Práctica2 (1) Determine cuales de los siguientes conjuntos, con las operaciones binarias ∗ definidas, tiene estructura de grupo. (a) Z, a ∗ b = ab. (b) Z, a ∗ b = a − b. (c) R+ , a ∗ b = ab. (d) Q, a ∗ b = ab. (2) Si G es un grupo abeliano, probar que (a ∗ b)n = an ∗ bn para todo a, b ∈ G y n ∈ Z. (3) Si G es un grupo en el cual a ∗ a = e para todo a ∈ G, demuestre que G es abeliano. (4) Si G es cualquier grupo y a, b, c ∈ G, demostrar que si a ∗ b = a ∗ c, entonces b = c, y si b ∗ a = c ∗ a, entonces b = c. (5) Si G es un grupo y a, b ∈ G, demuestre que las ecuaciones a ∗ x = b y y ∗ a = b tienen soluciones únicas en G. (6) Demuestre que un grupo G en el cual a = a−1 para todo a ∈ G debe ser abeliano. (7) Si G es un grupo finito de orden par, demuestre que debe existir un elemento a ̸= e tal que, a = a−1 . (8) Sea G un grupo y x ∈ G. Demuestre que: (a) xm xn = xm+n , para todo m, n ∈ Z. (b) (xm )n = xmn , para todo m, n ∈ Z. (9) Sea G un grupo. Se dice que G es cı́clico, si existe x ∈ G tal que, G = ⟨x⟩. En este caso al elemento x se le llama generador de G. Demuestre: (a) Todo grupo cı́clico es abeliano. (b) (Z, +) es un grupo cı́clico teniendo a 1 y −1 como generadores. (c) (Zp , +) con p primo, es un grupo cı́clico, teniendo a 1, ..., p − 1 como generadores. (10) Cuáles de los siguientes subconjuntos G de Z13 = {0, 1, ..., 12}, son grupos con la restricción de la operación producto definida en Z13 . (a) G = {1, 3, 5, 7, 9, 11} (b) G = Z13 . (c) G = {1, 3, 5, 8, 9} 1 2 (11) Sea G un grupo y sean a, b, c ∈ G. Demuestre que la ecuación x ∗ a ∗ x ∗ b = x ∗ c tiene solución única en G. (12) Sea G un grupo y x ∈ G. Se define el centralizador de x en G, al cual denotaremos por CG (x), como el conjunto CG (x) = {y ∈ G : yx = xy} Demuestre que CG (x) es un subgrupo de G. (13) Sea G un grupo. Se define el centro del grupo G, al cual denotaremos por Z(G), como el conjunto Z(G) = {a ∈ G : ax = xa, ∀x ∈ G} Demuestre que Z(G) es un subgrupo abeliano de G. (14) Sean H1 , H2 , ..., Hn subgrupos de un grupo G, demuestre que H= n ∩ Hi i=1 es un subgrupo de G. (15) Sean H y K subgrupos de un grupo abeliano G. Si S = {hk : h ∈ H, k ∈ K}. ¿Será S un subgrupo de G?. (16) Demuestre que si G es un grupo abeliano con identidad e, entonces el conjunto {x ∈ G : x ∗ x = e} es un subgrupo de G. (17) Si H es un subconjunto finito no vacı́o de un grupo G y H es cerrado respecto al producto, entonces H es un subgrupo de G. (18) Si G es un grupo cı́clico, demuestre que todo subgrupo de G es cı́clico. (19) Sea G un grupo. Si G no tiene subgrupos propios, demuestre que G es cı́clico. (20) Si G es un grupo y H un subconjunto no vacı́o de G tal que, dados a, b ∈ H, entonces a ∗ b−1 ∈ H, demuestre que H es un subgrupo de G. (21) Sea G un grupo y a ∈ G. Demuestre que el conjunto H = {an : n ∈ Z} es un subgrupo de G, más aún es el menor subgrupo de G que contiene a a.