analizar situaciones variadas. Permiten estructurar el conocimiento que se obtiene de la realidad, analizarla y lograr una información nueva para conocerla mejor, valorarla y tomar decisiones”. Además ofrece otra concepción, entendiendo las matemáticas como, “Un conjunto de ideas y formas de actuar que conllevan no sólo a utilizar cantidades y formas geométricas, sino, y sobre todo, hacerse preguntas, obtener modelos e identificar relaciones y estructuras, de modo que, al analizar los fenómenos y situaciones que se presentan en la realidad, se puedan obtener informaciones y conclusiones que no estaban explícitas”. “También son inducción, estimación, aproximación, probabilidad y tentativa, y mejoran la capacidad de enfrentarse a situaciones abiertas, sin solución única y cerrada”. Así que el currículo da mucha relevancia al aprendizaje de las matemáticas, porque éstas son útiles en muchos y diferentes ámbitos (en la vida cotidiana, mundo laboral…). Además, su aprendizaje es eficaz para la formación intelectual general y para potenciar capacidades cognitivas en el alumnado. Por ello los docentes deben dirigir los contenidos matemáticos que el currículo les exige con ejemplos y actividades basadas en la vida real. Es decir, con aquellos aspectos que los alumnos realmente van a encontrar en su día a día. 11 Son útiles también para incentivar un pensamiento crítico, la creatividad, la autonomía del alumno, fomentar el trabajo en grupo y el trabajo cooperativo, trabajar las inteligencias múltiples de manera individualizada y salir del aula para experimentar lo aprendido. Llevando a cabo todo lo anterior los alumnos aprenderán y sabrán resolver los problemas cotidianos, tomar decisiones y ser competentes en otros ámbitos, ya que todo esto se debe aplicar también al resto de áreas de la educación primaria. El cálculo mental es el principal tema que se va a tratar en el presente trabajo, por ello se comienza a introducir el mismo con dos términos que han surgido en la definición de matemáticas, y que están estrechamente vinculados al cálculo mental; estos son la estimación y la aproximación. La RAE en su edición 22 del diccionario de la lengua española, (2001) define la voz estimación como “El aprecio y valor que se da y en que se tasa y considera algo”. Y define aproximación como “La máxima diferencia posible entre un valor obtenido en una medición o cálculo y el exacto desconocido”. Además, para que los alumnos realicen un proceso de enseñanza-aprendizaje adecuado los docentes tienen que saber seleccionar y diseñar las tareas matemáticas, interpretar y analizar las producciones de los alumnos y gestionar las interacciones del aula y guiar el discurso matemático. Con todo esto se conseguirá que el alumnado obtenga una eficaz competencia matemática, ligada en este caso al cálculo mental, logrando así ser buenos y competentes ciudadanos. Además de conseguir mejores resultados académicos dentro de este ámbito. 2.1 Matemáticas en el BOR En el anexo del decreto 4 / 2011 de 20 de enero, (BOR. 4 de febrero), por el que se establece el currículo de educación primaria en la comunidad autónoma de La Rioja, en el apartado de matemáticas, se dice que “la educación primaria busca alcanzar una eficaz alfabetización numérica, para que el alumnado pueda enfrentarse con éxito a situaciones en las que intervengan los números y sus relaciones, permitiéndole obtener 12 información efectiva, directamente o a través de la comparación, la estimación y el cálculo mental o escrito”. Para conseguir una verdadera alfabetización numérica hay que dominar los algoritmos del cálculo escrito, y tener una confianza con los números y las cantidades. Así, el alumnado deberá actuar correctamente con ellos, utilizarlos adecuadamente e identificar sus relaciones. Por ello la metodología de enseñar matemáticas con ejemplos cotidianos está adquiriendo gran importancia hoy en día. En el mismo anexo, más adelante se dice, “que los procesos de resolución de problemas son uno de los ejes principales de la actividad matemática y deben ser el principal soporte del aprendizaje matemático en la educación primaria”. Por ello utilizando la técnica de la resolución de problemas y las vivencias cotidianas de los alumnos, puede lograrse una enseñanza eficaz del área de las matemáticas, y en este caso, afianzar el cálculo mental en los alumnos. El decreto organiza los contenidos de matemáticas en cuatro bloques, que responden al tipo de objetos matemáticos que tratan, explican y manejan en cada uno de ellos. Incluyendo en cada uno de los tres ciclos de educación primaria unos contenidos comunes a todos los bloques, que se refieren a la adquisición de actitudes por parte de los alumnos. Los bloques de contenidos son los siguientes: Números y operaciones Medida Geometría Tratamientos de la información, azar y probabilidad. En el bloque 1, Números y operaciones se nombra explícitamente el cálculo mental, por ello se explica con más detenimiento. Pero es importante saber que se aplica en los 4 bloques de las matemáticas ya que en todos hay que realizar cálculos. “Este bloque pretende desarrollar el sentido numérico que se expresa en capacidades como: habilidad para descomponer números de forma natural, comprender y utilizar la estructura del sistema de numeración decimal, utilizar las propiedades de las operaciones y las relaciones entre ellas realizando cálculos 13 mentalmente. Para conseguir que los alumnos desarrollen la habilidad para el cálculo, es necesario utilizar los números en diferentes contextos y diferentes procedimientos, para que ellos mismos sepan elegir cual es el más adecuado. Con todo esto se pretende que el alumnado a lo largo de la etapa calcule con fluidez y haga estimaciones razonables, tratando de lograr un equilibrio entre la comprensión conceptual y la competencia en el cálculo.” El alumno que termina la Educación Primaria debe poseer un dominio aceptable del cálculo y una buena comprensión de la lectura, para así entender el enunciado de los problemas. También un conocimiento del sistema métrico decimal y del sistema de medición del tiempo. Un lenguaje geométrico mínimo, y finalmente los conocimientos estadísticos para entender la información de los medios de comunicación. Todo esto le permite que su promoción a la siguiente etapa de la educación básica se realice con las mejores condiciones, y que pueda cursar con aprovechamiento esta materia en la Educación Secundaria Obligatoria. 2.1.1 Relación con las competencias generales Como ya hemos indicado, las matemáticas también contribuyen al desarrollo de las competencias básicas. Principalmente, sus contenidos tratan de desarrollar la competencia matemática en todos sus aspectos, y desarrollar un pensamiento matemático capaz de comprender y describir el entorno. Es en este momento cuando los alumnos están adquiriendo la competencia en el conocimiento e interacción con el mundo físico. También contribuyen al tratamiento de la información y competencia digital, porque proporcionan destrezas asociadas al uso de los números (comparación, aproximación…) y porque utiliza distintos lenguajes gráficos y estadísticos esenciales para interpretar la información sobre la realidad. Los contenidos matemáticos permiten dar al alumnado la autonomía suficiente para desarrollar la competencia de aprender a aprender, incidiendo en el esfuerzo para abordar situaciones complejas. Para fomentar el desarrollo de la competencia en comunicación lingüística se debe insistir en dos aspectos, en la incorporación del 14 lenguaje matemático esencial, y en la descripción verbal de los razonamientos y de los procesos. Contribuyen a la competencia cultural y artística desde la consideración del conocimiento matemático como contribución al desarrollo cultural de la humanidad. Asimismo, el reconocimiento de las relaciones y formas geométricas ayuda en el análisis de determinadas producciones artísticas. La aportación a la competencia social y ciudadana se refiere al trabajo en equipo, que en matemáticas adquiere una dimensión singular si se aprende a aceptar otros puntos de vista distintos al propio. 2.1.2 Objetivos En cuanto a los objetivos que el anexo del decreto 4 / 2011 del 4 de febrero, por el que se establece el currículo de educación primaria en la comunidad autónoma de La Rioja en el apartado de matemáticas, se han seleccionado únicamente los siete objetivos que se van a trabajar en las actividades planteadas, tanto en el área de las matemáticas como en el resto de áreas de la educación primaria. Dando una importancia mayor al objetivo número cinco y nueve, ya que son los dos en los que está nombrado el cálculo mental explícitamente. A continuación se citan los objetivos con la misma numeración que aparece en el BOR: 1. Utilizar el conocimiento matemático para comprender, valorar y producir informaciones y mensajes sobre hechos y situaciones de la vida cotidiana y reconocer su carácter instrumental para otros campos de conocimiento. 2. Reconocer situaciones de su medio habitual para cuya comprensión o tratamiento se requieran operaciones elementales de cálculo, formularlas mediante formas sencillas de expresión matemática o resolverlas utilizando los algoritmos correspondientes, valorar el sentido de los resultados y explicar oralmente y por escrito los procesos seguidos. 3. Apreciar el papel de las matemáticas en la vida cotidiana, disfrutar con su uso y reconocer el valor de actitudes como la exploración de distintas alternativas, la conveniencia de la precisión o la perseverancia en la búsqueda de soluciones, y el esfuerzo e interés por su aprendizaje. 15 4. Conocer, valorar y adquirir seguridad en las propias habilidades matemáticas para afrontar situaciones diversas, que permitan disfrutar de los aspectos creativos, estéticos o utilitarios y confiar en sus posibilidades de uso. 5. Elaborar y utilizar instrumentos y estrategias personales de cálculo mental y medida, así como procedimientos de orientación espacial, en contextos de resolución de problemas, decidiendo, en cada caso, las ventajas de su uso y valorando la coherencia de los resultados. 6. Utilizar de forma adecuada los medios tecnológicos tanto en el cálculo como en la búsqueda, tratamiento y representación de informaciones diversas, así como para la ampliación de los contenidos matemáticos y su relación con otros de las distintas áreas del currículum. 9. Resolver y plantear problemas matemáticos utilizando un castellano correcto y los procedimientos adecuados de cálculo, medida, estimación y comprobación de resultados. 2.2 Teorías del aprendizaje-enseñanza de las matemáticas Tal y como dice Sarmiento, (2007) las teorías de enseñanza-aprendizaje sirven para explicar el fenómeno del aprendizaje, y nos ayudan a entender el comportamiento de los alumnos y las intervenciones de los profesores. Es decir, tratan de conseguir una explicación efectiva de los procesos internos que surgen en las personas cuando aprenden. Y cita algunos ejemplos de estos procesos internos: La adquisición de habilidades intelectuales. La adquisición de información o conceptos. Las estrategias cognoscitivas. Destrezas motoras o actitudes. De las teorías que más han influenciado en los procesos de enseñanzaaprendizaje se nombran cuatro, las más relevantes para Sarmiento, (2007). De las que podemos destacar: 16 La teoría del conductismo “Se basa en los estudios del aprendizaje mediante condicionamiento, y considera innecesario el estudio de los procesos mentales superiores para la comprensión de la conducta humana”. Por lo tanto considera que el aprendizaje es un cambio permanente de la conducta, que se logra mediante la práctica y con la interacción recíproca de los individuos y su ambiente. Así que el mecanismo central de aprendizaje es el asociacionismo. En esta teoría se debe hablar de los aprendizajes observables y medibles objetivamente. Actualmente está poco aceptada, pero la práctica y la repetición como base del aprendizaje de destrezas es un principio muy reconocido y de gran importancia. Como representantes más significativos de esta tendencia podemos nombrar a: Watson, “el aprendizaje era el resultado de un acondicionamiento clásico, es decir, formar nuevas conexiones de estímulo – respuesta a través del mismo acondicionamiento”. Y Skinner, “los individuos aprenden con un proceso de ensayo – error, hábilmente dirigido por medio de una serie de refuerzos positivos y la repetición pertinente”. La teoría cognitivista “Libera los aspectos restrictivos y el sujeto se transforma en un procesador activo de información. Dando mayor importancia al papel de la cognición en el aprendizaje humano”. Por tanto se interesa en cómo los individuos representan el mundo en el que viven y cómo reciben de él la información. La acción del sujeto está determinada por sus representaciones, y antes de que un comportamiento inteligente se ejecute, ha sido interiorizado en el individuo. Así, las representaciones construidas por la inteligencia son organizadas por el sujeto en estructuras conceptuales, metodológicas y actitudinales. Donde se relacionan entre sí, permitiendo al sujeto que vive en comunidad sostener una dinámica de contradicciones entre sus estructuras y las del colectivo. 17 Kant, un precursor de esta teoría argumentaba que “toda experiencia humana concierne a representaciones y no a las cosas por si mismas” Se ha hecho hincapié en el papel de la atención, la memoria, la percepción, las pautas de reconocimiento y el uso del lenguaje en el proceso del aprendizaje. Por ello el cognitivismo presenta una gran variedad de formas: Aprendizaje por descubrimiento. Aprendizaje como procesamiento de información. Aprendizaje como actividad. Aprendizaje significativo. La teoría del constructivismo “Cree que el sujeto adquiere el conocimiento mediante un proceso de construcción individual y subjetiva, por lo que sus expectativas y su desarrollo cognitivo determinan la percepción que tiene del mundo”. Por lo tanto lo fundamental es analizar los cambios cualitativos generados en la organización de las estructuras cognitivas como consecuencia de la interacción entre estas y los objetos a los que se aplica. Para Piaget el aprendizaje es “una construcción del sujeto a medida que organiza la información que proviene del medio cuando interacciona con el mismo. Tiene su origen en la acción conducida en una organización mental previa, la cual está constituida por estructuras. La estructura cognitiva determina la capacidad mental de la persona, quien activamente participa en su proceso de aprendizaje, mientras que el docente crea un contexto favorable para el aprendizaje”. En la escuela el niño no siempre aprende las cosas que le interesan, sino lo planificado por el docente. En la escuela básica uno de los aprendizajes consiste, entre otras cosas, en aprender las reglas durante la interacción educativa (niveles de exigencia, tipo de comportamiento, relaciones de subordinación…) Este tipo de conocimiento se construye de forma individual y grupal, el cual es interiorizado por el alumno implícitamente juntos con el resto de contenidos y estrategias. 18 La teoría sociocultural “Justifica los cambios producidos en los procesos mentales humanos, como consecuencia de la aparición de transformaciones en la organización social y cultural de la sociedad”. Es decir, se interesa en el para qué aprende ese individuo. Esta teoría sienta sus postulados en la convicción del rol preponderante que la interacción social tiene en el desarrollo cognitivo. La actividad del sujeto que aprende supone una práctica social mediada, utilizando herramientas y signos para aprender. De este modo el sujeto que aprende por un lado transforma la cultura y por otro la interioriza. Así que, en un primer momento, el individuo depende de los demás, pero en un segundo momento, a través de la interiorización, adquiere la posibilidad de actuar por sí mismo y de asumir la responsabilidad de sus actuaciones. Su precursor Lev Vygotsky dijo lo siguiente. “El aprendizaje no es otra cosa que la distancia entre el nivel de desarrollo determinado por la capacidad de resolver independientemente un problema, y el nivel de desarrollo potencial determinado a través de la resolución de un problema bajo la guía de un adulto o en colaboración con otro compañero más capaz”. 19 20 CAPÍTULO III: CÁLCULO MENTAL 3.1 ¿Qué se entiende por cálculo mental? Pese a que el cálculo mental no es muy utilizado en la práctica educativa, y que en la mayoría de libros de texto de matemáticas no lo consideran con la importancia que se merece, es el momento de volver a retomar este ámbito de las matemáticas tan relevante. Ya que muchos de los problemas cotidianos lo presentan de forma explícita o implícita, por ello hay que aplicarlo en las aulas y asegurarse que los alumnos lo interiorizan de forma eficaz. Tal y como dice Ortiz, (2009), “estamos convencidos de que el cálculo mental es un pilar muy importante en la educación matemática de los niños y de que su puesta en práctica en las aulas, además de favorecer los aprendizajes aritméticos, posibilita una enseñanza más fluida de todos los contenidos curriculares de matemáticas, ya que la ejecución automática de cálculos sencillos permite que los alumnos puedan pensar en los conceptos que se presenten con mayor autonomía y rigor”. Ortiz, (2009) lo definió como un cálculo “de cabeza o de memoria”, sin ayuda externa y con datos exactos. Además distinguió dos tipos: Cálculo mecánico o de estímulo-respuesta: El cual tiene una técnica automática, con el riesgo de olvidarse cuando no se utiliza. (Memorización de las tablas) Cálculo reflexivo o pensado: En el que cada vez se utiliza distintos procedimientos, tratando de relacionar los cálculos, números y operaciones. Por ello hay que saber seleccionar las estrategias más adecuadas. (Conteos, recolocaciones, dominio de las tablas, descomposiciones…) Además, Ortiz, (2013) explicó las características más concretas del cálculo mental. “El cálculo mental deber ser un cálculo sin ninguna ayuda exterior, basado en la exploración y reflexión, práctico, motivador, relajado, respetando el protagonismo y la autonomía de cada individuo, con flexibilidad de acción, diálogo y en donde no debe primar la velocidad de respuesta”. Jiménez Ibañez (2012) dijo que “el cálculo mental consiste en realizar cálculos matemáticos utilizando sólo el cerebro sin ayuda de otros instrumentos como 21 calculadoras o incluso lápiz y papel. Las operaciones escritas tienen una forma de hacerse, bien determinada y siempre igual, con independencia de los números que entren en juego. Sin embargo, no ocurre lo mismo en el plano mental”. Estas dos definiciones son suficientes para comprender el significado del cálculo mental como aquel que no requiere de ninguna ayuda externa, únicamente del propio cerebro. Que da todo el protagonismo y autonomía a quienes lo realizan, ya que son los que buscan el camino más adecuado para llegar al resultado. Además de ser motivador, hace reflexionar y abrir un diálogo para debatir las distintas posibilidades con las que se llegan a la solución. A continuación se citan algunas aportaciones de autores que realizaron investigaciones sobre el cálculo mental, y que muestran las capacidades que se adquieren con el mismo. Hope, (1984) citado en Ortiz, (2009) “Los alumnos más competentes en cálculo mental multiplicativo coinciden con los que retienen un mayor número de hechos”. Dickson, (1991) citado en Ortiz, (2009) “Al estimular al niño a aplicar procedimientos informales de cálculo contribuye a desarrollar en él la apreciación del significado y estructura de las operaciones aritméticas”. Carrol y Porter, (1994) citado en Ortiz, (2009) “Está demostrado que los que usan cálculo mental, en vez de lápiz y papel, son mejores en conocimientos matemáticos”. Alistair Mcintosh, (1995) citado en Ortiz, (2009) “La presencia oral y visual pueden evocar estrategias diferentes. Los investigadores recomiendan fuertemente el uso de la oral ya que parece que anima a explorar más estrategias de solución, puesto que la visual puede hacer inclinar a apoyarse hacia una forma de algoritmo mental escrito normal”. Según Ortiz, (2009) el cálculo mental tiene distintos campos de aplicación para la etapa de educación primaria, los cuales se citan a continuación. Es importante conocerlos ya que en base a ellos se plantean las posteriores actividades referentes al cálculo mental. 22 a) Números naturales Ordenar, descomponer, series ascendentes y descendentes, dobles, mitades, tercera parte… Múltiplos y divisores de un número. Paso de unas unidades a otras. b) Números enteros Ordenar, descomponer, averiguar el próximo número de una serie… Operar con números. c) Geometría Cálculo de longitudes, perímetros, apotemas, áreas y volúmenes. Ángulos, complementario y suplementario. Operaciones con ángulos. d) Estadística Cálculo de probabilidades, porcentajes. 3.2 Ventajas e inconvenientes del cálculo mental Tal y como Ortiz (2013) cita en varios de sus libros, el cálculo mental, al igual que las matemáticas en general, entraña dificultades para los alumnos. Pero es cierto que aprender, practicar y tener un adecuado manejo del cálculo mental aporta grandes ventajas para el propio desarrollo cognitivo y personal del alumnado. Las ventajas que el cálculo mental aporta a los estudiantes se agrupan teniendo en cuenta tres aspectos distintos: la formación matemática, el desarrollo de capacidades y su utilidad en la vida diaria. A continuación se nombran unas de las principales ventajas que el cálculo mental a través de su práctica aporta al alumnado (Ortiz, 2013): Se realiza un trabajo participativo, aspecto que motiva al alumno y con el que aprende intercambiando información con sus compañeros. Se realiza un trabajo atractivo en el aula, que estimula y motiva a los alumnos. Se plantean ejemplos cotidianos, los cuales les servirán para su día a día. El alumno es más autónomo, ya que él descubre y entiende las reglas y los procedimientos que va a seguir. 23 El alumno se siente cómodo, ya que no tiene marcado un tiempo de realización de las actividades. Sobre los inconvenientes del cálculo mental, se mencionan las dificultades más habituales que muchos niños tienen al operar con los números. Ya sea en el cálculo mental o en las matemáticas en general las dificultadas son las mismas, y se analizan en estas cuatro áreas: Dificultades para operar con números sencillos con cierta rapidez y seguridad. Dificultades lógicas para entender secuencias numéricas. Dificultades para entender problemas numérico – verbales. Dificultades para resolver problemas lógicos, para comprender los problemas y para seleccionar las estrategias que llegan a la conclusión final. 3.3 Estrategias de cálculo mental Jiménez Ibáñez (2012) dijo que “Una operación aritmética efectuada mentalmente no tiene una única vía de cálculo, y sorprende la variedad de enfoques posibles. Explorarlos, inspeccionar todas las posibilidades, optar por una de ellas, determinar el orden de actuación, valorar el resultado, etc., convierte al cálculo a secas en cálculo pensado”. Es cierto que las operaciones se pueden resolver con muchos caminos, pero todos llevan a la misma solución. Por eso desde el ámbito educativo se pretende que los alumnos sepan seleccionar su mejor forma para hallar la solución. A continuación se citan unas estrategias y técnicas muy útiles para realizar cálculos mentales sencillos, obtenidas del artículo “Estrategias de cálculo mental” de Jiménez Ibáñez (2012) y de la página web de Alquería (2011)2 2 Alquería (2011), Visto en: http://www.slideshare.net/josealqueria/estrategia-de-clculo 24 Estrategias para la suma 1) Recuentos o conteos; técnica utilizada por alumnos de las primeras etapas, estos utilizan los dedos como principal apoyo. Por ello, para mejorar esta técnica y conseguir mayor rapidez es importante introducir las series ascendentes. 48 + 8 = 48 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 56 48 + 8 = 48 + 2 + 2 + 2 + 2 = 56 2) Doblar; se lleva a cabo calculando el doble de la cantidad menor de la operación y se le suma el resto de unidades que han sobrado. En ocasiones no sobra ninguna unidad, ya que el doble queda completado con la descomposición de los números. 6 + 7 = (6 + 6) + 1 = 13 6 + 8 = 7 + 7 = 14 Dobles 1+1=2 6 + 6 = 12 2+2=4 7 + 7 = 14 3+3=6 8 + 8= 16 4+4=8 9 + 9 = 18 5 + 5 = 10 10 + 10 = 20 2. Elaboración propia; con el apoyo de Alquería (2011) 3) Propiedad conmutativa; resulta más sencillo cuando el primer sumando es mayor que el segundo, por ello, cuando no es así conviene realizar el cambio. 16 + 48 = 48 + 16 = 64 4) Propiedad asociativa; cuando la operación tiene tres o más sumandos es conveniente realizar agrupaciones, para que resulte más sencillo obtener el resultado. 64 + 48 + 16 = 64 + (48 + 16) = 64 + 64 = 128 25 5) Descomposición, se descomponen uno o los dos sumandos, en sumas y restas. Así se consigue obtener una operación equivalente pero más sencilla que la inicial. Habitualmente la descomposición se realiza en las decenas más próximas. suma decenas y unidades: 48 + 16 = (40 + 10) + (8 + 6) = 50 + 14 = 64 Se completa las decenas: 48 + 16 = (48 + 2) + 14 = 64 Redondeo y compenso: se utiliza con los números terminados en 8 o 9 48 + 16 = 48 + 20 – 4 = 64 Estrategias para la resta 1) Recuentos o conteos, se realiza utilizando “la prueba de la resta”, es decir cambiar la idea de la resta como tal. Se lleva a cabo pensando el número que le tengo que sumar al sustraendo para obtener el resultado del minuendo. 37 – 22 = X 22 + X = 37 X = 15 2) Descomposición, tal y como se aplica en la suma. Restar al minuendo las unidades, decenas, centenas… del sustraendo o a la inversa. 37 – 22 = 37 – 2 – 20 = 35 – 20 = 15 Completar uno de los dos números hasta una decena próxima y sumar o restar unidades del resultado final. 37 – 22 = 40 – 22 – 3 = 18 – 3 = 15 Tanto para la suma como para la resta, se tienen que tener en cuenta estos aspectos: Con números positivos o negativos, hay que tener en cuenta la regla de los signos. Prestar atención a los números decimales, y si tienen distintas cifras decimales es conveniente igualarlas con ceros. 26 Estrategias para la multiplicación 1) Reducción a la suma, porque no hay que olvidar que la multiplicación es una suma de factores iguales. 25 * 2 = 25 + 25 = 50 2) Descomponer y utilizar la propiedad distributiva, se descompone un factor en sumas o restas, para buscar el redondeo del mismo. 25 * 7 = (20 + 5) * 7 = 140 + 35 = 175 25 * 4 = (30 – 5) * 4 = 120 – 20 = 100 3) Propiedad conmutativa, se puede cambiar el orden de los factores para obtener productos más sencillos. 25 * 13 * 4 = 25 * 4 * 13 = 100 * 13 = 1300 4) Factorización y asociación, se descomponen los factores y así se encuentran operaciones más sencillas. 50 * 15 = 5 * 2 * 5 * 5 * 3 = 10 * 75 = 750 5) Multiplicaciones básicas: Multiplicar por 10; por cada potencia de 10 se añade un cero al otro número, o se corre la coma un lugar a la derecha. 48 * 10 = 480 4,8 * 10 = 48 Multiplicar por múltiplos de 10 (20, 30, 40, 50 …) 48 * 40 = 48 * 4 * 10 = 192 * 10 = 1920 Multiplicar por las potencias de dos. Si se multiplica por dos se dobla el número, si es por cuatro se dobla el doble y así sucesivamente. 48 * 4 = (48 * 2) * 2 = 96 * 2 = 192 Multiplicar un número por 5 es lo mismo que multiplicarlo por 10 y dividirlo entre 2. 48 * 5 = (48 * 10) / 2 = 480 / 2 = 240 Multiplicar un número por 25 es lo mismo que multiplicarlo por 100 y dividirlo entre 4. 48 * 25 = (48 * 100) / 4 = 4800 / 4 = 1200 27 Multiplicar un número por 6 es lo mismo que multiplicarlo por 2 y luego multiplicarlo por 3. 48 * 6 = (48 * 2) * 3 = 96 * 3 = 288 Multiplicar por 9, 99, 999… igual que multiplicar por (10 – 1), (100 – 1)… 48 * 9 = 48 * (10 – 1) = 480 – 48 = 432 Multiplicar por 11 48 * 11 =48 * (10 + 1) = 480 + 48 = 528 Multiplicar por 12 48 * 12 = 48 * (10 + 2) = 480 + 96 = 576 Multiplicar por 0,1; 0,01; 0,001; 0.0001… es lo mismo que dividir entre 10; 100; 1000; 10000… Multiplicar por 0,5 equivale a dividir por 2. Multiplicar por 0,25 equivale a dividir por 4. Estrategias para la división No hay que separarse de la idea de que dividir es repartir en partes iguales. 1) La prueba de la división; con ella se transforma la operación en una multiplicación. 18 / 3 = X 3 * X = 18 X=9 2) Dividir entre 2 y 3; se calcula la mitad o la tercera parte de la cantidad. 3) Divisiones básicas: Dividir por 10; por cada potencia de 10 se quita un cero al otro número, o se corre la coma un lugar a la izquierda. 180 / 10 = 18 18 / 10 = 1,8 Dividir un número entre 5; se multiplica por 2 y se divide entre 10. 180 / 5 = (180 * 2) / 10 = 360 / 10 = 36 Dividir un número entre 25; se multiplica por 4 y se divide entre 100. 180 / 25 = (180 * 4) / 100 = 720 / 100 = 7,2 28 Dividir por descomposición del divisor en factores; se realiza una sucesión de divisiones más sencillas. 180 / 8 = (180 / 2) / 4 = (90 / 2) / 2 = 45/ 2 = 22,5 Para dividir un número acabado en uno o varios ceros; se divide sin ceros y luego se añaden al cociente. 160 / 4 = (16 / 4) * 10 = 4 * 10 = 40 Dividir entre 0,1; 0,01… es lo mismo que multiplicar por 10; 100… 48 / 0,01= 4800 Dividir entre 0,5 equivale a multiplicar por 2. 48 / 0,5 = 48 * 2 = 96 Dividir entre 0,25 equivale a multiplicar por 4. 48 / 0,25 = 48 * 4 = 192 Dividir entre 0,2 equivale a multiplicar por 5. 48 / 0,2 = 48 * 5 = (48 * 10) / 2 = 240 3.4 La aproximación y el cálculo mental La RAE en su edición 22 del diccionario de la lengua española, (2001) define aproximación como, “la máxima diferencia posible entre un valor obtenido en una medición o cálculo y el exacto desconocido”. Conociendo este significado hay que mencionar su estrecha relación con el cálculo mental, ya que el valor inexacto de una operación se puede calcular mentalmente. Ortiz, (2009) hizo una aportación interesante del cálculo aproximado. “Es una modalidad del cálculo mental, que debemos tener presente puesto que, en ciertas situaciones da la vida diaria, no se dispone de lápiz ni papel, ni de tiempo, y es suficiente con obtener una respuesta aproximada, no exacta. De hecho, para una persona de la calle, es frecuente encontrarse en la necesidad de tener que dar una respuesta inmediata ante un hecho que conlleve una magnitud cifrada. Por ejemplo, la conveniencia de comprar un producto de forma inmediata, cuando se le ofrece un buen descuento, la capacidad de compra de diversos productos en función de la cantidad de dinero disponible en ese instante, etc”. 29 Como en el cálculo mental, en la aproximación tampoco se utiliza el lápiz ni el papel. Sin embargo, esta se desarrolla con operaciones más sencillas, con las que sí es posible obtener una solución exacta únicamente con la ayuda del cerebro. Dajament, (1996) dijo que “No hay que efectuar nunca un cálculo del que no se conoce una aproximación de su resultado”. El cálculo aproximado utiliza el pensamiento algorítmico y está muy relacionado con la estimación, ya que da un resultado próximo al resultado, que no exacto. Es muy útil para la resolución de cálculos complicados, ya que sustituyendo los números por otros más sencillos se obtiene un resultado muy acercado. Tiene la ventaja de ser un cálculo muy veloz, pero es conveniente que se haga su comparación con el resultado exacto, para saber si nos hemos acercado lo suficiente. Es conveniente practicar el cálculo aproximado desde los primeros cursos de la educación primaria, una vez que se tiene algo de base en el cálculo mental. Es decir, una vez que los alumnos posean algunos conocimientos relacionados con el número, con las operaciones y el dominio de algunas estrategias que se citarán posteriormente. 3.5 Estrategias del cálculo aproximado Hay diversas estrategias y procesos para hacer más sencillo este tipo de cálculo, a continuación se citan las más importantes. Todas obtenidas del libro de Ortiz, (2009). A. Reformulación: se lleva a cabo cambiando los datos iniciales de las operaciones para obtener otras más sencillas. Se clasifica en 3 tipos distintos. 1) Redondeo; consiste en reducir la cantidad de algunas cifras conservando un valor semejante del número inicial. Existen dos tipos de redondeo: Si la cifra de las unidades es menor que 5, se mantiene todas las cifras anteriores y únicamente se realiza el redondeo a las decenas. 1324 ≈ 1320 30 Si la cifra de las unidades es igual o mayor que 5, se realiza el redondeo en la última cifra que no mantenga esta regla aumentándola en una unidad. 1346 ≈ 1350 (a decenas) 1376 ≈ 1400 (a centenas) 1576 ≈ 2000 (a miles) Sumar redondeando; para conseguir que el error sea el mínimo posible hay que elegir el orden del redondeo de los sumandos, y comparar el resultado obtenido con el real. 3456 + 2145 + 1649 ≈ 3000 + 2000 + 2000 = 7000 (a miles) 3456 + 2145 + 1649 ≈ 3500 + 2100 + 1600 = 7200 (a centenas) Restar redondeando; para realizar esta operación hay que hacer un redondeo adecuado de los datos, se realizará lo más próximo a la cifra real, y posteriormente se comparará el resultado obtenido con el real. 48356 – 29754 ≈ 48000 – 30000 = 18000 (a miles) Multiplicar redondeando; para realizar esta operación hay que hacer un redondeo adecuado de los datos, y tratar que el resultado sea lo más próximo posible al real comparando los resultados. 5678 * 7 ≈ 6000 * 7 = 42000 (redondeo en las unidades de millar) Dividir redondeando; para realizar esta operación hay que hacer un redondeo adecuado de los datos, y tratar que el resultado sea lo más próximo posible al real comparando los resultados. 6556 / 2 ≈ 6600 / 2 = 3300 (a centenas) 2) Truncamiento: se lleva a cabo remplazando las cifras a partir del orden de la aproximación por ceros, eligiendo cual es la unidad que se quiere truncar, si las unidades, decenas, centenas… Sumar truncando en las unidades de millar y en las centenas. 3456 + 2145 + 1649 ≈ 3000 + 2000 + 1000 = 6000 3456 + 2145 + 1649 ≈3400 + 2100 + 1600 = 7100 Restar truncando en las unidades de millar. 48356 – 29754 ≈ 48000 – 29000 = 19000 31 Multiplicar truncando en las unidades de millar. 5678 * 7 ≈ 5000 * 7 = 35000 Dividir truncando a unidades de millar 6452 / 2 ≈ 6000 / 2 = 3000 3) Sustitución: se lleva a cabo cambiando un número por otro, de tal modo que sea muy aproximado al mismo. 420 / 9 ≈ 450 / 9 = 50 Siguiendo el mismo proceso, que con la división, la sustitución es muy útil para la realización de la suma de fracciones. 48 / 102 + 31 / 3 ≈ 48 / 100 + 30 / 3 = 0,48 + 10 = 10,48 B. Procesos de traslación: este método consiste en expresar la operación original e inicial en términos más manejables. Es decir hay que cambiar una operación por otra que sea equivalente a la misma o simplemente modificar el orden en las operaciones. 234 + 198 + 223 + 185 4 * 200 = 800 (5673 / 25) * 98 ≈ (100 / 25) * 5700 4 * 5700 = 22800 C. Procesos de compensación: consiste en aproximar las dos cifras de una operación de la forma más equilibrada posible. Para conseguir que esta se realice con un cálculo más rápido y sencillo que con la operación inicial. 49 * 32 ≈ 50 * 30 = 1500 Al realizar una suma con el proceso de compensación es conveniente redondear unos sumandos por defecto y otros por exceso. Sin embargo, en la resta nunca se debe redondear en el sustraendo cuando este vaya a resultar mayor que el minuendo. 48 + 32 ≈ 50 + 30 = 80 48 – 32 ≈ 50 – 30 = 20 En el producto se pueden aproximar una o a las dos cifras. Y por último en la división se aproximan las dos cifras hacia un mismo sentido. 29 * 9 ≈ 30 * 10 = 300 26 / 6 ≈ 25 / 5 = 5 32 3.6 Orientaciones didácticas para trabajar el cálculo mental En los primeros cursos de la educación primaria se recomienda trabajar con materiales didácticos lúdicos para explicar el resultado de una operación. Por lo que no se deben realizar muchos cálculos escritos y mentales. La práctica del cálculo mental debe estar acompañada con la del cálculo escrito, ya que éste solo ocupa unos pocos minutos del resto del tiempo de la clase. Se tienen que utilizar distintas metodologías, que se alejen de la monotonía y sean entretenidas para el alumnado. El cálculo mental tiene que presentarse de forma visual y material. Con estos métodos el alumno se familiariza con el sistema de numeración y las distintas operaciones. En los primeros cursos conviene utilizar los recursos visuales. El cálculo mental se debe realizar en el área de las matemáticas y en el resto de áreas del currículo. Con ejemplos cotidianos, con ejemplos presentes en el aula, sin permitir el uso de la calculadora o del lápiz y papel. El profesor debe conseguir que el alumno descubra los procedimientos mentales y las estrategias más útiles para él a través de experimentos personales. Conviene realizar un intercambio de ideas y opiniones entre los alumnos para que expliquen sus métodos de resolución. Así el profesor podrá detectar los errores de los mismos, al mismo tiempo que estos siguen aprendiendo de sus compañeros. En un principio la rapidez no tiene que importar en la realización de los cálculos mentales, por ello cada alumno debe tener su propio tiempo de contestación. Ya que si tienen un ritmo marcado puede que haya alumnos que se desmotiven y pierdan el interés por el cálculo mental. Para captar la atención de los alumnos y que los resultados progresen adecuadamente, es importante no abusar del cálculo mental. Por ello hay que realizar sesiones breves que no superen los cinco minutos, y que sean variadas. Lo que sí es muy importante practicarlo todos los días de la semana. 33 34 CAPÍTULO IV: PLANTEAMIENTO DE ACTIVIDADES 4.1 Experiencia con el cálculo mental En el presente trabajo se han tratado muchos aspectos del cálculo mental, su significado, ventajas, desventajas, métodos de aplicación, su relación con la aproximación… pero todavía no he citado el motivo por el que me decanté por la selección de este tema. Estoy de acuerdo con muchos de los autores que se han citado a lo largo del trabajo de la importancia que tiene el cálculo mental, relacionándola con el día a día de todas las personas, ya que está presente en numerosos aspectos cotidianos. Muchas veces consciente o inconscientemente realizamos cálculos mentales para solucionar problemas que se nos presentan de forma natural. Por ello, este fue el principal motivo por el que escogí este tema, ya que pienso que es un campo que los alumnos tienen y deben dominar para su futuro. En este curso 2013 – 2014 he tenido la oportunidad de realizar las prácticas escolares, para mí la asignatura más valiosa de los 4 años de formación en el grado de educación primaria. Estuve durante 3 meses en el colegio concertado Escuelas Pías de Logroño, y aunque pasé por todos los ciclos y cursos de la Educación Primaria, con la clase que más tiempo pasé fue con los alumnos de 6º B. Con ellos he presenciado todas las materias impartidas, por lo que las matemáticas han ocupado un importante lugar en mi “calendario escolar”, así que tengo constancia de cómo la profesora aplica el cálculo mental en su aula. Este fue otro motivo por el que seleccioné este tema, ya que para mí es un reto personal enfocar el cálculo mental desde un punto de vista distinto al que conocí. A continuación explico cómo vivencié yo la aplicación del cálculo mental, el cual solo se ponía en práctica en el área de las matemáticas. Todos los días, antes de comenzar con las explicaciones correspondientes para esa hora, la maestra decía en voz alta “Cálculo mental”, y automáticamente los alumnos sacaban sus cuadernos y se preparaban para la realización del mismo. El cálculo mental consistía en lo siguiente, la maestra leía 5 problemas dejando 2 segundos de margen en cada uno de ellos, y los 35 alumnos tenían que escribir rápidamente la respuesta en sus cuadernos. Para hacer la corrección del mismo se nombraba al alumno que antes hubiese finalizado el ejercicio, y él decía las respuestas de los 5 problemas. La profesora afirmaba o negaba las soluciones para que todos los alumnos tuviesen las respuestas correctas. No pongo en duda que sea un buen método de aplicación, pero aumentado la dificultad de los problemas que se les planteaban, ya que eran excesivamente sencillos para los alumnos de 6º. Tanto que la mayoría de ellos los podrían realizar alumnos de todos los ciclos de la etapa de educación primaria. Lo que menos me gustó fue la mecanización con la que trabajaban, ya que creo que el cálculo mental se puede realizar también de forma inconsciente en el aula y aplicar a su vez en todas las áreas, no solo en matemáticas. Por ello, este trabajo lo he dirigido a los alumnos del 3º ciclo de educación primaria, concretamente al 6º curso. Tratando de adaptar mi experiencia con actividades más adecuadas a sus conocimientos, y poderlo trabajar en todas las áreas del currículo. 4.2 El cálculo mental, una aplicación transversal En el siguiente apartado se plantean 10 actividades para desarrollar en todas las áreas de la educación primaria, excepto en inglés. Con ellas se trabaja las operaciones aritméticas básicas, es decir, la suma, resta, multiplicación y división. No consisten en actividades largas o complicadas, sino que son preguntas cortas para realizar en un momento determinado de la clase, con una respuesta rápida por parte de los alumnos. Objetivos: Desarrollar el cálculo mental y la aproximación en todas las áreas del currículo. Practicar el cálculo mental y la aproximación de forma espontánea en el aula. Trabajar con las operaciones aritméticas básicas, para mejorar la comprensión de las mismas por el alumno. Orientar las actividades con ejemplos presentes en el aula, para intentar llamar la atención de los alumnos y aumentar su motivación. 36 Fomentar el interés por el cálculo mental, para conseguir una implicación en el mismo y mejorar así las capacidades cognitivas de los alumnos. Como las matemáticas están presentes en todas las áreas del currículo se plantean diversos ejemplos de actividades para llevar a cabo. Diariamente aparecen situaciones muy útiles para aplicar el cálculo mental o plantear una actividad de cálculo a través de dicha situación, a continuación se exponen algunos ejemplos de actividades: Conocimiento del Medio Actividad 1: operaciones aritméticas de la suma, la resta y la multiplicación. Puede desarrollarse al impartir la unidad del clima y los ríos de España, y llevarla a cabo de manera individual. Los alumnos anotan la respuesta exacta o aproximada en sus cuadernos en un periodo de tiempo limitado, y ambas propuestas se corrigen de forma grupal. Además de realizar cálculos mentales, esta actividad sirve para afianzar algunos conocimientos ya tratados. El río Ebro cuenta con una longitud de 928 km, es decir, 271 km más que el río Guadalquivir. ¿Cuántos km mide el río Guadalquivir? El río Sella tiene una longitud de 56 km, el doble de esta longitud y 41 km más, es la longitud del Nalón. ¿Cuántos km mide el río Nalón? Actividad 2: operación aritmética de la división. Puede desarrollarse en la unidad de la prehistoria y la edad antigua para volver a captar la atención de los alumnos. Responderán en voz alta varios alumnos nombrados, sabiendo que el resto realizarán los cálculos inconscientemente de forma individual. En el paleolítico superior se cazaba por grupos. Si en una cueva vivían 70 homínidos y querían hacer 5 grupos. ¿Cuántos homínidos habrá por grupo? Con esta actividad se puede reflexionar con los alumnos sobre las nociones de numeración de esta época. Con 37.800 soldados romanos se consigue hacer 9 ejércitos para comenzar con la expansión romana. ¿Cuántos soldados habrá por ejército? 37 Tras comprobar el resultado, los alumnos realizarán la misma operación escrita con números romanos. Y podrán reflexionar sobre la forma de representar los números de varios sistemas, comprobando que nuestro sistema decimal es más sencillo para realizar operaciones escritas. Lengua castellana y literatura Actividad 1: operación aritmética de la división. Se puede llevar a cabo antes de realizar un dictado para que los alumnos averigüen el número de líneas que tienen que escribir en el mismo. Para ello escribirán el dictado y será al final cuando lo hayan escrito y estén corrigiendo las faltas de ortografía, cuando comprueben que el número de líneas que han escrito es el correcto. El siguiente dictado consta de 104 palabras y tenéis que escribir 8 palabras en cada línea. ¿Cuántas líneas tenéis que escribir? Actividad 2: operación aritmética de la multiplicación. Puede realizarse al comienzo de la clase. Los alumnos escribirán el resultado exacto o el aproximado en su cuaderno, posteriormente se corregirá en voz alta comprobando el número de aciertos, de errores y la aproximación más cercana. El libro de Charlie y la fábrica de chocolate de Roald Dahl tiene 176 páginas ¿Cuántas páginas habrá entre los libros de 5 alumnos? Música Actividad 1 y 2: operaciones aritméticas de la suma, la resta, la multiplicación y la división. Puede plantearse en los últimos minutos de la clase, realizando las actividades en cinco grupos de cinco alumnos cada uno, simulando un concurso o competición entre los distintos grupos del aula. 38 La flauta dulce tiene 8 agujeros, si somos 25 alumnos ¿Cuántos agujeros hay entre todas las flautas? ¿Y si fuésemos 5 menos en clase? ¿Y si fuésemos 10 menos? ¿Y si fuésemos 15 menos en clase? Sabiendo que la primera canción de un cd dura 1´56´´, la segunda 2´04´´, la tercera 1´93´´, la cuarta 2´07´´, la quinta 2´4´´. ¿Cuántos minutos grabados hay en el cd? Si las canciones durasen lo mismo y el cd estuviese completamente gravado ¿Cuántos minutos durará cada canción si hubiese 4? ¿Y si hubiese 8? Educación plástica Actividad 1: operaciones aritméticas de la multiplicación y la división. Se puede llevar a cabo antes de comenzar a pintar un mural con pinturas al agua. Se desarrollará por parejas, aquella que realice primero el cálculo será la que diga la respuesta de la operación en voz alta, siendo comprobada la misma por la maestra. Ponemos 15cm³ de pintura en un vaso de precipitados, para conseguir que la mezcla sea perfecta hay que mezclarlos con un 10% de agua. ¿Cuántos cm³ de agua deberíamos añadir al vaso de precipitados? Sabiendo que 100 cm³ son 100 ml ¿Cuántos ml serán 1.5 cm³? ¿Y cuántos cl serán? ¿Cuántos cl de agua hacen falta para los 25 alumnos de la clase? Además con la realización de estos ejercicios los alumnos practican el cálculo mental, y también trabajan o simplemente recuerdan el cambio de unidades. Ya que se puede emplear como recordatorio o práctica de la unidad de matemáticas donde se trabajan los cambios de unidades. Actividad 2: operación aritmética de la multiplicación. En las fechas de Navidad se realizan vidrieras para decorar las ventanas del aula. Por ello tras su realización se pueden plantear las siguientes preguntas para que los alumnos realicen sus cálculos de forma individual, haciendo las correcciones en voz alta con el orden que indique la maestra. Si cada vidriera tiene 5 partes con 10 agujeros cada una, ¿Cuántos agujeros tendrá cada vidriera? ¿Cuántos agujeros habrá en 12 vidrieras? 39 Educación física Actividad 1: operación aritmética de la división. Se realizará en una sesión en la cual haya distintas actividades grupales con un número de miembros en los grupos distinto para cada una de las actividades. Se le explica a los alumnos que somos palomitas de maíz en una sartén, por ello tendrán que ir saltando continuamente. La maestra dirá el número de grupos que necesita para cada actividad, y los alumnos sin parar de saltar se tendrán que colocar en los grupos dichos, completándolos con 1 persona más en cada grupo si estos no fuesen exactos. Actividad 2: operaciones aritméticas de la suma, resta, multiplicación y división. Se realizará al final de la sesión, como actividad de vuelta a la calma. Los alumnos se colocarán en círculo y tendrán que seguir las instrucciones de la maestra. Esta indicará a un alumno que diga un número y dirá en voz alta “se multiplica por 5”, el alumno siguiente tendrá que realizar la operación y así sucesivamente hasta que la maestra indique a otro alumno que diga otro número y cambie la operación aritmética, por ejemplo suma 3, resta 2, divide por 4… Tras la realización de estas actividades se puede realizar una reflexión grupal de las reglas de divisibilidad de los distintos números, tratando de que comprendan que cuando el resto de una división no da cero esta no es exacta y por lo tanto no es divisible por aquel número con el que se haya realizado la operación. (Anexo 1) 4.3 Propuesta de actividades para el área de matemáticas A continuación se plantean una serie de actividades para llevar a cabo en el área de las matemáticas, que tratan de afianzar el cálculo mental en los alumnos. Por lo que cabe destacar que todas ellas comparten un mismo objetivo: Practicar el cálculo mental con actividades lúdicas y con él mejorar el cálculo en todas las operaciones aritméticas básicas. 40 Las actividades presentan distintas metodologías explicadas en cada actividad, pero todas ellas tratan de fomentar el trabajo en equipo, parejas, para así mejorar las habilidades sociales de los alumnos y sus relaciones con el resto de compañeros al mismo tiempo que practican el cálculo mental. Actividad 1: Mágicas numéricas; Corbalan, (2011). Con la intención de explicar el funcionamiento de nuestro sistema numérico y con el apoyo de los “trucos de magia” que tanto gustan al alumnado, se va a trabajar el cálculo mental de manera inconsciente y divertida. En primer lugar la maestra realizará la actividad a un alumno voluntario del aula. Ella le dirá que piense en dos números de una cifra cada uno, y que a continuación realice los siguientes pasos. (Anexo 2) * Multiplica el primer número que has pensado por 2. * Súmale 6 a este resultado. * Multiplica ese resultado por 5. * A este último resultado súmale el segundo dígito y réstale 30. Tras esto el alumno se dará cuenta que por “arte de magia” se ha conseguido que realice cálculos mentales y de modo inconsciente ha llegado hasta el número formado por los dos dígitos que él había pensado en el mismo orden. Después de la realización de este ejemplo los alumnos se colocarán en parejas, y con los pasos de la actividad proyectados en el proyector, llevaran a cabo la misma intercambiándose el rol de mago cuando uno de la pareja haya realizado dos veces los cálculos. Después de varios minutos de forma común se intentará buscar el porqué del resultado, diciéndoles que piensen en nuestro sistema de numeración decimal. La maestra realizará una breve introducción de otro sistema de numeración, esta vez el de base 2 simplemente para que los alumnos sepan que existen más sistemas de numeración. Esto les será útil para su comprensión en cursos posteriores. 41 Actividad 2: La fecha de cumpleaños; Corbalan, (2011). Continuando con los trucos de “magia” y con la realización de cálculos mentales, en la siguiente actividad algunos alumnos del aula podrán adivinar el día del mes del cumpleaños de otros de sus compañeros. Para su realización la maestra explicará a 5 alumnos de la clase el “truco” de la actividad, y el resto de los alumnos se tendrán que colocarse en 5 grupos de 4 personas cada uno. Seguidamente los alumnos que conocen cómo se realiza la actividad se repartirán en los 5 grupos del aula y comenzarán a realizar la actividad. Cada alumno conocedor de la actividad dispondrá de cinco tarjetas con los números del 1 al 31 distribuidos de forma distinta en cada una de ellas. (No tienen que estar todos los números en todas las tarjetas) Los alumnos que no la conocen solo tendrán que indicar en qué tarjetas está el día de su cumpleaños. Con ese único dato los alumnos sabrán el día del mes en el que nació su compañero. Tras realizar la actividad a todos los componentes del grupo, la profesora dará un tiempo a los alumnos que no conocen la actividad para que traten de descubrir la vía de solución de la actividad, y cómo su compañero ha conocido el día del mes de sus cumpleaños. Después de un largo debate un alumno conocedor de la actividad explicará a todos los alumnos como ha realizado la actividad, para que así los alumnos puedan realizar este “truco de magia” a sus amigos y familiares. Pero la profesora planteará una cuestión para toda la clase, sabiendo cómo se realiza esta actividad los alumnos tienen que tratar de explicarle por qué se consigue este resultado para que de nuevo los alumnos reflexionen sobre nuestro sistema de numeración decimal y comprendan que existen otros sistemas de numeración más, todo esto sin profundizar mucho en el tema. (Anexo 3) Actividad 3: ¿Cuánto es 14 entre 4?; Corbalán, (2011). La presente actividad se lleva a cabo para que los alumnos sepan contextualizar una respuesta y para que reflexionen sobre el papel del cálculo en la vida real. Para ello se les planteará 3 casos en los que tienen que responder a tres preguntas distintas. Anotarán las respuestas en su cuaderno en un plazo de tiempo de 4 segundos, y 42 posteriormente se abrirá un dialogo en el aula para intercambiar opiniones sobre la actividad y los resultados obtenidos. Si hay 14 libros valiosos para repartir de forma equitativa entre 4 personas, ¿Cuántos libros tendrá cada una? Si tenemos que repartir una herencia de 14 mil euros entre 4 personas, ¿Cuántos euros heredara cada una? Si hay 14 personas y todas ellas quieren volver a sus hogares en taxi, ¿Cuántos taxis necesitarán? La actividad pretende que los alumnos reflexionen sobre el significado de la división y el reparto, ya que en los casos anteriores las divisiones se tienen que hacer de tres formas diferentes. Por ello tendrán que darse cuenta que el resultado de una división va a depender mucho del objeto que se quiera repartir, ya que hay objetos o materiales imposibles de partir por la mitad, mientras que otros sí tienen esa posibilidad. Así que los alumnos tendrán que comprender esto para ser eficaces ante otras situaciones que se les planteen en la vida real. (Anexo 4) Actividad 4: ¿Qué símbolos necesitamos?; Sánchez Torres, (2010). Con la realización de esta actividad se pretende que los alumnos realicen los cálculos mentales que necesiten para conseguir que las operaciones aritméticas aportadas por la profesora tengan sentido. Por lo que el lapicero solo podrá ser utilizado para anotar los símbolos y los paréntesis necesarios para que se cumpla la operación aritmética. Por ejemplo, ¿Qué símbolos hay que utilizar para que sea correcta la siguiente igualdad? (Anexo 5) 5 5 5 5 = 100 Para la puesta en práctica de esta actividad la maestra entregará un folio con las operaciones a cada alumno. Ellos tendrán que completarlas de forma individual, y tras su realización será corregida grupalmente en la pizarra, una vez hecha la corrección y comprobar que los alumnos las tienen correctas, estos tendrán que pegar la hoja en sus cuadernos para que no la pierdan y la puedan ojear en ocasiones posteriores. 43 Actividad 5: Un solo símbolo; Sánchez Torres, (2010). Con la realización de esta actividad se pretende que los alumnos realicen los cálculos mentales que necesiten para conseguir que las operaciones aritméticas aportadas por la profesora tengan sentido. Por lo que el lapicero solo podrá ser utilizado para anotar el símbolo necesario para que se cumpla la operación aritmética. Sabiendo que solo podrán colocar un único símbolo, este podrá ser colocado en uno de todos los espacios que hay entre los dígitos. Por ejemplo, ¿Dónde hay que colocar el símbolo adecuado para que la siguiente igualdad sea correcta? (Anexo 6) 3 5 1 = 153 Para la puesta en práctica de esta actividad la maestra entregará un folio con los ejercicios propuestos a cada alumno. Ellos tendrán que completarlas de forma individual, y tras su realización será corregida grupalmente en la pizarra, una vez hecha la corrección y comprobar que los alumnos las tienen correctas, estos tendrán que pegar la hoja en sus cuadernos para que no la pierdan y la puedan ojear en ocasiones posteriores. Actividad 6: El peso de la botella; Capó Dolz, (2013). Antes de comenzar la siguiente actividad los alumnos se distribuirán en 5 grupos de 5 personas cada uno. Una vez que estén colocados se les entregará una botella de plástico con agua y un cubo vacío a cada grupo, para que puedan experimentar y vivenciar la actividad personalmente y así logren comprenderla mejor. La maestra proyectará el enunciado de la actividad y los alumnos tendrán que debatir y vivenciar la actividad con la botella antes de escribir conjuntamente el resultado en un papel en blanco. Posteriormente para evaluar la actividad se realizará un recuento común con todos los resultados obtenidos de la clase y se comprobará el número de aciertos y errores que se han dado entre los distintos grupos. (Anexo 7) “Un recipiente lleno de agua pesa 35kg. Cuando solamente está lleno hasta la mitad pesa 19kg. ¿Sabrías calcular cuánto pesa vacío?” 44 Actividad 7: Sumas enigmáticas; Capó Dolz, (2013). Para la siguiente actividad los alumnos se tendrán que colocar en parejas, una vez estén colocados la maestra comenzará con la realización de la misma. En primer lugar repartirá una hoja con el enigma que la pareja tiene que resolver de manera conjunta (Anexo 8). Explicará a los alumnos que disponen de un tiempo exacto de 3 minutos para realizar la actividad, en la cual tendrán que utilizar únicamente el lapicero para anotar el valor de los distintos elementos que se piden. En el enigma tendrán que adivinar el valor que tienen las respectivas frutas que aparecen en el mismo (fresa, plátano, sandía y limón). Para que lo puedan conseguir la maestra les dirá que en la columna de la derecha del enigma aparecen las cifras que representan la suma de los valores de las frutas de las mismas filas. También les aportará el dato de que en la última fila del enigma aparecen las cifras que representan la suma de los valores de las frutas de las mismas columnas. La corrección de la misma se llevará a cabo de manera conjunta, abriendo un diálogo y llegando a un acuerdo con las soluciones de la actividad. Actividad 8: Completa los cuadros. Para desarrollar esta actividad los alumnos se dispondrán de nuevo en parejas. Se proyectará de forma individual tres enigmas, y se dará un periodo de tiempo de 60 segundos para que las parejas piensen y discutan la solución de uno de los diversos cuadros en blanco que hay en todo el enigma, el cual será indicado por la maestra. La pareja que primero levante la mano será la que diga el resultado que han pensado en voz alta, y si este es correcto será anotado en la pizarra por la profesora. A continuación se irán completando del mismo modo el resto de cuadros en blanco del enigma, los cuales serán indicados por la profesora con el orden más sencillo de solucionarlo. Para que la actividad sea más entretenida y capte la atención de los alumnos se realizará un concurso entre las parejas de la clase, este método hace que estén muy motivados y participen de forma correcta en la actividad. Para controlar el concurso se 45 dará puntos a la pareja que acierte el resultado, ganando así la pareja que consiga más aciertos, es decir, más puntos al final del ejercicio. (Anexo 9) Actividad 9: Completa los cuadros La siguiente actividad se realizará en 5 grupos de 5 alumnos cada uno, se lleva a cabo de este modo para que los alumnos aprendan a trabajar en equipo, a escuchar diferentes opiniones y respetar el turno de los compañeros. La docente entregará a cada grupo un folio con los dos cuadros que tendrán que completar de forma grupal. Les hará saber a los alumnos que para rellenar los cuadros en blanco tienen que tener en cuenta que todas las filas y columnas deben sumar en este caso 24, pero podría ser cualquier otro número. La maestra indicará a los alumnos cuando deben comenzar a realizar la actividad, y el tiempo finalizará cuando uno de los cinco grupos haya conseguido rellenar los huecos de los dos cuadros que se les ha aportado. Llegados a este punto tendrán que salir a la pizarra de manera conjunta y organizarse entre todos para saber cómo van a indicar las soluciones y cómo las han ido hallando. Este modo de evaluación les va a venir muy bien para saber trabajar en equipo y para quitarse el miedo escénico ya que todos los componentes del grupo tendrán que hacer alguna aportación al resto de los compañeros. (Anexo 10) 4.4 Soluciones de las actividades transversales Conocimiento del medio Actividad 1: primera pregunta 657km / segunda pregunta 153km Actividad 2: primera pregunta 14 homínidos / segunda pregunta 4200 soldados Lengua castellana y literatura Actividad 1: primera pregunta 13 líneas Actividad 2: primera pregunta 880 páginas 46 Música Actividad 1: primera pregunta 200 agujeros / segunda pregunta 160 agujeros tercera pregunta 120 agujeros / cuarta pregunta 80 agujeros Actividad 2: primera pregunta 10 minutos / segunda pregunta 2.5 minutos tercera pregunta 2 minutos / cuarta pregunta 1.25 minutos Educación plástica Actividad 1: primera pregunta 1.5 cm³ de agua / segunda pregunta 1.5ml tercera pregunta 15cl de agua / cuarta pregunta 375cl de agua Actividad 2: primera pregunta 50 agujeros / segunda pregunta 600 agujeros Educación física Actividad 1: dependerá del número de grupos que se necesite en las actividades. Actividad 2: dependerá del número y de la operación aritmética que se vaya indicando. 4.5 Soluciones de las actividades para el área de matemáticas Actividad 1: La solución será siempre el número formado por los dos dígitos pensados por la persona a la que se le realiza la actividad puestos en el mismo orden en el que los piensa. Actividad 2: La persona que realiza la actividad tendrá que sumar el dígito que aparece en la parte superior izquierda de cada tarjeta en las que su compañero previamente ha dicho que aparece el día de su cumpleaños, esta suma indicará el día exacto, de su cumpleaños. 47 Actividad 3: Primera: 3 libros y sobran 2 libros / Segunda: 3500 € / Tercera: necesitan 4 taxis Actividad 4: (5 + 5) * (5 + 5) = 10 (8 – 5) + (6 + 3) = 12 (8 + 7) – 5 = 10 [(7 * 3) + 9] / 3 = 10 6 – (2 + 1) = 3 [(7 + 4) + 3] + (8 – 5) = 9 100 / (2 + 1) = 5 [(9 + 4) – (2 + 6)] + 8 = 13 (2 * 4) * (3 * 5) = 120 (8 + 6 + 4) – (6 + 10) = 2 (14 – 7) + (5 – 2) = 10 [(9 * 2) + 7] – (5 * 2) = 15 Actividad 5: 3 * 51 = 153 49 * 4 = 196 18 * 8 = 144 35 / 5 = 7 59 – 12 = 47 121 + 9 = 130 23 + 9 = 32 7 + 97 = 104 64 – 17 = 47 176 – 8 = 168 93 / 3= 31 288 / 3 = 96 Actividad 6: 35 – 19 = 16 por lo que 19 – 16 = 3 kilos que pesa el recipiente vacío. Actividad 7: El valor de cada fruta es el siguiente: Fresa = 1 / Limón = 2 / Plátano = 3 / Sandía = 4 48 Actividad 8: 4.5 6 4 4 18.5 5.5 5 4.5 3.5 18.5 7 2.5 3.5 5.5 18.5 1.5 5 6.5 5.5 18.5 18.5 18.5 18.5 18.5 5.2 3.4 4 6.4 19 4.4 5.8 5.2 3.6 19 4.8 3.6 6 4.6 19 4.6 6.2 3.8 4.4 19 19 19 19 19 3.75 6.75 6.75 12.75 30 8.25 9 7.5 5.25 30 11.25 7.5 5.25 6 30 6.75 6.75 10.5 6 30 30 30 30 30 Actividad 9: hay otras posibles soluciones 10 9 5 10 9 5 4 8 12 6 8 10 10 7 7 8 7 9 49 50 CAPÍTULO IV: CONCLUSIONES Gracias a la elaboración de este proyecto he podido adquirir diversos conocimientos que me han servido para progresar en uno de los ámbitos de las matemáticas que personalmente y ahora más que nunca considero el más importante, el cálculo mental y también el cálculo aproximado. Si hecho un vistazo al pasado, recuerdo que las matemáticas solían ser una de las áreas más complicadas para los escolares, pero a su vez, la que más les divertía e incluso les gustaba tras su práctica. Recordando mi paso como alumna de Educación Primaria y tras vivenciar las prácticas escolares del grado de educación primaria, he comprobado que el cálculo mental es un ámbito de las matemáticas en el que los profesores apenas profundizan y practican con sus alumnos. En mi etapa escolar ni si quiera realizábamos ejercicios de cálculo mental, y en la actualidad, al menos lo poco que he experimentado, simplemente se basa en el dictado de problemas con un nivel inferior al que el alumno podría enfrentarse. Resultando este cálculo muy poco complicado e incluso aburrido para los alumnos, ya que escriben los resultados de las actividades de forma mecánica y sin apenas pensar. Con esto deduzco que una aplicación incorrecta del cálculo mental en el aula, puede llevar a los alumnos a perder el interés en el mismo. Por ello gracias a la elaboración de este proyecto y tras plantear y hacer una profunda búsqueda bibliográfica en la que he encontrado multitud de actividades destinadas al cálculo mental en el aula, creo que con una adecuada aplicación del mismo, este puede resultar realmente emocionante para los alumnos. Así que considero muy relevante tratar de mantener en los alumnos una inquietud hacia el cálculo mental y hacia el cálculo aproximado, motivándoles con el desarrollo de actividades lúdicas, atractivas y sobre todo no repetitivas. Para ello los docentes tendrán que plantear actividades con distintas metodologías y temáticas, y considerar el tiempo de actuación de los alumnos, el cual será inferior en los cursos superiores de la educación primaria y superior en las primeras etapas. También tienen que tener en cuenta su amplia aplicación, pudiendo realizar actividades de cálculo mental no solo en el área de las matemáticas, pero siempre teniendo en cuenta una estructura progresiva de adquisición. 51 Como ya se ha explicado a lo largo del proyecto, las matemáticas en general, y el cálculo mental en particular son útiles para muchas de las situaciones que los alumnos abordan a diario y continuamente en su vida, por ello es importante aplicarlo de forma continuada. Así se logrará formar verdaderos y competentes ciudadanos, capaces de enfrentarse a los problemas diarios en los cuales no se dispone ninguna herramienta de resolución, sino que únicamente es la mente la que puede dar la solución a los mismos. Y a su vez, gracias a la práctica del cálculo mental se desarrollan habilidades cognitivas en los alumnos, consiguiendo que sus resultados académicos sean más positivos tanto en la etapa de la educación primaria como en el resto de etapas educativas a las que se van a enfrentar a lo largo de su escolarización. 52 CAPÍTULO V: BIBLIOGRAFÍA Boletín oficial de La Rioja. (4 de febrero de 2011). Matemáticas, pp. 54-66. Bermejo, V. (2004). Cómo enseñar matemáticas para aprender mejor. Alcalá, España: CCS. Capó Dolz, M. (2013). Disfruta, juega y aprende con las matemáticas 1. Alcalá, España: CCS. Chamorro, M C. (2003). Didáctica de las matemáticas. Madrid, España: Pearson Prentice Hall. Corbalán, F. (2011). Mates de cerca. Barcelona, España: GRAÓ Flores, P., y Moreno, A. J. (2011). Matemáticas competentes…para reír. Barcelona, España: GRAÓ Fumerton, M. (22 de septiembre de 2008). Teoría de las inteligencias múltiples de Howard Gardner. Recuperado de: http://www.slideshare.net/mayrafumerton/teora-de-las-inteligencias-mltiples-dehoward-gardner-presentation Jiménez Ibáñez, J.J. (2012). Estrategias del cálculo mental. IES Alhama de Corella, España. Linares Ciscar, S. (2011). Didáctica de las matemáticas y el profesor de los niveles básicos. Aprendizaje y enseñanza de las matemáticas básicas. 15-17. Marín Rodríguez, M. (2010). Competencia matemática en primaria. Actividades para el tercer ciclo. Alcalá, España: CCS. Ortiz, M., y Ortega del Rincón, T. (2009). Cálculo mental. Primer ciclo de educación primaria. Badajoz, España: @becedario. Ortiz, M. (2012). Cálculo mental en el aula en el primer ciclo de educación primaria. Alcalá, España: CCS. Ortiz, M. (2013). Cálculo mental en el aula en el tercer ciclo de educación primaria. Alcalá, España: CCS. Pereyra-García Castro, M.A., Luzón Trujillo, A., y Torres, M. (2010). Organización y gestión educativa. Revista del Fórum Europeo de Administradores de la Educación, 18(6), 12-17. RAE, (2001). Diccionario de la lengua española (DRAE). 22 53 Sánchez Torres, J. D. (2010). Juegos matemáticos y de razonamiento lógico. Alcalá, España: CCS. Sarmiento Santana, M. (2007). Enseñanza y aprendizaje. La enseñanza de las matemáticas y las NTIC. Una estrategia de formación permanente. 32-51. Colegio Romareda, 2011. (Zaragoza) Cálculo mental en el 3º ciclo. Visto en: http://www.colegioromareda.org/primaria/3ciclo/matestercerciclo2011/6CALC ULO2011.pdf 54 Anexo 1: Criterios de divisibilidad de los distintos números Número Regla de divisibilidad Divisibles por 1 Todos los números Divisibles por 2 Los números que terminan en cero o cifra par Divisibles por 3 Los números cuyas cifras suman 3 o múltiplo de 3 Divisibles por 4 Los números cuyas dos últimas cifras son 00 o múltiplo de 4 Divisibles por 5 Los números terminados en 0 o 5 Divisibles por 6 Los números divisibles por 2 y por 3 Divisibles por 8 Los números cuyas tres últimas cifras son 000 o múltiplo de 8 Divisibles por 9 Los números cuyas cifras suman 9 o múltiplo de 9 Divisibles por 10 Los números terminados en 0 Divisibles por 11 Los números en los que la suma de las cifras de lugar par, menos la suma de las cifras de lugar impar da 0 o múltiplo de 11 Divisibles por 12 Los números divisibles por 3 y por 4 Divisibles por 14 Los números divisibles por 2 y por 7 Divisibles por 15 Los números divisibles por 3 y por 5 Divisibles por 18 Los números divisibles por 2 y por 9 Divisibles por 25 Los números terminados en 00 o múltiplos de 25 Divisibles por 100 Los números terminados en 00 Elaboración propia; con el apoyo de “El huevo de chocolate”, visto en: http://www.elhuevodechocolate.com/mates/mates4.htm Anexo 2: Pasos actividad “Mágicas numéricas” Anexo 3: Tarjetas actividad “Fecha de cumpleaños” 1 9 17 25 2 11 19 27 4 14 22 30 3 11 19 27 3 14 22 30 6 15 23 31 5 13 21 29 7 15 23 31 7 20 28 7 15 23 31 10 18 26 12 21 29 8 12 20 26 30 16 20 24 28 9 13 21 27 31 17 21 25 29 10 14 24 28 18 22 26 30 11 15 25 29 19 23 27 31 Anexo 4: Preguntas actividad “¿Cuánto es 14 entre 4? Anexo 5: operaciones actividad “¿Qué símbolos necesitamos? Nombre del alumno______________________________________________________ ¿Qué símbolo necesitamos? Completa las siguientes operaciones con los símbolos correspondientes para que estas tengan sentido, también puedes utilizar paréntesis si es necesario. 5 5 5 5 8 7 5 6 2 1 100 8 2 4 3 5 = 120 = 10 7 4 3 8 5 =9 =3 9 4 2 6 8 = 13 10 = 5 7 3 9 3 = 10 8 6 4 6 10 =2 9 2 7 5 2 = 15 2 14 7 5 = 100 5 6 2 3 = 10 = 12 Anexo 6: operaciones actividad “Un solo símbolo” Nombre del alumno______________________________________________________ Un solo símbolo Completa las siguientes operaciones con un único símbolo para que estas tengan sentido, tendrás que colocarlo en uno de todos los espacios que hay entre los dígitos, formando así números de varias cifras con los que operarás para llegar hasta la solución. 3 5 1 = 153 7 9 7 = 104 3 5 5 =7 9 3 3 = 31 2 3 9 = 32 1 8 8 = 144 1 7 6 8 1 2 1 = 130 4 9 4 = 196 6 4 1 7 = 47 5 9 1 2 2 8 8 3 = 96 = 168 = 47 Anexo 7: enunciado actividad “El peso de la botella” Anexo 8: enigma actividad “Sumas enigmáticas” 10 5 8 13 16 12 16 17 Fresa: _________________________ Limón: ________________________ Plátano: _______________________ Sandía: ________________________ 14 17 Anexo 9: cuadros actividad número 8 Anexo 10: cuadros actividad número 9 Número y componentes del grupo: __________________________________________ ______________________________________________________________________ Completa los cuadros de tal manera que todas las filas y columnas sumen 24. 5 4 7 8 10 9